wert definieren damit stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f: [mm] \IR [/mm] {0} --> [mm] \IR [/mm] , x -> f(x):= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * (-1 + [mm] \wurzel{x^{2} +1}) [/mm] . Wir betrachten weiter die Funktion g(x)= f(x) für [mm] x\in [/mm] D(f) , für x=0 ist g(x)=a . Definieren Sie a [mm] \in \IR [/mm] so, dass g stetig in x=0 ist! Ist g in x=0 auch differenzierbar? In welchem Zusammenhang stehen f und g? |
So, ich habe diese aufgabe zu lösen und noch ziemliche Probleme damit.
Mein ansatz bis jetzt:
g soll stetig in x=0 sein
=> für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 sodass der Betrag von f(t) - a kleiner < [mm] \varepsilon [/mm] gilt für alle t aus [mm] \IR [/mm] mit Betrag von t-0 < [mm] \delta [/mm] .
so, da betrag von t-0 = t < [mm] \delta [/mm] gelten soll, gilt:
[mm] t<\delta [/mm] und [mm] -t<\delta.
[/mm]
1. Fall:
t=0
=> f(t)=a
=> Betrag von a - a = 0 < [mm] \varepsilon. [/mm] das ist immer wahr, also kann a jede reelle zahl sein.
2.Fall:
t ist nicht 0
=> f(t) = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] * (-1 + [mm] \wurzel{t^{2} +1})
[/mm]
nun soll also gelten:
Betrag von [mm] \bruch{1}{t} [/mm] * (-1 + [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] - a < [mm] \varepsilon
[/mm]
so, und nun weiß ich nicht weiter. wie gehe ich denn jetzt weiter vor, um das ganze zu lösen?
ich weiß ja über epsilon nichts konkretes und auch über [mm] \delta [/mm] nicht, außer, dass es größer dem betrag von t und größer 0 ist.
habe mit diesem thema noch ziemliche schwierigkeiten und wäre sehr dankbar, wenn mir hier jemand helfen könnte.
danke im voraus, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die Funktion f: [mm]\IR[/mm] {0} --> [mm]\IR[/mm] , x -> f(x):=
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * (-1 + [mm]\wurzel{x^{2} +1})[/mm] . Wir betrachten
> weiter die Funktion g(x)= f(x) für [mm]x\in[/mm] D(f) , für x=0 ist
> g(x)=a . Definieren Sie a [mm]\in \IR[/mm] so, dass g stetig in x=0
> ist! Ist g in x=0 auch differenzierbar? In welchem
> Zusammenhang stehen f und g?
> So, ich habe diese aufgabe zu lösen und noch ziemliche
> Probleme damit.
Bevor ich auf deinen Ansatz eingehe, ein Tipp: mal dir die Funktion f(x) einfach auf! Sie ist ja außer für x=0 definiert. Wenn du das tust, siehst du, dass a=0 die einzige mögliche Lösung ist.
> Mein ansatz bis jetzt:
>
> g soll stetig in x=0 sein
>
> => für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0
> sodass der Betrag von f(t) - a kleiner < [mm]\varepsilon[/mm] gilt
> für alle t aus [mm]\IR[/mm] mit Betrag von t-0 < [mm]\delta[/mm] .
>
> so, da betrag von t-0 = t < [mm]\delta[/mm] gelten soll, gilt:
>
> [mm]t<\delta[/mm] und [mm]-t<\delta.[/mm]
>
> 1. Fall:
>
> t=0
>
> => f(t)=a
>
> => Betrag von a - a = 0 < [mm]\varepsilon.[/mm] das ist immer wahr,
> also kann a jede reelle zahl sein.
Das stimmt so nicht, denn ja näher x an 0 heran kommt, desto näher kommt f(x) an 0.
Nachweis: zunächst einmal gilt
[mm] \wurzel{1+x^2} \le 1+\bruch{1}{2} x^2 [/mm]
(Zum Beweis quadrierst du beide Seiten.)
