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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Wie leitet man die Funktion f(x)= [mm] x^{x} [/mm] ab?
Liebe Grüße und vielen Dank
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 Di 05.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Wie leitet man die Funktion f(x)= [mm]x^{x}[/mm] ab?
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> Kerstin
am einfachsten so:
[mm]lny=x\cdot lnx[/mm]
[mm] \frac{y^\prime}{y}=lnx+1
[/mm]
[mm] y^\prime=y(lnx+1)=x^x(lnx+1)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:37 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
kannst du mir auch erklären wie man darauf kommt bitte?
Vielen Dank schonmal =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Und hallo nochmal :P
[mm] f(x)=y=x^x [/mm] | ln
[mm] ln(y)=ln(x^x)
[/mm]
ln(y)=x*ln(x)
Beide Seiten abgeleitet (rechts die Produktregel):
[mm] \bruch{y'}{y}=xln(x)+1
[/mm]
Und dann für [mm] y=x^x [/mm] wieder eingesetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich würde es so machen:
[mm] f(x)=x^x=(e^{ln(x)})^x=e^{ln(x)*x}
[/mm]
Das kannst du nach Kettenregel ableiten und wieder umformen. Kommt dann natürlich aufs Gleiche raus wie schon vor mit geschrieben wurde, aber ich finde das persönlich so etwas einfacher hergeleitet, da man hier nur mit Potenz- & Logarithmusgesetzen arbeitet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
alles klar. Vielen Dank.
Bin grad dabei die Wendepunkte der Funktion auszurechnen. Habe als 2.Ableitung e hoch (lnx *x) [mm] *((1+lnx)^2 [/mm] + 1/x)
Wenn ich jetzt alles einzeln gleich null setze, bekomme ich den Term 0= [mm] (1+lnx)^2 [/mm] +1/x
Wie kann ich den denn auflösen nach x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> alles klar. Vielen Dank.
> Bin grad dabei die Wendepunkte der Funktion auszurechnen.
> Habe als 2.Ableitung e hoch (lnx *x) [mm]*((1+lnx)^2[/mm] + 1/x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt alles einzeln gleich null setze, bekomme
> ich den Term 0= [mm](1+lnx)^2[/mm] +1/x
> Wie kann ich den denn auflösen nach x?
Das ist eine transzendente Gleichung; die hat keine einfache Lösung. Aber du kannst dir Folgendes überlegen:
[mm] $(1+\ln x)^2 \ge [/mm] 0 $,
weil es ein Quadrat ist, und $1/x [mm] \not=0$.
[/mm]
Kann es überhaupt eine Lösung geben?
(Mal dir die Funktion [mm] $x^x=\mathrm{e}^{x\ln x}$ [/mm] auf!)
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Oder du multiplizierst mit x durch.
0=x(lnx+1)²+1
-1=x(lnx+1)²
Damit -1 (oder sonst was negatives) rauskommen könnte, müssten die Faktoren x und (lnx+1)² unterschiedliche Vorzeichen haben.
Da (lnx+1)² positiv ist, müsste x negativ sein.
Aber für negative x ist diese Gleichung gar nicht definiert! (siehe lnx)
So könnte man es auch machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Aloha!
Ich bin jetzt bei der Definitionsmenge.
Jetzt ist es ja so, dass für x<o die Zahlen ganze Zahlen sein müssen. 0 ist nicht mit dabei und für x>o gilt R
Wie schreib ich das denn auf?
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Di 05.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerstin!
Wenn Du Dir mal die Umformung [mm] $x^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm] ansiehst, sollte doch schnell klar sein, dass der Definitionsbereich nur positive umfassen kann.
Es gilt also: [mm] $D_f [/mm] \ = \ [mm] \IR^+$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
oh ja! stimmt, hab ich nit mehr dran gedacht.
Aber warum spuckt mein TR dann Zahlen dafür aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Für ganze Zahlen findet man noch vereinzelt Funktionswerte, aber probier mal z.B. -1,5.
Und die Zahlen, die man einsetzen kann, liefern immer Funktionswerte, die mal kleiner oder größer als 0 sind. Immer abwechselnd.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
jaja, ich weiß. Deshalb hab ich am anfang auch von ganzen negativen Zahlen gesprochen. Aber muss ich die denn nicht berücksichtigen? Schließlich gibt es sie doch.
Die Umformung und die Original funktion müssten ja gleich sein, aber die widersprechen sich doch eigentlich...
Sowas ist mir bisher noch nicht über den Weg gelaufen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, es gibt einzelne Werte, die noch zum Definitionsbereich gehören.
Aber auch unendlich viele, die nicht zu gehören, und leider kann man sich nicht z.B. in einem Intervall angeben, weil sie füx x<0 vereinzelt irgendwoe auftreten, diese Definitionslücken.
