x^3 kongruent x mod 15 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Gleichung: [mm] x^{3} \equiv [/mm] x mod 15! |
Guten Abend zusammen,
ich hänge bei der obigen Aufgabe im Moment irgendwie auf dem Schlauch, auch wenn Sie mir nicht schwierig erscheint. Nach der Defintion von Modulo habe ich die Aufgabe durch Raten gelöst und bin darauf gekommen dass [mm] 4^{3}-4=4*15 [/mm] ist, d.h. für x=4 ist die obige Kongruenz lösbar. Nur ich würde gerne wissen, wie diese Aufgabe formell ohne Raten lösen würde? Mit chinesischen Restsatz/Satz von Euler?!
Beste Grüße
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moin,
> Lösen Sie folgende Gleichung: [mm]x^{3} \equiv[/mm] x mod 15!
> Guten Abend zusammen,
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> ich hänge bei der obigen Aufgabe im Moment irgendwie auf
> dem Schlauch, auch wenn Sie mir nicht schwierig erscheint.
> Nach der Defintion von Modulo habe ich die Aufgabe durch
> Raten gelöst und bin darauf gekommen dass [mm]4^{3}-4=4*15[/mm]
> ist, d.h. für x=4 ist die obige Kongruenz lösbar. Nur ich
> würde gerne wissen, wie diese Aufgabe formell ohne Raten
> lösen würde? Mit chinesischen Restsatz/Satz von Euler?!
Ja, CRS ist eine gute Idee.
Hast du das ganze dann auf modulo $3$ und modulo $5$ runtergebrochen würde ich dir raten die Gleichung umzustellen, sodass du [mm] $x^3 [/mm] -x = 0$ hast.
Dann kannst du benutzen, dass [mm] $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_5$ [/mm] Körper sind.
Wie kannst du mit diesem Wissen systematisch (ohne zu raten) die Nullstellen des Polynoms [mm] $p=x^3 [/mm] -x$ finden?
Hieran siehst du auch, dass du einen Körper brauchst, denn in [mm] $\IZ_{15}$ [/mm] hat dieses Polynom 9 Nullstellen.
lg
Schadow
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Hallo ihr Beiden,
ich danke erstmal für Eure Mühen und Ausführungen. Aber da ich nichtmals in Bochum wohne, repräsentiere ich die Stadt nicht wirklich, also hallo Bochum ist etwas unangebracht :).
Also [mm] x^{3} \equiv [/mm] x mod 15 muss ich alle Lösungen finden, das dachte ich mir schon soweit. Ich war nur etwas irritiert, weil der chinesische Restsatz "nur" besagt, man für paarweise teilerfreme [mm] m_{1} [/mm] bis [mm] m_{k} [/mm] (m= [mm] \produkt_{i=1}^{n} m_{i}) [/mm] für jede Wahl von [mm] b_{1} \in \IZ_{m_{1}} [/mm] ... [mm] b_{k} \in \IZ_{m_{k}} [/mm] genau ein x [mm] \in \IZ_{m} [/mm] gibt, das die simultane Kongruenzen x [mm] \equiv b_{1} [/mm] mod [mm] m_{1} [/mm] löst ... x [mm] \equiv b_{k} [/mm] mod [mm] m_{k} [/mm] löst.
Also der chinesische Restsatz sagt mir, dass ich 15 in der Produkt 15=3*5 aufteilen kann, nur welche beiden simultane Kongruenzen erhalten ich dann?
Muss ich so vorgehen?
[mm] x^{3}-x [/mm] = k*3*5
[mm] \gdw [/mm] x*(x-1)*(x+1) = k*3*5
[mm] \gdw [/mm] 3 | (x-1) [mm] \wedge [/mm] 5 | [mm] x^2-x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \wedge x^{2} \equiv x^{1} [/mm] mod 5
Jetzt meine Frage, wie stelle ich auf [mm] x^3-x=0 [/mm] um? Ich versteh schon worauf du mit der Eigenschaft der Köfper hinauswillst, nur ich vertseh noch nicht wie auf [mm] x^3-x=0 [/mm] komme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Sa 18.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo ihr Beiden,
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> ich danke erstmal für Eure Mühen und Ausführungen. Aber
> da ich nichtmals in Bochum wohne, repräsentiere ich die
> Stadt nicht wirklich, also hallo Bochum ist etwas
> unangebracht :).
