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z.z. Abbildung Maß: Korrektur, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 06.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X überabzählbar und [mm] \mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
ein Maß ist.


Hallo,

da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben sorge, meine Lösung zur Korrektur:

Verifizierung Maßeigenschaften:
1.) [mm] \mu \ge [/mm] 0 (trivial)

2.) [mm] \mu(\emptyset)=0, [/mm] da leere Menge abz. mit [mm] |\emptyset|=0. [/mm]
   [mm] \mu(X)=1, [/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1 zurückgibt.

[mm] 3.)\sigma [/mm] -Additivität:
Sei [mm] A_1,A_2,... \in \mathcal{A} [/mm] eine Folge paarweiser disjunkter Mengen.

Fallunterscheidung:
[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abzählbar, dann auch jedes [mm] A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0}, [/mm]
da [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abz. und [mm] \mu(A_n)=0. [/mm]


[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] überabzählbar, d.h. es existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm] A_i, [/mm] i [mm] \in \IN [/mm]
(da [mm] A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n [/mm] wieder überabz.).

Da [mm] (A_n)_n [/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
[mm] \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C. [/mm]
Weil [mm] A_i^C [/mm] abz. ist [mm] \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n [/mm] abz.
[mm] \Rightarrow A_i [/mm] einzige überabz. Element der Folge [mm] (A_n)_{n \in \IN} [/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n) [/mm]
[mm] \Box [/mm]

Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?


        
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 06.05.2020
Autor: fred97


> Sei X überabzählbar und [mm]\mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
>  [mm]\mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> ein Maß ist.
>  Hallo,
>  
> da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben
> sorge, meine Lösung zur Korrektur:
>  
> Verifizierung Maßeigenschaften:
>  1.) [mm]\mu \ge[/mm] 0 (trivial)
>  
> 2.) [mm]\mu(\emptyset)=0,[/mm] da leere Menge abz. mit
> [mm]|\emptyset|=0.[/mm]
>     [mm]\mu(X)=1,[/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und
> das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1
> zurückgibt.
>  
> [mm]3.)\sigma[/mm] -Additivität:
>  Sei [mm]A_1,A_2,... \in \mathcal{A}[/mm] eine Folge paarweiser
> disjunkter Mengen.
>  
> Fallunterscheidung:
>  [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abzählbar, dann auch jedes
> [mm]A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0},[/mm]
>  da [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abz. und [mm]\mu(A_n)=0.[/mm]
>  
>
> [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] überabzählbar, d.h. es
> existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm]A_i,[/mm] i [mm]\in \IN[/mm]
>  
> (da [mm]A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n[/mm] wieder
> überabz.).
>  
> Da [mm](A_i)_i[/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
>  [mm]\bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C.[/mm]


Bis hier ist alles O.K.  Aber wie es weitergeht ist  nicht  o.k.

Ediit: ich hab mich vertan.  Dein Beweis ist  o.k.


>  
> Weil [mm]A_i^C[/mm] abz.


was jetzt kommt ist Unfug
[mm] A_i [/mm] ist überabzählbar,  dann muss aber das Komplement nicht abzählbar  sein

Also geh  nochmal ran.





>  ist [mm]\Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n[/mm]
> abz.
>  [mm]\Rightarrow A_i[/mm] einzige überabz. Element der Folge
> [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)[/mm]
>  
> [mm]\Box[/mm]
>  
> Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?
>  


Bezug
                
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:20 Mi 06.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]A_i[/mm] ist überabzählbar,  dann muss aber das Komplement nicht abzählbar  sein

doch, muss es, nach Definition von [mm] $\mathcal{A}$. [/mm]

@TS85
Dein Beweis ist ok und vollständig.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:58 Do 07.05.2020
Autor: TS85

Ok, ich hatte ausversehen den Index von [mm] "(A_i)_i [/mm] paarweise disjunkt" an der Stelle falsch, habe es geändert zu n.

Bezug
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