Daher ist:
[mm] |f(x)| = \bruch{1}{|x|} (-1+\wurzel{1+x^2}) \le \bruch{1}{|x|}* \bruch{1}{2} x^2 = \bruch{1}{2}|x| [/mm]
Damit zeigst du, dass für a=0 die Funktion g(x) stetig ist und kannst folgern, dass g(x) für [mm] a\not=0 [/mm] nicht stetig ist.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich habe mir auch die antworten auf den anderen beitrag zu diesem thema durchgelesen und auch nochmals mein skript angeschaut.
darin steht nun dass eine funktion genau dann in einem punkt stetig ist, wenn gilt:
[mm] \limes_{t\rightarrow x} [/mm] f(t) = f(x)
wobei in diesem fall x=0 gilt.
nun habe ich einfach diesen grenzwert von links bzw. von rechts ausgerechnet, also für von rechts gilt:
$ [mm] \limes_{t\rightarrow x} [/mm] $ f(t) = lim 1/t * (-1 + $ [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] $)
= lim 1/t * ($ [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] $ - 1) * ($ [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] $ + 1) / ($ [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] $ +1)
= t / ($ [mm] \wurzel{t^{2} +1}) [/mm] $ + 1) = 0
(die 0 habe ich ermittelt indem ich einfach für x 0 eingesetzt habe, da ja nun kein unbestimmter ausdruck mehr auftaucht, wenn ich das mache. das haben wir in der übung auch so gemacht. hoffe, das ist dann so okay? )
und für den rechtsseitigen grenzwert folgt das analog.
da ich ja nun weiß, dass genau der linksseitige grenzwert = der rechtsseitige grenzwert = f(0) = a gelten soll, muss a = 0 gelten.
kann ich das so machen oder habe ich da was falsch verstanden?
vielen dank im voraus, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe mir auch die antworten auf den anderen
> beitrag zu diesem thema durchgelesen und auch nochmals mein
> skript angeschaut.
> darin steht nun dass eine funktion genau dann in einem
> punkt stetig ist, wenn gilt:
> [mm]\limes_{t\rightarrow x}[/mm] f(t) = f(x)
>
> wobei in diesem fall x=0 gilt.
>
> nun habe ich einfach diesen grenzwert von links bzw. von
> rechts ausgerechnet, also für von rechts gilt:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow x}[/mm] f(t) = lim 1/t * (-1 +
> [mm]\wurzel{t^{2} +1}) [/mm])
>
> = lim 1/t * ([mm] \wurzel{t^{2} +1})[/mm] - 1) * ([mm] \wurzel{t^{2} +1})[/mm]
> + 1) / ([mm] \wurzel{t^{2} +1})[/mm] +1)
>
> = t / ([mm] \wurzel{t^{2} +1})[/mm] + 1) = 0
>
> (die 0 habe ich ermittelt indem ich einfach für x 0
> eingesetzt habe, da ja nun kein unbestimmter ausdruck mehr
> auftaucht, wenn ich das mache. das haben wir in der übung
> auch so gemacht. hoffe, das ist dann so okay? )
>
> und für den rechtsseitigen grenzwert folgt das analog.
> da ich ja nun weiß, dass genau der linksseitige grenzwert
> = der rechtsseitige grenzwert = f(0) = a gelten soll, muss
> a = 0 gelten.
>
>
> kann ich das so machen oder habe ich da was falsch
> verstanden?
Deine Überlegung ist richtig. Nur solltest du hier von der Funktion g statt von f sprechen: in der Aufgabe geht es doch gerade darum, dass f an der Stelle x=0 nicht definiert ist, und dass man eine neue Funktion g konstruiert, die an allen anderen Punkten mit f übereinstimmt, in x=0 definiert und stetig ist. Diese Funktion kann es, wie du zu recht geschrieben hast, nur dann geben, wenn der rechts- und der linksseitige Grenzwert von f an der Stelle x=0 übereinstimmen.
Viele Grüße
Rainer
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