z((1/2),(1/3)) = z(1/6) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:33 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4. a) Zeige, dass [mm] $\IZ [\frac{1}{2},\frac{1}{3}] [/mm] = [mm] \IZ [\frac{1}{6} [/mm] ]$
b) Sei [mm] $x\in \IZ [\frac{1}{2}]$, [/mm] zeige dass es [mm] $p\in \IN$ [/mm] mit [mm] $2^{p}x \in \IZ$ [/mm] gibt.
c) Zeige, dass [mm] $\IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ[\frac{1}{3}] =\IZ$ [/mm]
d) Sei [mm] $a\in \IN$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\IZ[\frac{1}{a}] \ne \IQ$ [/mm] |
Hallo!
a)Behauptung: [mm] $\IZ[\frac{1}{2},\frac{1}{3}]= \IZ+\IZ \cdot \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ\cdot \frac{1}{3} [/mm] = [mm] \IZ [/mm] [ [mm] \frac{1}{6}] = \IZ \cdot \frac{1}{6}$
[/mm]
Beweis: 1. $a,b,c [mm] \in \IZ, x\in \IZ[\frac{1}{2},\frac{1}{3}]$ [/mm] mit $x= [mm] a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3} \Rightarrow \frac{6a+3b+2c}{6}$ [/mm] und $6a+ 3b+2c [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ \cdot \frac{1}{6} \Rightarrow \IZ [/mm] [ [mm] \frac{1}{2},\frac{1}{3}] \subset \IZ[ \frac{1}{6}] [/mm] $
2. [mm] $\alpha, \beta, \gamma, [/mm] d [mm] \in \IZ; [/mm] y [mm] \in \IZ[\frac{1}{6}] [/mm] : y = [mm] \frac{d}{6}$ [/mm] mit $d= [mm] 6\alpha [/mm] + [mm] 3\beta [/mm] + 28 \ \ [mm] \Rightarrow y=\frac{6\alpha}{6} [/mm] + [mm] \frac{3\beta}{6} [/mm] + [mm] \frac{28}{6} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \frac{beta}{2} [/mm] + [mm] \frac{8}{3} \in \IZ [\frac{1}{2}, \frac{1}{3} [/mm] ] \ \ [mm] \Rightarrow \IZ [ \frac{1}{6}] \subset \IZ [\frac{1}{2}, \frac{1}{3}]$ [/mm] Mit 1 und 2 folgt die Behauptung.
b) Sei [mm] $x\in \IZ[ \frac{1}{2}] [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + [mm] \IZ\cdot \frac{1}{2}, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] x=a+\frac{b}{2}$.
[/mm]
Behauptung: [mm] $\exists [/mm] p [mm] \in \IN [/mm] : [mm] 2^{p}x \in\IZ$
[/mm]
Beweis: [mm] $2^{p}x [/mm] = [mm] 2^{p}(a+\frac{b}{2}) [/mm] = [mm] 2^{p} [/mm] a + [mm] 2^{p-1}b$ [/mm] Also $x, [mm] 2^{p}, 2^{p-1} \in \IZ [/mm] $. Ist nun [mm] $2^{p-1} \in \IZ$, [/mm] dann folgt : [mm] $2^{p}=2\cdot 2^{p-1} \in \IZ$, [/mm] also $p-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] p [mm] \ge [/mm] 1$.