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> Also [mm]x^{3} \equiv[/mm] x mod 15 muss ich alle Lösungen
> finden, das dachte ich mir schon soweit. Ich war nur etwas
> irritiert, weil der chinesische Restsatz "nur" besagt, man
> für paarweise teilerfreme [mm]m_{1}[/mm] bis [mm]m_{k}[/mm] (m=
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} m_{i})[/mm] für jede Wahl von [mm]b_{1} \in \IZ_{m_{1}}[/mm]
> ... [mm]b_{k} \in \IZ_{m_{k}}[/mm] genau ein x [mm]\in \IZ_{m}[/mm] gibt, das
> die simultane Kongruenzen x [mm]\equiv b_{1}[/mm] mod [mm]m_{1}[/mm] löst
> ... x [mm]\equiv b_{k}[/mm] mod [mm]m_{k}[/mm] löst.
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> Also der chinesische Restsatz sagt mir, dass ich 15 in der
> Produkt 15=3*5 aufteilen kann, nur welche beiden simultane
> Kongruenzen erhalten ich dann?
> Muss ich so vorgehen?
> [mm]x^{3}-x[/mm] = k*3*5
> [mm]\gdw[/mm] x*(x-1)*(x+1) = k*3*5
> [mm]\gdw[/mm] 3 | (x-1) [mm]\wedge[/mm] 5 | [mm]x^2-x[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 [mm]\wedge x^{2} \equiv x^{1}[/mm] mod 5
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> Jetzt meine Frage, wie stelle ich auf [mm]x^3-x=0[/mm] um? Ich
> versteh schon worauf du mit der Eigenschaft der Köfper
> hinauswillst, nur ich vertseh noch nicht wie auf [mm]x^3-x=0[/mm]
> komme?
Hallo,
so ist die Kongruenz zweier Zahlen definiert!
[mm]a\equiv b mod m[/mm] wird dadurch definiert, dass m|(b-a) gilt.
Und wenn b-a durch m teilbar ist heißt das nichts anderes, als dass
[mm]b-a\equiv 0 \;mod \;m[/mm] gilt.
Andere Begründung:
Für Kongruenzen gelten bestimmte Rechenregeln, z.B.
Aus [mm]a\equiv b \;mod \;m[/mm] und [mm]c\equiv d\, mod \,m[/mm] folgt [mm](a-c)\equiv (b-d) \,mod \,m[/mm].
Aus [mm]x^3\equiv x\;mod\;m[/mm] und der offensichtlich wahren Aussage [mm]x\equiv x\;mod\;m[/mm] folgt durch Subtraktion [mm]x^3-x\equiv x-x\equiv 0\;mod\;m[/mm] .
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mi 15.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Bochum! (wo auch immer Du eigentlich wohnst)
Wenn Du Schadows Hinweisen folgst, wirst Du feststellen, dass es fünf acht weitere Lösungen gibt.
Kleiner Tipp: [mm] x^3-x [/mm] kann man faktorisieren...
Das Wesentliche an der Aufgabe ist nicht, eine Lösung zu finden, sondern sicherzustellen, dass man alle gefunden hat.
Die dritte binomische Formel ist hierzu unglaublich hilfreich. 
Grüße
reverend
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> Wenn Du Schadows Hinweisen folgst, wirst Du feststellen,
> dass es fünf weitere Lösungen gibt.
3 Lösungen mod 3, 3 mod 5 gibt $3*3 = 9$ Lösungen mod 15, also 8 weitere. ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Mi 15.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadow,
da hast Du wohl Recht.
Eigentlich hat sich meine Mitteilung damit komplett erledigt, aber ich redigiere sie dann wenigstens dementsprechend.
Danke für die Korrektur!
lg
rev
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