x^n konvergiert : 0 < x < 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:36 Mo 22.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen 0 für 0 < x < 1
Wachstum von Potenzen: [mm] $\forall \; [/mm] 0 < x < 1 [mm] \in \IR \; \forall \; \epsilon [/mm] > 0 [mm] \; \exists \; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] \ : \ [mm] |x|^n [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Konvergenzkriterium: [mm] $\forall \; \epsilon [/mm] > 0 [mm] \; \exists \; [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |x_n [/mm] - x| < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \exists \; [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |x|^N [/mm] < [mm] \epsilon$ $\Rightaarrow |x^n [/mm] - 0| <= [mm] x^N [/mm] < [mm] \epsilon \qquad [/mm] q.e.d.$ |
Hallo wieder mal.
Noch ein Beweis bei dem es mir an Details fehlt.
Hat den jemand in ausführlich?
Für mich fehlt noch, dass [mm] x^N [/mm] wirklich kleiner als [mm] x^n [/mm] ist und das es alle Zahlen zwischen 0 und 1 betrifft.
Das wurde hier nicht gezeigt, sondern nur vorausgesetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:37 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen 0 für 0 < x < 1
>
> Wachstum von Potenzen: [mm]\forall \; 0 < x < 1 \in \IR \; \forall \; \epsilon > 0 \; \exists \; n \in \IN \ : \ |x|^n < \epsilon[/mm]
>
> Konvergenzkriterium: [mm]\forall \; \epsilon > 0 \; \exists \; N \in \IN \forall n \ge N : |x_n - x| < \epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists \; N \in \IN : |x|^N < \epsilon[/mm]
> [mm]\Rightaarrow |x^n - 0| <= x^N < \epsilon \qquad q.e.d.[/mm]
>
> Hallo wieder mal.
>
> Noch ein Beweis bei dem es mir an Details fehlt.
> Hat den jemand in ausführlich?
> Für mich fehlt noch, dass [mm]x^N[/mm] wirklich kleiner als [mm]x^n[/mm] ist
> und das es alle Zahlen zwischen 0 und 1 betrifft.
> Das wurde hier nicht gezeigt, sondern nur vorausgesetzt.
ja, der Beweis oben gefällt mir in der Tat auch nicht. Mach' es so:
Für $0 < x < 1$ gilt $a:=1/x > [mm] 1\,.$ [/mm] Also existiert ein $r > 0$ mit [mm] $a=1+r\,.$
[/mm]
Jetzt kannst Du entweder [mm] $(1+r)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] r^k$ [/mm] nach unten abschätzen, oder Du machst es einfach direkt mit Bernoulli:
[mm] $$\underbrace{(1+r)^n}_{=(1/x)^n=a^n} \ge 1+n*r\,.$$ [/mm]
Das liefert Dir dann
[mm] $$|x^n|=\left|\frac{1}{a^n}\right|=1/a^n \le \frac{1}{1+n*r} \le \frac{1}{n*r}\,.$$
[/mm]
Und jetzt kannst Du Dir überlegen, wenn [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist, wie Du dann $N$ wählen kannst, so dass [mm] $|x^n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ folgt.
P.S.:
Alternativ kann man auch so vorgehen, dass man, z.B. mit dem Majorantenkriterium, begründet, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] konvergiert.
(Hier sollte man dann aber wirklich mit dem Majorantenkriterium arbeiten und nicht mit dem Grenzwert von [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$, [/mm] denn dieser ergibt sich ja eben durch die Eigenschaft [mm] $q^n \to [/mm] 0$.)
Man zeigt dann halt z.B. einfach, dass für jedes $N$ gilt:
[mm] $$\sum_{k=0}^N q^k \le \frac{1}{1-q}\,.$$
[/mm]
(Hier braucht man nur, dass $0 < [mm] q^m [/mm] < 1$ für alle $m [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, und das ist einfach zu beweisen.)
Gruß,
Marcel
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