matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheoriez.z. Abbildung Maß
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Maßtheorie" - z.z. Abbildung Maß
z.z. Abbildung Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

z.z. Abbildung Maß: Korrektur, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 06.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X überabzählbar und [mm] \mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
ein Maß ist.


Hallo,

da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben sorge, meine Lösung zur Korrektur:

Verifizierung Maßeigenschaften:
1.) [mm] \mu \ge [/mm] 0 (trivial)

2.) [mm] \mu(\emptyset)=0, [/mm] da leere Menge abz. mit [mm] |\emptyset|=0. [/mm]
   [mm] \mu(X)=1, [/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1 zurückgibt.

[mm] 3.)\sigma [/mm] -Additivität:
Sei [mm] A_1,A_2,... \in \mathcal{A} [/mm] eine Folge paarweiser disjunkter Mengen.

Fallunterscheidung:
[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abzählbar, dann auch jedes [mm] A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0}, [/mm]
da [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abz. und [mm] \mu(A_n)=0. [/mm]


[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] überabzählbar, d.h. es existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm] A_i, [/mm] i [mm] \in \IN [/mm]
(da [mm] A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n [/mm] wieder überabz.).

Da [mm] (A_n)_n [/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
[mm] \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C. [/mm]
Weil [mm] A_i^C [/mm] abz. ist [mm] \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n [/mm] abz.
[mm] \Rightarrow A_i [/mm] einzige überabz. Element der Folge [mm] (A_n)_{n \in \IN} [/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n) [/mm]
[mm] \Box [/mm]

Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?


        
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 06.05.2020
Autor: fred97


> Sei X überabzählbar und [mm]\mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
>  [mm]\mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> ein Maß ist.
>  Hallo,
>  
> da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben
> sorge, meine Lösung zur Korrektur:
>  
> Verifizierung Maßeigenschaften:
>  1.) [mm]\mu \ge[/mm] 0 (trivial)
>  
> 2.) [mm]\mu(\emptyset)=0,[/mm] da leere Menge abz. mit
> [mm]|\emptyset|=0.[/mm]
>     [mm]\mu(X)=1,[/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und
> das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1
> zurückgibt.
>  
> [mm]3.)\sigma[/mm] -Additivität:
>  Sei [mm]A_1,A_2,... \in \mathcal{A}[/mm] eine Folge paarweiser
> disjunkter Mengen.
>  
> Fallunterscheidung:
>  [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abzählbar, dann auch jedes
> [mm]A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0},[/mm]
>  da [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abz. und [mm]\mu(A_n)=0.[/mm]
>  
>
> [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] überabzählbar, d.h. es
> existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm]A_i,[/mm] i [mm]\in \IN[/mm]
>  
> (da [mm]A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n[/mm] wieder
> überabz.).
>  
> Da [mm](A_i)_i[/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
>  [mm]\bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C.[/mm]


Bis hier ist alles O.K.  Aber wie es weitergeht ist  nicht  o.k.

Ediit: ich hab mich vertan.  Dein Beweis ist  o.k.


>  
> Weil [mm]A_i^C[/mm] abz.


was jetzt kommt ist Unfug
[mm] A_i [/mm] ist überabzählbar,  dann muss aber das Komplement nicht abzählbar  sein

Also geh  nochmal ran.





>  ist [mm]\Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n[/mm]
> abz.
>  [mm]\Rightarrow A_i[/mm] einzige überabz. Element der Folge
> [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)[/mm]
>  
> [mm]\Box[/mm]
>  
> Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?
>  


Bezug
                
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:20 Mi 06.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]A_i[/mm] ist überabzählbar,  dann muss aber das Komplement nicht abzählbar  sein

doch, muss es, nach Definition von [mm] $\mathcal{A}$. [/mm]

@TS85
Dein Beweis ist ok und vollständig.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
z.z. Abbildung Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:58 Do 07.05.2020
Autor: TS85

Ok, ich hatte ausversehen den Index von [mm] "(A_i)_i [/mm] paarweise disjunkt" an der Stelle falsch, habe es geändert zu n.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]