z.z:Monotonie rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] a_0=88 [/mm] und [mm] a_{n+1}= \wurzel{a_n+12}. [/mm] Zeige die Monotonie von der dadurch rekursiv definierten Folge. |
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Hallo demus,
> Es sei [mm]a_0=88[/mm] und [mm]a_{\red{n+1}}= \wurzel{a_n+12}.[/mm] Zeige die
> Monotonie von der dadurch rekursiv definierten Folge.
Ich nehme doch an, dass das "+1" auch in den Index gehört (oben rot).
Dann musst Du doch "nur" noch zeigen, dass [mm] a_{n+1}
Wahrscheinlich reicht doch aber auch erstmal der erste Schritt...
Grüße
reverend
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> > Es sei [mm]a_0=88[/mm] und [mm]a_{\red{n+1}}= \wurzel{a_n+12}.[/mm] Zeige die
> > Monotonie von der dadurch rekursiv definierten Folge.
>
> Ich nehme doch an, dass das "+1" auch in den Index gehört
> (oben rot).
Ja, stimmt, sorry danke - habs verbessert!
Hab leider die geschweiften Klammern um das "n+1" nicht gesetzt und den Fehler beim Korrekturlesen nicht bemerkt dummerweise.
> Dann musst Du doch "nur" noch zeigen, dass [mm]a_{n+1}
> für alle [mm]a_n[/mm] in einem bestimmten Bereich (nicht von n,
> sondern in [mm]\IR[/mm] ). Liegt dann auch [mm]a_{n+1}[/mm] in diesem Bereich
> und hast Du ein [mm]a_k,[/mm] für das dies zutrifft, hast Du es
> umfänglich gezeigt.
[mm] a_0 [/mm] = 88 > [mm] a_1 [/mm] = 10 > [mm] a_2 [/mm] = [mm] \wurzel{22} [/mm] > [mm] \wurzel{5+12} [/mm] > [mm] a_3 [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{22}+12} [/mm] >? [mm] a_4 [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{\wurzel{22}+12} +12}
[/mm]
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Hallo demus,
das ist ein Anfang. So vergewissert man sich, dass man auf der richtigen Spur ist. Allgemein ist damit aber noch nichts gezeigt. Immerhin ist jetzt klar, was zu überprüfen ist.
Du willst nun nachweisen, dass [mm] a_{n+1}
Also z.z.: [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_n+12}
Wegen des Quadrierens ist dies keine ganz unproblematische Rechnung...
[mm] \Rightarrow {a_n}^2-a_n-12>0
[/mm]
Zwischenüberlegung: wenn ich das als Funktion von [mm] a_n [/mm] auffasse, dann habe ich eine nach oben geöffnete Parabel vorliegen. Falls es überhaupt einen negativen Wertebereich gibt, liegt er zwischen den Nullstellen der Parabel. "Außerhalb" ist die Ungleichung erfüllt.
Also Lösung über pq-Formel:
[mm] a_{n\ (1,2)}=\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+12}= \bruch{1\pm 7}{2}
[/mm]
Die Ungleichung [mm] a_{n+1}4 [/mm] erfüllt.
Damit weißt Du immer noch nicht, ob die Folge wirklich monoton ist. Der erste Wert ist zwar 88>4, so dass der nächste sicher kleiner sein wird: 10>4. Du musst nur noch sicherstellen, dass im weiteren Verlauf alle Folgenglieder >4 (oder <-3) sein werden, dann ist die Folge streng monoton fallend. Wenn Du das nicht nachweisen kannst, ist weiterhin keine Aussage möglich.
Tipp: Zeige [mm] a_n>4 \Rightarrow a_{n+1}>4
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo demus!
Sieh mal hier; da wurde diese Folge (in allgemeiner Form) ausführlich besprochen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 22.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Induktion:
[mm] $a_1
Ind.-Vor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{n+1}
n [mm] \to [/mm] n+1: [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n+1}+12} [/mm] < [mm] \wurzel{a_{n}+12} [/mm] = [mm] a_{n+1}
[/mm]
FRED
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