Ich würde sagen, dass der Definitionsbereich mehr umfasst als [mm] \IR^+, [/mm] aber man kann ihn nicht vernünftig angeben.
Wäre aber auch noch an anderen Meinungen interessiert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
also entweder spielt mein TR nach großen negativen Zahlen nicht mehr mit oder es stimmt und irgendwann werden alle y- Werte null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja, es nähert sich immer weiter der 0 (von oben und unten).
[mm] -1000000^{-1000000}=\bruch{1}{-1000000^{1000000}}
[/mm]
Das sollte schon einiges sagen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 05.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerstin!
Im Bereich der negativen Zahlen existieren ja nur Funktionswerte für die ganzen Zahlen. Es liegen hier also immer nur einzelne Stellen mit Funktionswert vor, welche dann in [mm] $\IR$ [/mm] keine entsprechende Umgebung haben.
Damit wäre die Funktion also auch im Bereich der negativen Zahlen nirgends stetig.
Von daher wird der Definitionsbereich hier nur auf die positiven Zahlen beschränkt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
na dann bin ich aber gerade von der Mathematik enttäuscht, dass sie es sich sooo einfach macht...
Hmm, na gut, geb mich geschlagen, aber zufrieden bin ich nicht wirklich...bin doch Perfektionist :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> na dann bin ich aber gerade von der Mathematik enttäuscht,
> dass sie es sich sooo einfach macht...
Oh, die Mathematiker finden immer einen Ausweg... 
> Hmm, na gut, geb mich geschlagen, aber zufrieden bin ich
> nicht wirklich...bin doch Perfektionist :)
Man kann sowohl [mm] $x^x$ [/mm] als auch [mm] $\mathrm{e}^{x\ln x}$ [/mm] auch für negative Zahlen ausrechnen.
Für negative ganze Zahlen ist ja [mm] $x^x$ [/mm] schon definiert mit reellen (sogar rationalen) Werten.
Für negative rationale Zahlen [mm] $x=\bruch{p}{q}$ [/mm] kann man [mm] $x^x$ [/mm] mit reellen Werten definieren, wenn q ungerade ist. Das liegt daran, dass man die dritte, fünfte, ... Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann, aber nicht die zweite, vierte, ...
Geht man von den reellen zu den komplexen Zahlen über, so ist [mm] $x^x= \mathrm{e}^{x\ln x}$ [/mm] für alle reellen x außer für 0 eindeutig definiert, und zwar als
$ [mm] |x|^x [/mm] * [mm] \mathrm{e}^{i\pi x} [/mm] = [mm] |x|^x [/mm] * [mm] (\cos(\pi [/mm] x) + i [mm] \sin(\pi [/mm] x)) $.
Für die Definitionslücke bei x=0 ergibt sich der Wert 1 als Grenzwert.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ahhh, da hab ich ja wieder was gefunden was ich noch nicht kann :)
Das kann nicht so stehen bleiben...
Vielen Dank Rainer, hatte schon gedacht ich bekomm heut Albträume, weil mein Weltbild zusammenbrochen ist *lach*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Mi 06.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > na dann bin ich aber gerade von der Mathematik enttäuscht,
> > dass sie es sich sooo einfach macht...
>
> Oh, die Mathematiker finden immer einen Ausweg...
Bzw. eine Theorie in der das ganze dann wieder Sinn macht ;) Im diesen Fall ist's die Funktionentheorie (komplexe Analysis).
> > Hmm, na gut, geb mich geschlagen, aber zufrieden bin ich
> > nicht wirklich...bin doch Perfektionist :)
>
> Man kann sowohl [mm]x^x[/mm] als auch [mm]\mathrm{e}^{x\ln x}[/mm] auch für
> negative Zahlen ausrechnen.
> Für negative ganze Zahlen ist ja [mm]x^x[/mm] schon definiert mit
> reellen (sogar rationalen) Werten.
>
> Für negative rationale Zahlen [mm]x=\bruch{p}{q}[/mm] kann man [mm]x^x[/mm]
> mit reellen Werten definieren, wenn q ungerade ist. Das
> liegt daran, dass man die dritte, fünfte, ... Wurzel aus
> einer negativen Zahl ziehen kann, aber nicht die zweite,
> vierte, ...
Kann man schon, aber es ist nicht so schoen, weil es nicht mit den ``natuerlichen'' Loesungen im komplexen uebereinstimmt:
> Geht man von den reellen zu den komplexen Zahlen über, so
> ist [mm]x^x= \mathrm{e}^{x\ln x}[/mm] für alle reellen x außer für 0
> eindeutig definiert, und zwar als
>
> [mm]|x|^x * \mathrm{e}^{i\pi x} = |x|^x * (\cos(\pi x) + i \sin(\pi x)) [/mm].
