x=-2 impliziert x^2=4 < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Es gilt ja bekanntlich:
x=-2 [mm] \Rightarrow x^2=4 [/mm]
Das ist mir klar. Für x=2 eingesetzt wird die 1. Teilaussageform falsch und die 2. Teilaussageform wird wahr. Nach der Wahrheitstafel der Implikation ist die Aussage insgesamt dann wahr.
Folgendes gilt hingegen nicht:
[mm] x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=-2 (Falsch!)
Ich verstehe allerdings nicht, wieso das falsch sein sollte.
Wenn ich z.b. x=3 einsetze, wird die 1. Teilaussage falsch und die 2. Teilaussage falsch. Laut der Wahrheitstafel der Implikation ist die Aussage insgesamt dann doch wahr für x=3 ?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Hallo,
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> Es gilt ja bekanntlich:
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> x=-2 [mm]\Rightarrow x^2=4[/mm]
>
> Das ist mir klar. Für x=2 eingesetzt wird die 1.
> Teilaussageform falsch und die 2. Teilaussageform wird
> wahr. Nach der Wahrheitstafel der Implikation ist die
> Aussage insgesamt dann wahr.
>
>
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> Folgendes gilt hingegen nicht:
>
> [mm]x^2=4 \Rightarrow[/mm] x=-2 (Falsch!)
>
> Ich verstehe allerdings nicht, wieso das falsch sein
> sollte.
Dies ist doch gleichbedeutend zu [mm] \neg{}(x=-2)\Rightarrow\neg{}(x^2=4), [/mm] also [mm] x\not=-2\Rightarrow{}x^2\not=4. [/mm] Offensichtlich gilt aber [mm] 2\not=-2 [/mm] und [mm] 2^2=4. [/mm] Damit hast du ein Gegenbeispiel.
> Wenn ich z.b. x=3 einsetze, wird die 1. Teilaussage falsch
> und die 2. Teilaussage falsch. Laut der Wahrheitstafel der
> Implikation ist die Aussage insgesamt dann doch wahr für
> x=3 ?!
Ja. [mm] A\Rightarrow{}B [/mm] heißt, nur dass unter der Bedingung, dass A wahr ist, auch B wahr sein muss. Über den Fall, dass A falsch ist, trifft diese Implikation keine Aussage. Das heißt, unter der Bedingung, dass [mm] 3^2=4 [/mm] (die niemals erfüllt ist), gilt auch, dass 3=-2. Allgemein lassen sich aus falschen Aussagen sowohl wahre, als auch falsche Aussagen folgern - darauf basiert der Beweis durch Widerspruch. Aus wahren Aussagen lassen sich aber nur wahre Aussagen folgern.
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Es gilt ja bekanntlich:
>
> x=-2 [mm]\Rightarrow x^2=4[/mm]
>
> Das ist mir klar. Für x=2 eingesetzt wird die 1.
> Teilaussageform falsch und die 2. Teilaussageform wird
> wahr. Nach der Wahrheitstafel der Implikation ist die
> Aussage insgesamt dann wahr.
>
>
>
> Folgendes gilt hingegen nicht:
>
> [mm]x^2=4 \Rightarrow[/mm] x=-2 (Falsch!)
>
> Ich verstehe allerdings nicht, wieso das falsch sein
> sollte.
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
ist gleichbedeutend mit [mm] $\neg [/mm] A [mm] \text{ oder }B\,.$ [/mm] Die obige Implikation
würde demzufolge bedeuten, dass
[mm] $$x^2 \not=4 \text{ oder }x=-2\,,$$
[/mm]
(d.h. mindestens eine dieser beiden Aussagen ist WAHR!)
und sofern man $x [mm] \in \IR$ [/mm] etwa zuläßt, bedeutet dies, dass für alle
$x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $x^2 \not=4$ [/mm] ist oder dass [mm] $x=-2\,$ [/mm] ist.
