x²+x im Zentrum f.a. x->R kom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | gollum13 |
| Aufgabe | Es seien R ein Ring und x² + x ein Element des Zentrums von R für alle x aus R. Zeigen Sie,
dass R ein kommutativer Ring ist. |
Hallo,
obige Aufgabe sollte eigentlich relativ einfach sein, macht mir aber Probleme. Ich dachte eigentlich, dass es ausreicht, dass für bel. a,b aus R durch zu exerzieren um dann auf die Lösung zu kommen:
(a² +a)*(b²+b)=(b²+b)*(a²+a) ... so dass dann da hinterher einfach ab=ba steht.... aber irgendwie scheint man da noch mehr reinstecken zu müßen.
Kann mir evtl. jemand helfen?
beste Grüße
gollum
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: nimm x,y [mm] \in [/mm] R
Dann gilt:
(1) [mm] y(x^2+x)= (x^2+x)y
[/mm]
(2) [mm] x(y^2+y)= (y^2+y)x
[/mm]
(3) [mm] ((x+y)^2+x+y)x= x((x+y)^2+x+y))
[/mm]
aus (1)-(3) erhälst Du: xy=yx
FRED
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