Das ``eindeutig'' ist hier so eine Sache, fuer jedes fest gewaehlte $k [mm] \in \IZ$ [/mm] kann man auch [mm] $|x|^x (\cos(\pi [/mm] (2 k + 1) x) + i [mm] \sin(\pi [/mm] (2 k + 1) x))$ waehlen, je nachdem welchen Zweig des Logarithmus man fuer die negative reelle Achse waehlt.
Aber mal ganz davon abgesehen: diese Funktion stimmt dann nicht mehr mit der obigen ueberein, da man fuer $x = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] mit $q$ ungerade i.A. keine reellen Werte herausbekommt, sondern echt komplexe! (Z.B. $x = [mm] -\frac{1}{3}$).
[/mm]
> Für die Definitionslücke bei x=0 ergibt sich der Wert 1 als
> Grenzwert.
Ja, und sogar unabhaengig davon, welches $k$ man waehlt...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 06.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Felix!
> > Geht man von den reellen zu den komplexen Zahlen über, so
> > ist [mm]x^x= \mathrm{e}^{x\ln x}[/mm] für alle reellen x außer für 0
> > eindeutig definiert, und zwar als
> >
> > [mm]|x|^x * \mathrm{e}^{i\pi x} = |x|^x * (\cos(\pi x) + i \sin(\pi x)) [/mm].
>
> Das ''eindeutig'' ist hier so eine Sache, fuer jedes fest
> gewaehlte [mm]k \in \IZ[/mm] kann man auch [mm]|x|^x (\cos(\pi (2 k + 1) x) + i \sin(\pi (2 k + 1) x))[/mm]
> waehlen, je nachdem welchen Zweig des Logarithmus man fuer
> die negative reelle Achse waehlt.
Ja, ich hätte besser geschrieben, "kann man eindeutig definieren".
> Aber mal ganz davon abgesehen: diese Funktion stimmt dann
> nicht mehr mit der obigen ueberein, da man fuer [mm]x = \frac{p}{q}[/mm]
> mit [mm]q[/mm] ungerade i.A. keine reellen Werte herausbekommt,
> sondern echt komplexe! (Z.B. [mm]x = -\frac{1}{3}[/mm]).
Nicht nur das, die verschiedenen Werte der oben definierten Funktion entsprechen auch noch verschiedenen Werten von k und liegen damit auf verschiedenen Blättern der zugehörigen Riemannschen Fläche.
Ist das eigentlich dieselbe Fläche wie die, die zur Logarithmusfunktion gehört? Das ist mir nicht ganz klar, denn wenn ich auf einem Kreis um den Nullpunkt laufe, komme ich ja nicht nach [mm] $2\pi$ [/mm] auf dem nächsten Blatt an, sondern nach [mm] $2\pi\mathrm{Re}\,z$. [/mm] Topologisch sollte das nichts ausmachen, aber ist es dieselbe Mannigfaltigkeit? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 11.02.2008 | | Autor: | felixf |
Moin Rainer!
> > Aber mal ganz davon abgesehen: diese Funktion stimmt dann
> > nicht mehr mit der obigen ueberein, da man fuer [mm]x = \frac{p}{q}[/mm]
> > mit [mm]q[/mm] ungerade i.A. keine reellen Werte herausbekommt,
> > sondern echt komplexe! (Z.B. [mm]x = -\frac{1}{3}[/mm]).
>
> Nicht nur das, die verschiedenen Werte der oben definierten
> Funktion entsprechen auch noch verschiedenen Werten von k
> und liegen damit auf verschiedenen Blättern der zugehörigen
> Riemannschen Fläche.
Genau.
> Ist das eigentlich dieselbe Fläche wie die, die zur
> Logarithmusfunktion gehört? Das ist mir nicht ganz klar,
> denn wenn ich auf einem Kreis um den Nullpunkt laufe, komme
> ich ja nicht nach [mm]2\pi[/mm] auf dem nächsten Blatt an, sondern
> nach [mm]2\pi\mathrm{Re}\,z[/mm]. Topologisch sollte das nichts
> ausmachen, aber ist es dieselbe Mannigfaltigkeit?
>
Hmm, sehr gute Frage :) Topologisch ist's sicher die gleiche, und als [mm] $\mathcal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit [/mm] sollte das auch so sein. Ob's als komplexe Mannigfaltigkeit dasselbe ist weiss ich aber echt nicht, damit kenn ich mich zu wenig aus und hab viel zu wenig Intuition... Wegen der Verzerrung wuerd ich allerdings dazu tendieren, dass es nicht die gleiche ist... Aber ich bin mir da alles andere als sicher...
LG Felix
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