matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe Analysiswesentliche Singularität
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - wesentliche Singularität
wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

wesentliche Singularität: Korrektur,Tipp,Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mo 20.06.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Aufgabe:
Bestimmen die Folgen $ [mm] (z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ [/mm] und $ [mm] (w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}$ [/mm] mit
$ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n [/mm] =-1$

und
$  [mm] \frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n$ [/mm]

für alle $  [mm] n\in \mathbb{N},n\ge [/mm] N$  für ein geeignetes$  N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion

[mm] [center]$f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto exp(\frac{z}{z+1})$[/center] [/mm]

eine wesentliche Singularität in $ z = -1$ hat.

Lösung:

Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im Skript als :

Satz von Casorati-Weierstrass:

Die holomorphe Funktion [mm] $f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}$ [/mm] habe in $a $ eine isolierte Singularität.


Gibt es Folgen [mm] $z_n$ [/mm] und [mm] $w_n \in [/mm] U [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] mit

$ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n [/mm] =a$ und $ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n [/mm] $

so hat $ f$ in $a$ eine wesentliche Singularität.

Zu erst muss gezeigt werden, dass $z= -1 $eine isolierte Singularität für $f $ist. $f$ hat in $-1 $eine isolierte Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von $-1$ gibt, in der $f$holomorph ist,d.h es gibt ein $r$ sodass [mm] $f|_{K_r(-1)}$ [/mm] holomorph ist.

$f$ ist holomorph $ [mm] \Leftrightarrow [/mm] f$ ist komplex diffbar in [mm] $z_0=-1 [/mm] $in einer Umgebung [mm] $\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ [/mm] existiert.

das heißt [mm] $\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0$ [/mm] (ist so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein oder?

Des weiteren habe ich für [mm] $w_n [/mm] = [mm] -\frac{n}{n+1}$,die [/mm] die beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm] $z_n$ [/mm] eine Idee?

Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
wesentliche Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Mo 20.06.2022
Autor: fred97


> Aufgabe:
>  Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
>  [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> und
>   [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm]  für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
>  
> [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
>
> eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
>  Lösung:
>  
> Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> Skript als :
>  
> Satz von Casorati-Weierstrass:
>  Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
>  
>
> Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]

Na,na, am Ende lautet das [mm] \lim f(z_n) \ne \lim f(w_n) [/mm]


>  so
> hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.

Das ist die Definition,  aber nicht der Satz von Casorati - Weierstrass.


>  
> Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.

Das sollte aber [mm] K_r(-1) \setminus \{-1\} [/mm] lauten.

>  
> [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert.

Das ist nicht zu verstehen.

>  
> das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> oder?
>  

Was machst du da?  f ist in -1 nicht differenzierbar, weil f dort nicht definiert ist.


> Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> Idee?

Obige  Definition von [mm] z_n [/mm] nach [mm] z_n [/mm] auflösen

>  
> Danke für eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
wesentliche Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Mo 20.06.2022
Autor: nkln

Hallo,

danke erstmal für deine Antwort.

ich habe nun für [mm] $z_n:=-\frac{n}{n-1}$ [/mm] raus und diese Folge erfüllt auch die Bedingungen. Kann ich jetzt einfach den Satz referenzieren den ich oben angeführt habe oder muss ich noch zeigen, dass $f$ holomorph ist auf [mm] $\mathbb{C}\setminus \{-1\}$ [/mm] und das $-1$ eine isolierte Singularität von $f$ ist, da diese ja Voraussetzung für den Satz sind?

Bezug
                        
Bezug
wesentliche Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mo 20.06.2022
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> danke erstmal für deine Antwort.
>  
> ich habe nun für [mm]z_n:=-\frac{n}{n-1}[/mm] raus und diese Folge
> erfüllt auch die Bedingungen. Kann ich jetzt einfach den
> Satz referenzieren den ich oben angeführt habe oder muss
> ich noch zeigen, dass [mm]f[/mm] holomorph ist auf
> [mm]\mathbb{C}\setminus \{-1\}[/mm] und das [mm]-1[/mm] eine isolierte
> Singularität von [mm]f[/mm] ist, da diese ja Voraussetzung für den
> Satz sind?


Du musst doch nur zeigen,  dass [mm] \lim f(z_n) \ne \lim f(w_n) [/mm] ist. Dann bist du fertig.

Bezug
                                
Bezug
wesentliche Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Mi 22.06.2022
Autor: HJKweseleit

Wieso folgt daraus, dass die Singularität wesentlich ist und keine Polstelle?

Bezug
                                        
Bezug
wesentliche Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Mi 22.06.2022
Autor: fred97


> Wieso folgt daraus, dass die Singularität wesentlich ist
> und keine Polstelle?

Angenommen, $f$ hätte in $-1$ einen Pol. Ist dann [mm] $(v_n)$ [/mm] eine Folge mit [mm] $v_n \ne [/mm] -1$ für alle $n$ und [mm] $v_n \to [/mm] -1$, so gilt

  [mm] $|f(v_n)| \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty.$ [/mm]

Das ist aber ein Widerspruch, denn für obige Folge [mm] $(w_n)$ [/mm] gilt

   [mm] $f(w_n) [/mm] = [mm] e^{-n} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty.$ [/mm]


Bezug
                                                
Bezug
wesentliche Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Mi 22.06.2022
Autor: HJKweseleit

Danke.

Mir war aus dem Blick geraten, dass im Komplexen ja [mm] +\infty=-\infty [/mm] gilt.

Bei einer Polstelle a kommt als Grenzwert ja immer [mm] \infty [/mm] für |f(a)| heraus und damit für alle Folgen [mm] \infty, [/mm] z.B.

[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1/n} =\infty [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{-1/n} [/mm] = [mm] -\infty =\infty, [/mm]
und da beide Grenzwerte im Komplexen gleich sind, ist die Voraussetzung ungleicher Grenzwerte nicht erfüllt.

Bezug
        
Bezug
wesentliche Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mi 22.06.2022
Autor: HJKweseleit


> Aufgabe:
>  Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
>  [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> und
>   [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm]  für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
>  
> [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
>
> eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
>  Lösung:
>  
> Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> Skript als :
>  
> Satz von Casorati-Weierstrass:
>  Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
>  
>
> Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
>  



> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und

> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]

Das widerspricht sich doch!


>  so
> hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.
>  
> Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.
>  
> [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert.
>  
> das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> oder?
>  
> Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> Idee?
>  
> Danke für eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
wesentliche Singularität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Mi 22.06.2022
Autor: fred97


> > Aufgabe:
>  >  Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> > [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
>  >  [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> > und
>  >   [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> > für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm]  für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> > .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
>  >  
> > [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
> >
> > eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
>  >  Lösung:
>  >  
> > Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> > Skript als :
>  >  
> > Satz von Casorati-Weierstrass:
>  >  Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> > habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
>  >  
> >
> > Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
>  >  
>
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]
>  
> Das widerspricht sich doch!



Das habe ich in meiner ersten Antwort schon gesagt und berichtigt.


>  
> >  so

> > hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.
>  >  
> > Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> > Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> > Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> > gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> > [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.
>  >  
> > [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> > [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> > existiert.
>  >  
> > das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> > so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> > oder?
>  >  
> > Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> > beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> > Idee?
>  >  
> > Danke für eure Hilfe!
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]