wohlordnungsprinzip < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
Hallo,
ich soll.aus dem Wohlordnungsprinzip das Prinzip der vollständigen Induktion.folgern!
Kann mir jemand einen Tipp geben??!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mi 07.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fang damit an, dass du die 2 formulierst und aufschreibst, vielleicht kommt der Beweis dann schon auf dich zu.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Do 08.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
Dann habe ich:
[mm] m\in \IN, [/mm] sodass P(1),...,P(m) wahr
k>m, j<k ist P(j) wahr, dann ist P(k) wahr
... also das ist uns noch gegeben!
Wohlordnungsaxiom:
[mm] A\subset \IN [/mm] hat ein kleinstes Element a, sodass [mm] a\le [/mm] b für alle [mm] b\in [/mm] A
Wie mache ich jetzt weiter?
Soll ich vielleicht annehmen dass j das kleinste Element in einer Teilmenge K ist? Dann wäre ja j<k schonmal erfüllt. Und dann???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Do 08.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lisa,
sei nicht so sparsam mit Quantoren wie "es existiert" [mm] ($\exists$) [/mm] und "für alle" [mm] ($\forall$)!
[/mm]
> Dann habe ich:
> [mm]m\in \IN,[/mm] sodass P(1),...,P(m) wahr
> k>m, j<k ist P(j) wahr, dann ist P(k) wahr
> ... also das ist uns noch gegeben!
Das Prinzip der vollständigen Induktion sagt nun, dass in dieser Situation P(n) für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
> Wohlordnungsaxiom:
> [mm]A\subset \IN[/mm] hat ein kleinstes Element a, sodass [mm]a\le[/mm] b
> für alle [mm]b\in[/mm] A
Falls [mm] $A\not=\emptyset$!
[/mm]
> Wie mache ich jetzt weiter?
> Soll ich vielleicht annehmen dass j das kleinste Element
> in einer Teilmenge K ist? Dann wäre ja j<k schonmal
> erfüllt. Und dann???
Betrachte in der Tat eine Teilmenge von [mm] $\IN$, [/mm] nämlich [mm] $A:=\{n\in\IN\;|\;P(n)\text{ gilt nicht}\}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $A=\emptyset$.
[/mm]
Nimm an, es wäre [mm] $A\not=\emptyset$. [/mm] Nach Wohlordnungsprinzip hätte A dann ein kleinstes Element a.
Kann [mm] $a\le [/mm] m$ gelten?
Kann $a>m$ gelten?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 08.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
Sei A = [mm] \emptyset
[/mm]
Dann [mm] \exists a\in [/mm] A sodass [mm] a\le [/mm] b für alle b [mm] \in [/mm] A
Da A [mm] \subset \IN [/mm] und m [mm] \in \IN [/mm] muss gelten [mm] a\le [/mm] m
RICHTIG??? und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 08.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei A = [mm]\emptyset[/mm]
> Dann [mm]\exists a\in[/mm] A sodass [mm]a\le[/mm] b für alle b [mm]\in[/mm] A
Wenn [mm] $A=\emptyset$, [/mm] existiert sicherlich kein [mm] $a\in [/mm] A$.
Unsere Widerspruchsannahme war: [mm] $A:=\{n\in\IN\;|\;P(n)\text{ gilt nicht}\}\not=\emptyset$.
[/mm]
Unter dieser Annahme existiert nach dem Wohlordnungsprinzip ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $a\le [/mm] b$ für alle [mm] $b\in [/mm] A$.
> Da A [mm]\subset \IN[/mm] und m [mm]\in \IN[/mm] muss gelten [mm]a\le[/mm] m
> RICHTIG??? und dann?
Mit m meine ich das m aus der Voraussetzung des Induktionsprinzips. Es gelten [mm] $A\subset\IN$ [/mm] und [mm] $m\in\IN$, [/mm] aber wir wissen noch nicht, ob [mm] $m\in [/mm] A$. Daher können wir so nicht auf [mm] $a\le [/mm] m$ schließen.
Wir wissen aber: [mm] $P(1),\ldots,P(m)$ [/mm] gelten. Also [mm] $1,\ldots,m\not\in [/mm] A$. Kann also [mm] $a\in [/mm] A$ kleiner oder gleich m sein?
Da für alle [mm] $b\in [/mm] A$ bereits [mm] $a\le [/mm] b$ gilt, kann für [mm] $b\in\IN$ [/mm] mit $b<a$ nicht [mm] $b\in [/mm] A$ gelten, d.h. für $b<a$ haben wir P(b), während P(a) wegen [mm] $a\in [/mm] A$ nicht gilt.
Wir setzen voraus: Für jedes $k>m$ gilt: Gilt P(j) für alle $j<k$, so gilt auch P(k). Insbesondere gilt falls $a>m$: Gilt P(b) für alle b<a, so gilt auch P(a).
Kann also a>m sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 08.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
Da 1,...,m /not= A kann a nicht kleiner oder gleich m sein!!
... ich steh auf dem Schlauch! :-((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Do 08.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Da 1,...,m [mm] \red{\not=}\blue{\not\in} [/mm] A kann a nicht kleiner oder gleich m
> sein!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ... ich steh auf dem Schlauch! :-((
Es muss also a>m gelten.
Wir wissen: $P(b)$ gilt für alle b<a.
Wegen a>m und P(b) gilt für alle b<a, sagt uns die Voraussetzung des Induktionsprinzips, dass auch P(a) gilt,
Wegen [mm] $a\in [/mm] A$ gilt aber nicht P(a). Widerspruch.
Also war unsere Annahme [mm] $A\not=\emptyset$ [/mm] falsch. Somit [mm] $A=\emptyset$, [/mm] also gilt tatsächlich P(n) für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Do 08.11.2012 | | Autor: | Lisa12 |
aaaaah ... ich muss also einfach alles weiterführen! 
oh mann, vielen, vielen dank für die Hilfe!
... ich muss wohl lernen logischer zu denken!
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