y' als Parameter < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 11.11.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Bestimmen sie analytisch die singulären Linienelemente und die Lösungen der Differentialgleichung
(y')³ - (y')² -y + x = 0
Hinweis: Parametrisieren sie die Lösungen durch p=y'. |
Hallo,
auf dem Aufgabenblatt ist noch eine Skizze auf der man einige Lösungskurven sehen kann. Man kann daraus auch ablesen, dass y=x eine Lösung der DGL ist.
Allerdings weiß ich überhaupt nicht, was ich mit der Aufgabe anfangen soll. In der Vorlesung war ein Beispiel y= x³. Da hat er daraus F(x,y,p) = p-3x² gemacht und das dann umgeformt zu x(p) = [mm] (p/3)^1/2.
[/mm]
Gut, aber so klappt das hier ja leider nicht, da immer das y, bzw das x auch noch drin ist. Ein Ansatz hier würde mir weiterhelfen.
Außerdem habe ich die Bedeutung singulär/regulär noch nicht ganz verstanden. Unsere Definition ist:
Wenn sich eine implizite Dgl in genau eine explizite DGL auflösen lässt d.h. in eine der Gestalt p=f(x,y) mit stetigen f in U(x,y,p) so nennen wir das Linienelement (x,y,p) regulär, sonst singulär.
Okay klingt simpel, aber wie gehe ich genau vor, um diese singulären Punkte zu finden?
Wir sind vorhin beim "Probieren" nicht wirklich weitergekommen hier.
Danke!
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Hallo nikinho,
> Bestimmen sie analytisch die singulären Linienelemente und
> die Lösungen der Differentialgleichung
>
> (y')³ - (y')² -y + x = 0
>
> Hinweis: Parametrisieren sie die Lösungen durch p=y'.
> Hallo,
> auf dem Aufgabenblatt ist noch eine Skizze auf der man
> einige Lösungskurven sehen kann. Man kann daraus auch
> ablesen, dass y=x eine Lösung der DGL ist.
>
> Allerdings weiß ich überhaupt nicht, was ich mit der
> Aufgabe anfangen soll. In der Vorlesung war ein Beispiel y=
> x³. Da hat er daraus F(x,y,p) = p-3x² gemacht und das
> dann umgeformt zu x(p) = [mm](p/3)^1/2.[/mm]
> Gut, aber so klappt das hier ja leider nicht, da immer das
> y, bzw das x auch noch drin ist. Ein Ansatz hier würde mir
> weiterhelfen.
Betrachte hier [mm]F\left(\ x\left(p\}right), \ y\left(p\right), \ p\right)=0[/mm]
Durch Differentiation erhältst Du
[mm]F_{x}*\dot{x}+F_{y}*\dot{y}+F_{p}=0[/mm]
Unter Beachtung, daß [mm]\dot{y}= p*\dot{x}[/mm]
erhältst Du ein DGL-System für [mm]\dot{x}, \ \dot{y}[/mm].
Daraus ergeben sich dann die Lösungen x(p), y(p).
>
> Außerdem habe ich die Bedeutung singulär/regulär noch
> nicht ganz verstanden. Unsere Definition ist:
> Wenn sich eine implizite Dgl in genau eine explizite DGL
> auflösen lässt d.h. in eine der Gestalt p=f(x,y) mit
> stetigen f in U(x,y,p) so nennen wir das Linienelement
> (x,y,p) regulär, sonst singulär.
> Okay klingt simpel, aber wie gehe ich genau vor, um diese
> singulären Punkte zu finden?
Wir haben eine implizite DGL
[mm]F\left(x,y,p)=0[/mm]
Diese ist dann eindeutig nach p auflösbar,
wenn [mm]F_{p} \not= 0[/mm].
>
> Wir sind vorhin beim "Probieren" nicht wirklich
> weitergekommen hier.
>
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 14.11.2009 | | Autor: | nikinho |
so habe auch weiter an der aufgabe gearbeitet und zwar wie folgt:
x(p) = [mm] \integral_{a}^{b}{(2p-3p²)/(1-p) dp}
[/mm]
y(p) = [mm] \integral_{a}^{b}{(2p^2-3p^3)/(1-p) dp}
[/mm]
das habe ich dann mit partieller integration (bei y zweimal) gelöst und habe rausbekommen:
x(p) = 3/2 * p² + p² + log|1-p| +C
y(p) = p³ +1/2 p² +p + log|1-p|
ob das die gleichung erfüllt habe ich noch nicht ausprobiert - wie sollte es das überhaupt? setze ich dann y(p) für y und x(p) für x ein? vermutlich.. würde wohl aber auch nicht hinhauen.. aber auf nochmal 2 Seiten lang integrieren habe ich jetzt auch nicht so richtig Lust...
edit: Meine Lösungen waren falsch, die Lösungen jetzt stimmen.
