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x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Do 05.06.2014
Autor: low_head

Aufgabe
Finden Sie alle Lösungen in den Restklassen modulo 35
[mm] x^2 [/mm] − 1 ≡ 0 (mod 35)

Hey!

Erstmal habe ich die Gleichung umgeformt zu

[mm] x^2 [/mm] ≡ 36 (mod 35) <-> x ≡ 6 (mod 35) führt.
Eine Lösung ist demnach 6.

Probe: [mm] 6^2-1 [/mm] ≡ 0 (mod 35) stimmt.

Aber wie komme ich an alle Lösungen?
zB habe ich durch ausprobieren noch die 1 gefunden.

Demnach hätte ich schon mal 2 Lösungen (6 und 1).
Aber gibt es mehr? Wenn ja, wie bestimme ich diese?



        
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Finden Sie alle Lösungen in den Restklassen modulo 35
> [mm]x^2[/mm] − 1 ≡ 0 (mod 35)
> Hey!

>

> Erstmal habe ich die Gleichung umgeformt zu

>

> [mm]x^2[/mm] ≡ 36 (mod 35) <-> x ≡ 6 (mod 35) führt.
> Eine Lösung ist demnach 6.

>

> Probe: [mm]6^2-1[/mm] ≡ 0 (mod 35) stimmt.

>

> Aber wie komme ich an alle Lösungen?
> zB habe ich durch ausprobieren noch die 1 gefunden.

>

> Demnach hätte ich schon mal 2 Lösungen (6 und 1).
> Aber gibt es mehr? Wenn ja, wie bestimme ich diese?

>

Ja, es gibt noch mehr. Und es bietet sich eine Faktorisierung nach Francessco von Binomi dem III. an, um selbige zu finden. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Do 05.06.2014
Autor: low_head

Die dritte binomische Formel.

(x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)

Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1 (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35)  auch Lösungen sind.

Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
Hab ich nun alle?


Bezug
                        
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Do 05.06.2014
Autor: MathePower

Hallo low_head,

> Die dritte binomische Formel.
>  
> (x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)
>
> Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1
> (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35)  auch Lösungen sind.
>  
> Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
> Hab ich nun alle?
>  


Nein, es fehlt noch eine.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 05.06.2014
Autor: low_head


>
>
> Nein, es fehlt noch eine.
>  
>

Was übersehe ich denn?
Irgendwie steh ich aufem Schlauch.

Bezug
                                        
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 05.06.2014
Autor: Diophant

Hallo,

>

> >
> >
> > Nein, es fehlt noch eine.
> >
> >

>

> Was übersehe ich denn?

Symmetrieffekte...

Wie liegen denn die Lösungen x=1 und x=34 in der Restklasse? Welche weitere Lösung könnte man dann aus x=6 noch vermuten...

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Do 05.06.2014
Autor: low_head

Vielen Dank nun ist es klar geworden.

Bezug
                        
Bezug
x^2 − 1 ≡ 0 (mod 35) lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Do 05.06.2014
Autor: abakus


> Die dritte binomische Formel.

>

> (x-1)(x+1) ≡ 0 (mod 35)

>

> Ah! Ich kann ich nun daraus schließen, dass x ≡ 36 ≡ 1
> (mod 35) und x ≡ 34 (mod 35) auch Lösungen sind.

>

> Somit habe ich dann 3 Lösungen: 1,6 und 34.
> Hab ich nun alle?

Hallo,
ich übersetze mal aus der Sprache der Kongruenzen in normales Deutsch:
(x-1)(x+1) ist durch 35 teilbar.
Das ist folgendermaßen möglich:
(x-1) ist durch 35 teilbar.
(x+1) ist durch 35 teilbar. 
(x+1) ist durch 5 teilbar und (x-1) ist durch 7 teilbar. 
(x+1) ist durch 7 teilbar und (x-1) ist durch 5 teilbar.  

Gruß Abakus
>

Bezug
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