wurzel aus Neg. Zahlen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Fr 12.05.2023 | | Autor: | Spica |
Wie viel ist [mm] \wurzel{-6} \* \wurzel{-6} [/mm] nach korrekter math. Definition?
[mm] \wurzel{-6} \* \wurzel{-6} [/mm] = [mm] \wurzel{-6\*-6} [/mm] = [mm] \wurzel{36} [/mm] = 6 erlaubt ?
[mm] \wurzel{-6} \* \wurzel{-6} [/mm] = [mm] (\wurzel{-6})^{2} [/mm] = -6 erlaubt ?
Oder ist nur [mm] \wurzel{-6} \* \wurzel{-6} [/mm] = [mm] i\*\wurzel{6}\*i\*\wurzel{6} [/mm] = [mm] i^{2}6 [/mm] richtig, wie ich vermute ?
Wie lautet die Regel, die dafür sorgt, dass es nur ein richtiges Ergebnis geben kann? Weiß das jemand?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 12.05.2023 | | Autor: | Infinit |
Hallo Spica,
die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ist im Reellen nicht definiert, wohl aber in der komplexen Zahlenebene. Somit ist Deine dritte Lösung die richtige, denka daran dass [mm] i^2 = -1 [/mm] ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Sa 13.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Infinit,
dann ist das soweit klar und nur die dritte Lösung die richtige.
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$ [mm] \wurzel{-6} [/mm] * [mm] \wurzel{-6} [/mm] $ = $ [mm] i*\wurzel{6}*i*\wurzel{6} [/mm] $ = $ [mm] i^{2}6 [/mm] $
Nein !
weil √(-6) nicht eindeutig definiert ist, ist auch
√(-6) * √(-6) nicht definiert.
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Im Bereich der reellen Zahlen ist eine Quadratwurzel [mm] $\sqrt [/mm] x$ genau dann definiert, wenn x≥0 ist. Der Wert der Wurzel ist dann jene (eindeutig definierte) nicht-negative Zahl w, deren Quadrat gleich x ist, also $ [mm] w^2 [/mm] = x$ .
Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Quadratwurzel nicht eindeutig definiert. Man kann dann nur sagen, dass die Gleichung $ [mm] w^2 [/mm] = z$ für jede von Null verschiedene komplexe Zahl z jeweils zwei einander entgegengesetzte, gleichwertige Lösungen $ [mm] w_1$ [/mm] und $ [mm] w_2$ [/mm] hat.
Dies gilt auch im Falle, wo z eine negative reelle Zahl ist.
Beispielsweise ist es also nicht wirklich korrekt, wenn man sagt, die imaginäre Einheit i sei "die Quadratwurzel aus minus eins" .
Die Gleichung $ [mm] z^2 [/mm] = -1$ hat nämlich keine eindeutige Lösung, sondern die beiden gleichwertigen Lösungen +i und -i .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Sa 13.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, deine Anmerkungen erhellen mir die Thematik. Auch in der Mathematik gilt wohl der Grundsatz: Per aspera ad astra (Auf steinigem Wege zu den Sternen) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 So 14.05.2023 | | Autor: | Infinit |
Ja, dieser Spruch ist nicht so verkehrt. Wenn man aber alnge darüber grübelt, gilt meistens: Per aspera ad aspirin 
Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Spica |
<<Per aspera ad aspirin>>
Gilt bei mir bei >2 Biere. Nur bis dahin ist der Weg leider auch nicht allzu steinig. Kommt aber Gott sei Dank selten vor.
VG Spica
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Hiho,
> [mm]\wurzel{-6} \* \wurzel{-6}[/mm] = [mm]\wurzel{-6\*-6}[/mm] = [mm]\wurzel{36}[/mm]
> = 6 erlaubt ?
> [mm]\wurzel{-6} \* \wurzel{-6}[/mm] = [mm](\wurzel{-6})^{2}[/mm] = -6
> erlaubt ?
> Oder ist nur [mm]\wurzel{-6} \* \wurzel{-6}[/mm] =
> [mm]i\*\wurzel{6}\*i\*\wurzel{6}[/mm] = [mm]i^{2}6[/mm] richtig, wie ich vermute ?
Da [mm] $i^2 [/mm] = -1$ gilt, wäre auch hier das Ergebnis $-6$.
Aber Gegenfrage: Wer sagt dir denn, dass die von dir verwendeten Rechenregeln im Komplexen erlaubt sind?
Genau da liegt der Knackpunkt hier: Die Rechenregeln für Wurzeln gelten im Komplexen nicht mehr, wie du an dem Beispiel erkennst.
Ergo: Man erkauft sich den Mehrwert der Komplexen Zahlen mit dem Verlust von einigen Rechenvorschriften…
Viele Grüße
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Spica |
<<Aber Gegenfrage: Wer sagt dir denn, dass die von dir verwendeten Rechenregeln im Komplexen erlaubt sind?>>
Was stimmt denn nun? Infinit als Moderator z.B. meinte, dass [mm] i^{2}6 [/mm] stimmen würde. Da [mm] i^{2} [/mm] = -1 ist, wäre somit doch auch -6 richtig.