Zu den singulären Punkten:
Fp wird null wenn p=0 oder p=2/3.
Ich habe jetzt daraus geschlossen, dass die Linienelemente (x,x,0) und (x,x-4/27, 2/3) singulär sind. Ist das so richtig? Kann man das (x,x,0) so schreiben? Für p=0 gilt ja x=y.
danke schonmal
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Hallo nikinho,
> so habe auch weiter an der aufgabe gearbeitet und zwar wie
> folgt:
>
> x(p) = [mm]\integral_{a}^{b}{(2p-3p²)/(1-p) dp}[/mm]
Schreibe die Exponenten in geschweiften Klammern: p^{2}
> y(p) =
> [mm]\integral_{a}^{b}{(2p^2-3p^3)/(1-p) dp}[/mm]
>
> das habe ich dann mit partieller integration (bei y
> zweimal) gelöst und habe rausbekommen:
>
> x(p) = 3/2 * p² + p² + log|1-p| +C
Das muss hier doch so lauten:
[mm]x(p) = 3/2 * p^{2} + p^{\red{1}} + log|1-p| +C[/mm]
> y(p) = p³ +1/2 p² +p + log|1-p|
Hier kommt ja auch noch die Integrationskonstante hinzu:
[mm]y(p) = p^{3} +1/2 p^{2} +p + log|1-p|+\blue{C}[/mm]
>
> ob das die gleichung erfüllt habe ich noch nicht
> ausprobiert - wie sollte es das überhaupt? setze ich dann
> y(p) für y und x(p) für x ein? vermutlich.. würde wohl
> aber auch nicht hinhauen.. aber auf nochmal 2 Seiten lang
> integrieren habe ich jetzt auch nicht so richtig Lust...
>
> edit: Meine Lösungen waren falsch, die Lösungen jetzt
> stimmen.
>
> Zu den singulären Punkten:
> Fp wird null wenn p=0 oder p=2/3.
> Ich habe jetzt daraus geschlossen, dass die Linienelemente
> (x,x,0) und (x,x-4/27, 2/3) singulär sind. Ist das so
> richtig? Kann man das (x,x,0) so schreiben? Für p=0 gilt
> ja x=y.
Ja, das kann man so schreiben. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> danke schonmal
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 14.11.2009 | | Autor: | nikinho |
joa zu den Integrationskonstanten hab ich dann direkt eine Frage.
Sagen wir die Integrationskonstante bei x(p) ist C und bei y(p) ist C' .
dann löst das doch gar nicht mehr die Gleichung p³ -p²-y+x=0, weil die Konstanten sich nicht rauskürzen. Also müssen die Konstanten doch zumindest gleich sein hier, oder irre ich mich?
Hatte dieses Problem mit der Integrationskonstanten auch bei einer anderen Aufgabe, da wurde die Gleichung nur gelöst, falls C = 0. Habe das dann daneben geschrieben, dass C=0 sein muss.
Habe ich da n Denkfehler?
nochmal vielen Dank für deine Posts, helfen mir sehr weiter.
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Hallo nikinho,
> joa zu den Integrationskonstanten hab ich dann direkt eine
> Frage.
>
> Sagen wir die Integrationskonstante bei x(p) ist C und bei
> y(p) ist C' .
> dann löst das doch gar nicht mehr die Gleichung p³
> -p²-y+x=0, weil die Konstanten sich nicht rauskürzen.
> Also müssen die Konstanten doch zumindest gleich sein
> hier, oder irre ich mich?
Die Integrationskonstanten sind hier in der Tat gleich.
>
> Hatte dieses Problem mit der Integrationskonstanten auch
> bei einer anderen Aufgabe, da wurde die Gleichung nur
> gelöst, falls C = 0. Habe das dann daneben geschrieben,
> dass C=0 sein muss.
> Habe ich da n Denkfehler?
Ich kenne diese andere Aufgabe nicht.
