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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | Bestimme die Jordannormalform von
A = [mm] \pmat{2&1&1&0&-2\\1&1&1&0&-1\\1&0&2&0&-1\\1&0&1&2&-2\\1&0&1&0&0} [/mm] |
Mojn. Ich habe hier noch mal ein Problem, und zwar bei der Bestimmung der Größe der Kästchen ohne das Minimalpolynom zu benutzen
Bitte rechnet das nicht nach, die Aufgabe soll mir nur das Verständnis vermitteln und ist bis auf Tippfehler richtig.
[mm] P_B(t) [/mm] = - [mm] (t-2)^2(t-1)^3
[/mm]
=>B-2E berechnet und dann umgeformt -> [mm] \pmat{1&0&0&0&-1
\\0&1&0&0&-1
\\ 0&0&1&0&-1
\\0&0&0&0&0
\\0&0&0&0&0}
[/mm]
Der Rang der Matrix ist gleich 3 und der Kern zweidimensional.
Die Basis des Kerns sind hier die Eigenvektoren
[mm] v_1 [/mm] = (0,0,0,1,0) und [mm] v_2=(1,1,1,0,1)
[/mm]
Für den Eigenwert 1 berechne ich es nochmal
B-E -> Umformung [mm] \pmat{1&0&1&0&-1
\\0&1&0&0&-1
\\0&0&0&1&-1
\\0&0&0&0&0
\\ 0 & 0 &0&0&0}
[/mm]
Dadurch erhält man wieder zwei Eigenvektoren
[mm] w_1 [/mm] = (0,1,1,1,1) und [mm] w_2 [/mm] = (1,1,0,1,1).
Für Die Basis der ergänze ich einfach mit einem Vektor, der durch B-E in den durch [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] aufgespannten Unterraum abgebildet wird,
x= (1,-1,0,0,0)
Damit ergibt sich dann
[mm] S^{-1}BS [/mm] = [mm] \pmat{2 &&&& \\ & 2 & && \\ & & 1 & 1 & \\ & & 0 & 1 & \\ &&&&1}
[/mm]
Mit dem Minimalpolynom [mm] (t-2)(t-1)^2 [/mm] ist mir klar, warum wir 3 einer Blöcke und einen 2er haben. Aber das wurde uns bei der Lösung der Aufgabe untersagt, das zu benutzen.
Wie komme ich auf die Größe der Blöcke? Das Thema macht mich wahnsinnig!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Damit ergibt sich dann
>
> [mm]S^{-1}BS[/mm] = [mm]\pmat{2 &&&& \\ & 2 & && \\ & & 1 & 1 & \\ & & 0 & 1 & \\ &&&&1}[/mm]
>
> Mit dem Minimalpolynom [mm](t-2)(t-1)^2[/mm] ist mir klar, warum wir
> 3 einer Blöcke und einen 2er haben. Aber das wurde uns bei
> der Lösung der Aufgabe untersagt, das zu benutzen.
>
> Wie komme ich auf die Größe der Blöcke?
du hast oben bestimmt, dass der eigenraum zum eigenwert $1$ zweidimensional ist, diese dimension gibt die anzahl der jordankästchen zum eigenwert $1$ an, es gibt also zwei kästchen. da die algebraische vielfachheit des eigenwert $1$ aber drei ist, gibt es nur die möglichkeit, wie hier angegeben.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Hallo andreas.
Dankeschön für die Antwort
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