c) Behauptung: [mm] $\IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ[\frac{1}{3}] [/mm] = [mm] \IZ$
[/mm]
Beweis: [mm] $\forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] (x\in \IZ[\frac{1}{2} [/mm] ) = [mm] a+\frac{b}{2}$ [/mm] und [mm] $(y\in \IZ[\frac{1}{3}] [/mm] ) = [mm] c+\frac{d}{3} \Rightarrow [/mm] (z [mm] \in \IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ[\frac{1}{3}] [/mm] = a-c = [mm] \frac{2d+3b}{6} \gdw [/mm] 6(-a-c)=2d-36 \ \ [mm] \Rightarrow \forall [/mm] b,d = 0 [mm] \IZ[\frac{1}{2} \cap \IZ[\frac{1}{3}] \subset \IZ$. [/mm]
Sei [mm] $\alpha \in \IZ [/mm] = [mm] \beta [/mm] + [mm] \frac{2 \gamma}{2}$ [/mm] mit [mm] $\gamma \in \IZ \R$ [/mm]
[mm] $(\gamma \in \IZ)$ $\Rightarrow [/mm] 2 [mm] \gamma \in \IZ \Rightarrow \alpha \in \IZ[\frac{1}{2}]$. [/mm] Sei [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \lambda+ \frac{3 G}{3}, [/mm] G [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] 3 G [mm] \in \IZ \Rightarrow \alpha \in \IZ [/mm] [ [mm] \frac{1}{3}]$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \alpha \in \IZ[\frac{1}{2}] \wedge \alpha \in \IZ[\frac{1}{3}] \Rightarrow \alpha \in \IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ[\frac{1}{3}] \Rightarrow \IZ \subset \IZ[\frac{1}{2}]\cap \IZ[\frac{1}{3}] \Rightarrow \IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ \[\frac{1}{3}] [/mm] = [mm] \IZ$
[/mm]
d) Sei $a [mm] \in \IN$ [/mm]
Behauptung : [mm] $\IZ[\frac{1}{a}] \ne \IQ$
[/mm]
Beweis: [mm] $\IZ[\frac{1}{a} [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + [mm] \IZ \cdot \frac{1}{a} \subset \IQ$
[/mm]
[mm] $x=(y+\frac{z}{a}) \in \IZ[\frac{1}{a}]$, $a=\frac{b}{c}\in \IQ, [/mm] ggt(b,c)=1 [mm] \Rightarrow x=y+\frac{z}{a} [/mm] = [mm] \frac{ya+z}{a}$ [/mm] sei schon ausgekürzt,
[mm] $\Rightarrow [/mm] \ [mm] \forall [/mm] c [mm] \ne [/mm] a : a [mm] \notin \IZ[\frac{1}{a}] \Rightarrow \IQ \not\subset \IZ[\frac{1}{a}] \Rightarrow \IZ[\frac{1}{a}] \ne \IQ$
[/mm]
Reicht das und stimmt das so?
Bin für eine Korrektur sehr dankbar!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 12.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin kushkush!
> 4. a) Zeige, dass [mm]\IZ [\frac{1}{2},\frac{1}{3}] = \IZ [\frac{1}{6} ][/mm]
>
> b) Sei [mm]x\in \IZ [\frac{1}{2}][/mm], zeige dass es [mm]p\in \IN[/mm] mit
> [mm]2^{p}x \in \IZ[/mm] gibt.
>
> c) Zeige, dass [mm]\IZ[\frac{1}{2}] \cap \IZ[\frac{1}{3}] =\IZ[/mm]
>
> d) Sei [mm]a\in \IN[/mm]. Zeige, dass [mm]\IZ[\frac{1}{a}] \ne \IQ[/mm]
>
> Hallo!
>
>
> a)Behauptung: [mm]\IZ[\frac{1}{2},\frac{1}{3}]= \IZ+\IZ \cdot \frac{1}{2} + \IZ\cdot \frac{1}{3} = \IZ [ \frac{1}{6}] = \IZ \cdot \frac{1}{6}[/mm]
Das was du da als [mm] $\IZ[\frac{1}{2}]$ [/mm] bezeichnest ist nicht [mm] $\IZ[\frac{1}{2}]$. [/mm] Schau dir nochmal die Definition an. Wenn du sie nicht verstehst, schreib sie doch mal hier hin.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Felix!
> schau dir nochmal die Definition
mein Gott!!!!!!!!!!!!!
[mm] $\IZ[\frac{1}{2}] \ne \IZ [/mm] + [mm] \IZ \frac{1}{2}$ [/mm] aber [mm] $\IZ[\frac{1}{2}]= \IZ [/mm] + [mm] \IZ\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ \frac{1}{2^{2} }+ [/mm] ...$
Wäre noch irgendetwas an meinen Beweisen mit der falschen Definition zu retten, wenn man die richtige Definition einsetzt??
> Felix
Vielen Dank...
gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Fr 14.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Konnte die Aufgabe lösen, indem ich die (endlichen) Summen eingesetzt habe. Dann ergibt sich der Rest von alleine.
Gruss
kushkush
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