>
> nochmal vielen Dank für deine Posts, helfen mir sehr
> weiter.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 13.11.2009 | | Autor: | MarRaph |
Hallo, ich habe mit derselben Aufgabe zu kämpfen und mir dabei Folgendes überlegt:
[mm] \bruch{dy}{dx}=p \Rightarrow \integral{dy}=\integral{p dx} \Rightarrow [/mm] y = px + c
Einsetzung in die Ausgangsgleichung:
[mm] p^3 [/mm] - [mm] p^2 [/mm] - (px +c) +x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x(p) = [mm] \bruch{p^3 - p^2 - c}{p - 1} [/mm] = [mm] p^2 [/mm] + [mm] \bruch{c}{p - 1}
[/mm]
Ableitung davon:
(x(p))' = 2p - [mm] \bruch{c}{(p-1)^2}
[/mm]
Es gilt ja:
(y(p))' = p(x(p))'
Also:
(y(p))' = [mm] 2p^2 [/mm] - [mm] \bruch{cp}{(p-1)^2}
[/mm]
Und mittels partieller Integration für den zweiten Teil erhält man:
y(p) = [mm] \bruch{2}{3}p^3 [/mm] + [mm] \bruch{cp}{p-1} [/mm] - [mm] c\ln\left| p-1 \right| [/mm] +d
Meine Fragen:
1. Habe ich die richtigen Ansätze gewählt?
2. Wie berechne ich die singulären Linienelemente?
Gruß,
Patrick
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Hallo MarRaph,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich habe mit derselben Aufgabe zu kämpfen und mir
> dabei Folgendes überlegt:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=p \Rightarrow \integral{dy}=\integral{p dx} \Rightarrow[/mm]
> y = px + c
>
> Einsetzung in die Ausgangsgleichung:
> [mm]p^3[/mm] - [mm]p^2[/mm] - (px +c) +x = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x(p) = [mm]\bruch{p^3 - p^2 - c}{p - 1}[/mm]
> = [mm]p^2[/mm] + [mm]\bruch{c}{p - 1}[/mm]
>
> Ableitung davon:
> (x(p))' = 2p - [mm]\bruch{c}{(p-1)^2}[/mm]
>
> Es gilt ja:
> (y(p))' = p(x(p))'
>
> Also:
> (y(p))' = [mm]2p^2[/mm] - [mm]\bruch{cp}{(p-1)^2}[/mm]
>
> Und mittels partieller Integration für den zweiten Teil
> erhält man:
>
> y(p) = [mm]\bruch{2}{3}p^3[/mm] + [mm]\bruch{cp}{p-1}[/mm] - [mm]c\ln\left| p-1 \right|[/mm]
> +d
>
>
> Meine Fragen:
> 1. Habe ich die richtigen Ansätze gewählt?
Setze die Lösungen [mm]x\left(p\right), \ y\left(p\right)[/mm] ein,
und Du wirst feststellen, daß diese die Gleichung
[mm]p^{3}-p^{2}-y+x=0[/mm]
nicht befriedigen.
> 2. Wie berechne ich die singulären Linienelemente?
Singuläre Linienelemente sind diejenigen Elemente,
für die die Gleichung
[mm]p^{3}-p^{2}-y+x=0[/mm]
nicht nach p auflösbar ist.
>
> Gruß,
> Patrick
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 14.11.2009 | | Autor: | cmueller |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich habe die gleiche Aufgabe und habe auch mal überlegt ;)
Leider verstehe ich die Erklärung für die Lösung der Aufgabe nicht ganz, was bedeutet (p}right)
und wenn ich die differentiation mache, was genau hab ich dann im bezug auf y'³-y'²-y+x=0?
ich hatte mir jetzt überlegt:
y'³-y'²-y+x=0
daraus folgt
y=y'³-y'²+x
y(p)= p³-p²+x(p)
y'(p)= 3p²-2p+x'(p)=p
dann wäre
x'(p)=-3p²+3p
und weil y'(p)=p*x'(p)
gilt y'(p)=-3p³+3p²#
und y(p)=-3/4p^4+p³
so, ich denke das ist irgendwie falsch gedacht^^ aber ich weiß einfach nicht wo und selbst wenn das eine lösung der dgl wäre, dann fehlen mir ja immernoch die singulären linienelemente und was ist das??
Vielen Dank für die Hilfe, ich steige da leider bisher gar nicht durch.
lg cmueller
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo cmueller,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hallo,
> ich habe die gleiche Aufgabe und habe auch mal überlegt
> ;)
> Leider verstehe ich die Erklärung für die Lösung der
> Aufgabe nicht ganz, was bedeutet (p}right)
> und wenn ich die differentiation mache, was genau hab ich
> dann im bezug auf y'³-y'²-y+x=0?