Das behauptet auch der Mathematiker Presh Talwalkar (Standford Absolvent, Shorty Awards Nominee 2017) und Publizist math. Bücher.
Er nimmt das Beispiel [mm] \wurzel{-4} \* \wurzel{-9} [/mm] und gibt als Lösung -6 an.
Hier sein Youtube Short:
https://www.youtube.com/watch?v=vczGpZZ8CSw
Tja, staunend sieht's der anbetroffene Chef.
VG Spica
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Hiho,
> <<Aber Gegenfrage: Wer sagt dir denn, dass die von dir
> verwendeten Rechenregeln im Komplexen erlaubt sind?>>
>
> Was stimmt denn nun?
Meine Aussage steht ja nun nicht im Widerspruch zu dem bisher gesagten…
> Infinit als Moderator z.B. meinte,
> dass [mm]i^{2}6[/mm] stimmen würde. Da [mm]i^{2}[/mm] = -1 ist, wäre somit
> doch auch -6 richtig.
Obwohl du nicht korrekt rechnest, kannst du ja trotzdem aufs richtige Ergebnis kommen.
Und glücklicherweise hängt die Korrektheit der Mathematik ja nicht von Berechtigungen des hiesigen Forums ab… auch wenn das Matheraum heißt.
Und Infinit hat ja auch nichts anderslautendes behauptet als ich jetzt…
> Das behauptet auch der Mathematiker Presh Talwalkar
WAS behauptet er?
Dass die aus dem Rellen bekannten Wurzelgesetze auch im Komplexen gelten?
Das wage ich mal ganz stark zu bezweifeln… und wenn er es tut, liegt er falsch.
Aber dankenswerterweise tut er das gar nicht, ganz im Gegenteil: Er sagt klar und deutlich "You can't use your normal square root properties"… wobei er mit "normal" eben die aus den rellen Zahlen meint.
> Er nimmt das Beispiel [mm]\wurzel{-4} \* \wurzel{-9}[/mm] und gibt als Lösung -6 an.
Das stimmt ja auch, aber eben der Weg dorthin ist ein anderer und verwendet nicht die bekannten Wurzelgesetze…
hinzu kommt, dass sein Weg (bzw. genau genommen nur der gesprochene Text) auch eine Ungenauigkeit enthält.
Zwar gilt [mm] $\sqrt{-4}\sqrt{-4} [/mm] = [mm] (i\sqrt{4})(i\sqrt{9})$, [/mm] was aber nicht notwendigerweise aus der Definition der komplexen Zahlen folgt, ist [mm] $\sqrt{-4} [/mm] = [mm] i\sqrt{4}$, [/mm] genausogut könnte [mm] $\sqrt{-4} [/mm] = [mm] -i\sqrt{4}$ [/mm] gelten.
In den komplexen Zahlen wird $i$ nämlich als ein Element definiert, für das [mm] $i^2 [/mm] = -1$ gilt… das ist aber nicht eindeutig.
Wähle ich mir mein $i$, hätte ich ebenso das konjugiert komplexe $j=-i$ dazu auswählen können und hätte exakt dieselbe Mathematik bekommen.
Denn es gilt eben NICHT wie oft angenommen $i = [mm] \sqrt{-1}$, [/mm] sondern genausogut könnte auch $i = [mm] -\sqrt{-1}$ [/mm] gesetzt werden… festgesetzt ist einzig: [mm] $i^2 [/mm] = -1$.
Warum taucht das trotzdem in dem Video auf? Weil die Zielgruppe eben nicht so tief im Thema steckt und es für die breite Masse schlichtweg auch egal ist, solche Details zu wissen. Da nimmt man für eine bessere Verständlichkeit eben gerne mal Ungenauigkeiten in einem YouTube Video in Kauf… dafür ist es ein YouTube-Video und eben eine Vorlesung über komplexe Zahlen…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Spica |
Gut, dann ist also nur [mm] i^{2}=-1 [/mm] eindeutig und die Lösung -6 ist nicht falsch, aber auch nicht die ganze Wahrheit, wenn ich es richtig verstehe.
<<Da $ [mm] i^2 [/mm] = -1 $ gilt, wäre auch hier das Ergebnis $ -6 $.
Aber Gegenfrage: Wer sagt dir denn, dass die von dir verwendeten Rechenregeln im Komplexen erlaubt sind?>>
Dann habe ich das mißverstanden, weil du den Konjunktiv verwendet hattest und ich aufgrund der Gegenfrage folgerte, dass eben -6 falsch sei.
Verwirrend war auch für mich, dass Al-Chwarizimi auf Infinit und mich antwortete, dass [mm] i^{2}6 [/mm] schon falsch sei, weil [mm] \wurzel{-6} \*\wurzel{-6} [/mm] nicht definiert sei.
Vg Spica
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