Für $x=2 [mm] \in \IR$ [/mm] gilt aber sowohl, dass [mm] $x^2 \not=4$ [/mm] falsch ist als auch,
dass [mm] $x=-2\,$ [/mm] falsch ist.
P.S. Für $x [mm] \le [/mm] 0$ (oder auch etwa $x [mm] \le [/mm] 1$ oder ...) könnte man durchaus
auch
[mm] $$x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=-2$$
schreiben! Man sollte also durchaus beachten, welche Voraussetzungen
("universeller Art") man an [mm] $x\,$ [/mm] hier stellt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Peeter123 |
Danke euch, jetzt ist mir das ganze klarer geworden, wenn ich mir einfach vor Augen halte, dass
$ [mm] x^2=4 \Rightarrow [/mm] $ x=-2
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] x^2 \not=4 \text{ oder }x=-2)
[/mm]
ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 29.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peeter123,
> Folgendes gilt hingegen nicht:
>
> [mm]x^2=4 \Rightarrow[/mm] x=-2 (Falsch!)
>
> Ich verstehe allerdings nicht, wieso das falsch sein
> sollte.
> Wenn ich z.b. x=3 einsetze, wird die 1. Teilaussage falsch
> und die 2. Teilaussage falsch. Laut der Wahrheitstafel der
> Implikation ist die Aussage insgesamt dann doch wahr für
> x=3 ?!
Der Ausdruck
[mm] $x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=-2$
ist für sich genommen keine Aussage, sondern eine sogenannte Aussageform A(x).
Für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] hat A(x) einen Wahrheitswert. Für $x=3$ z.B. den Wahrheitswert "wahr".
Man kann jedoch mit A(x) auch seinen sogenannten "All-Abschluss", d.h. die Aussage
[mm] $\forall x\in\IR\colon (x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=-2)$
meinen. Diese Aussage ist falsch.
Wenn du in einem Beweis für eine reelle Zahl x die Aussage [mm] x^2=4 [/mm] gezeigt hättest, wäre ein Schluss auf x=-2 daher ohne weitere Argumente zumindest unbegründet, wenn nicht falsch.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo Peeter123,
>
>
> > Folgendes gilt hingegen nicht:
> >
> > [mm]x^2=4 \Rightarrow[/mm] x=-2 (Falsch!)
> >
> > Ich verstehe allerdings nicht, wieso das falsch sein
> > sollte.
> > Wenn ich z.b. x=3 einsetze, wird die 1. Teilaussage falsch
> > und die 2. Teilaussage falsch. Laut der Wahrheitstafel der
> > Implikation ist die Aussage insgesamt dann doch wahr für
> > x=3 ?!
> Der Ausdruck
>
> [mm]x^2=4 \Rightarrow x=-2[/mm]
>
> ist für sich genommen keine Aussage, sondern eine
> sogenannte Aussageform A(x).
>
> Für jedes [mm]x\in\IR[/mm] hat A(x) einen Wahrheitswert. Für [mm]x=3[/mm]
> z.B. den Wahrheitswert "wahr".
>
>
> Man kann jedoch mit A(x) auch seinen sogenannten
> "All-Abschluss", d.h. die Aussage
>
> [mm]\forall x\in\IR\colon (x^2=4 \Rightarrow x=-2)[/mm]
>
> meinen.
das ist interessant - zumal die meisten Professoren das auch einfach -
ohne ein Wort dazu zu sagen - so benutzen. Ich habe mich im Studium
deswegen durchaus von Ausdrücken der Form [mm] $x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=-2$
anfangs verwirren lassen, bis ich es irgendwann durchschaut hatte und
es automatisch immer als diesen "All-Abschluss" interpretiert hatte.
Interessant, was man nach dem Studium noch für didaktische Mängel
an der Universität - wenigstens bei manchen Professoren - monieren kann!
Gruß,
Marcel
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