>
> ich hatte mir jetzt überlegt:
>
> y'³-y'²-y+x=0
> daraus folgt
> y=y'³-y'²+x
> y(p)= p³-p²+x(p)
> y'(p)= 3p²-2p+x'(p)=p
Hier hast Du nach p differenziert.
Es gilt hier aber [mm]y'\left(p\right)=p*x'\left(p\right)[/mm]
Demnach lautet die Gleichung
[mm]y'(p)=p*x'(p)=3p²-2p+x'(p)[/mm]
Diese Gleichung kannst Du jetzt nach x'(p) auflösen.
Dann erhältst 2 Gleichungen:
[mm]x'(p)= ...[/mm]
[mm]y'(p)=p*x'(p)= ...[/mm]
> dann wäre
> x'(p)=-3p²+3p
>
> und weil y'(p)=p*x'(p)
> gilt y'(p)=-3p³+3p²#
> und [mm] y(p)=-3/4p^4+p³
[/mm]
>
> so, ich denke das ist irgendwie falsch gedacht^^ aber ich
> weiß einfach nicht wo und selbst wenn das eine lösung der
> dgl wäre, dann fehlen mir ja immernoch die singulären
> linienelemente und was ist das??
Singuläre Linienelemente, sind genau diejenigen Elemente,
für die die Gleichung
[mm]p^{3}-p^{2}-y+x=0[/mm]
nicht nach p auflösbar ist.
>
> Vielen Dank für die Hilfe, ich steige da leider bisher gar
> nicht durch.
>
> lg cmueller
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
vielen Dank schomal für deine Hilfe!
Ich weiß aber grad leider nicht, wie ich jez auflösen soll, wenn ich die Gleichung:
[mm]y'(p)=p*x'(p)=3p^{2}-2p+x'(p)[/mm]
nach x'(p) auflösen will, hab ich das dann in abhängigkeit von y, sodass raus kommt:
[mm]y'(p)-3p^{2}-2p=x'(p)[/mm]
und damit folgt [mm]y(p)+c-p^{3}-p^{2}=x(p)+c[/mm]
aber dann hätte ich mir ja das umformen sparen können und das direkt machen ne?
oder soll ich nach x auflösen mit der gleichung
[mm]p*x'(p)=3p^{2}-2p+x'(p)[/mm]
aber dann hab ich doch das problem, dass ich bei
[mm]3p{2}-2p=p*x'(p)-x'(p)[/mm]
stecken bleibe :(
hilf mir^^
lg cmueller
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 So 15.11.2009 | | Autor: | nikinho |
$ [mm] 3p{2}-2p=p\cdot{}x'(p)-x'(p) [/mm] $
da kannste doch jetzt x'(p) ausklammern und durch (p-1) teilen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
ups^^
danke sehr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
soo
also wenn ich das jez mache komme ich letztendlich zu:
[mm]x'(p)=2p[/mm]
also [mm]x(p)=p^{2}[/mm]
und [mm]y'(p)=p*x'(p)=p*2p=2p^{2}[/mm]
und [mm]y(p)=p^{3}[/mm]
wenn ich das einsetze in die Gleichung
[mm] p^{3}-p^{2}-y-x=0
[/mm]
kommt auch 0=0 raus, sagt mir das dann, dass ich richtig liege?
so und zu den singulären Linienelementen nochmal (sorry diese linienelementegeschichte ist leider völlig unverständlich für mich)
ich hab die Gleichung [mm] p^{3}-p^{2}-y-x=0
[/mm]
und soll die elemente finden,so dass die gleichung nicht null ist, aberwie finde ich die?
danke sehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 15.11.2009 | | Autor: | nikinho |
für singuläre Elemente muss F=0 und Fp=0 gelten.
also F nach p ableiten.
habe für x(p), y(p) übrigens andere ergebnisse. guck doch mal oben da hab ich meine rechnung/ansatz geschrieben und auch ergebnisse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
entschuldigung ich sehe gerade dass ich aus irgendeinem grund aus [mm] 3p^{2}+2p [/mm] einfach [mm] 2p^{2}+2p [/mm] gemacht habe.
damit erübrigt sich das natürlich erstmal^^
ich weiß leider nicht, wie ich den kommentar einfach wieder löche, deshalb widerrufe ich das hiermit und das mitden singulären linienelementen wird dann ja klar, wenn ich oben die antwort von nikinho sehe.
lg
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