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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 13.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo! 
Nun sitze ich an einer weiteren Aufgabe, und weis nicht, wo ich ansetzen soll...
Aufgabe:
Zufallsstichproben ergaben, dass der Anteil aller untersuchten PKW, die auf allen 4 Rädern einen korrekten Reifendruck haben, unbeschadet wechselnder äußerer Umstände - wie Außentemperatur und Luftdruck - immer dicht bei lediglich 30 % liegt. Zwei Passanten stehen an einer Straßenkreuzung und diskutieren darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau 27 Fahrzeuge mit korrektem Reifendruck über die Kreuzung fahren innerhaln einer Stunde. Ihre Diskussion entzündete sich an einer Zeitungsmeldung, derzufolge die zufällige Anzahl Z von Fahrzeugen, die innerhalb einer Stunde diese Kreuzung passieren, poissonverteilt sei mit dem Parameter [mm] \lambda=90 [/mm] (d.h. es gilt P(Z = k) = [mm] ((\lambda^k)/(k!))*e^-\lambda). [/mm] Wie lautet die Antwort auf die diskutierte Frage?
Meine Überlegungen:
[mm] EZ=\lambda=90
[/mm]
[mm] Var(Z)=\lambda=90
[/mm]
Hieraus könnte ich die Wkt [mm] P(Z\le [/mm] 27) schätzen mit Hilfe der Cebysev-Ungleichung:
[mm] P(Z\le [/mm] 27)=P( |Z-EZ [mm] |\le -63)\le [/mm] P( |Z-EZ [mm] |\ge 63)\le \bruch{Var(Z)}{63*63}= \bruch{90}{63*63}=0,022675
[/mm]
Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob dies von mir verlangt wird, denn gesucht sei ja die Wkt. "...genau 27..." Ich weis nicht, wo ich ansetzen soll? Verstehe ich die Aufgabe nicht richtig?
Wäre für Tips dankbar!
lg
abadonna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo abadonna,
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stunde genau k Autos über die Kreuzung fahren ist, wie du schon angegeben hast
[mm] ((\lambda^k)/(k!))\cdot{}e^-\lambda)
[/mm]
wobei [mm] \lambda=90.
[/mm]
Die Wahrschinlichkeit, dass nun genau 27 dieser k Wagen korrekten Reifendruck haben beträgt
[mm] \vektor{k \\ 27} [/mm] * 0,3^27 * [mm] 0,7^{k-27}.
[/mm]
Multiplikation dieser Werte liefert die Wahrscheinlichlkeit für den Fall, dass genau k Wagen über die Kreuzung fahren, und dass genau 27 von ihnen korrekten Reifendruck haben. Wir müssen also noch über die k summieren und sind dann fertig. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also:
P = [mm] \sum_{k=0}^\infty ((\lambda^k)/(k!))\cdot{}e^-\lambda) [/mm] * [mm] \vektor{k \\ 27} [/mm] * 0,3^27 * [mm] 0,7^{k-27}.
[/mm]
Das ist ungefähr gleich 0.076539.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 14.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo Holy Diver!
Aha... Da wär ich lange nicht drauf gekommen, dass das zweite binomialverteilt ist, obwohl wenn ich jetzt die Lösung sehe, mir alles so logisch erscheint 
Danke für die Hilfe!
lg
abadonna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 15.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo noch mal
Zu früh gefreut... Wie kommt man eigentlich zum Ergebnis 0,076539??? wie kann ich denn überhaupt über k summieren? k ist ja unbekannt?! Ich habe irgendwie lange Rechnungen, die kein Sinn ergeben... Mir ist schon klar, warum man multipliziert, aber die Summe?
wäre für einen weiteren Tip dankbar!
lg
abadonna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Summe lässt sich dann so berechnen:
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] e^{-90} \sum\limits_{k=27}^{\infty} \frac{90^k}{k!} \cdot \frac{k!}{(27)!(k-27)!} \cdot 0,3^{27} \cdot 0,7^{k-27}$
[/mm]
[mm] $=\frac{e^{-90} \cdot (0,3 \cdot 90)^{27}}{27!} \underbrace{\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(0,7 \cdot 90)^k}{k!}}_{= e^{63}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{e^{-27} \cdot 27^{27}}{27!}$
[/mm]
[mm] $\approx [/mm] 0,076539$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mi 15.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo!
Da hätte ich noch lange rechnen können..., dass man die letzte Summe gleichsetzen mit e^63 darf, wusste ich nicht, aber man lernt immer dazu
Danke noch mal!
lg
abadonna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 16.06.2005 | | Autor: | malina |
hi, vielen dank für den hinweis, hast mir wirklich geholfen
ich studiere in paderborn , und du?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Di 21.06.2005 | | Autor: | abadonna |
Hey!
Ist ja echt lustig, ich studiere auch in pb, hörst du etwa auch Stochastik bei Dietz?
bis dann!
lg
abadonna
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