z^{4} = 16i < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | | Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^{4} [/mm] = 16i. |
auf dem herkömmlichen weg mittels
[mm] (a+ib)^{4} [/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm] (a^{4} [/mm] - [mm] 6a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] + [mm] (4a^{3}b [/mm] - [mm] 4ab^{3} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] i
aus [mm] z^{4} [/mm] = 16 i folgt, dass
[mm] (a^{4} [/mm] - [mm] 6a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] = 0
und
[mm] (4a^{3}b [/mm] - [mm] 4ab^{3} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] = 16
aber wie komme ich jetzt weiter?
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Hallo Olga,
> Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
> auf dem herkömmlichen weg mittels
> [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
>
> aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
> und
> [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
>
> aber wie komme ich jetzt weiter?
Puh, das ist hässlich ...
Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.
Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
Die spuckt dir doch relativ schnell die 4 Lösungen aus ...
Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.
Es ist [mm] $z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Olga,
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> > Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> > Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
> > auf dem herkömmlichen weg mittels
> > [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> > [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
> >
> > aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> > [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
> > und
> > [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
> >
> > aber wie komme ich jetzt weiter?
>
> Puh, das ist hässlich ...
>
> Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.
>
> Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
>
> Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus
.................. 16 ?? ... ist das nicht ein wenig viel ??
Gruß FRED
> ...
>
> Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.
>
> Es ist [mm]z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hi Fred,
> > Hallo Olga,
> >
> > > Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> > > Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
> > > auf dem herkömmlichen weg mittels
> > > [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> > > [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
> > >
> > > aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> > > [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
> > > und
> > > [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
> > >
> > > aber wie komme ich jetzt weiter?
> >
> > Puh, das ist hässlich ...
> >
> > Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.
> >
> > Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> > Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
> >
> > Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus
>
>
> .................. 16 ?? ... ist das nicht ein wenig viel
Nicht, wenn man alles 4mal aufschreibt 
Hatte mich verschrieben, danke fürs Aufpassen!
> ??
>
> Gruß FRED
>
>
>
>
> > ...
> >
> > Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.
> >
> > Es ist [mm]z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> > Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
> >
> > Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus
>
>
> .................. 16 ?? ... ist das nicht ein wenig viel
> ??
Auch wenn die Formel von Moivre da nicht viel hilft, aber vielleicht meint er irgendeinen Quotienten von [mm] $\IZ[i]$, [/mm] der kein Integritaetsbereich ist. Da kann es ruhig mal vorkommen, dass die Restklasse von [mm] $x^4 [/mm] - 16 i$ genau 16 Loesungen hat
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Di 11.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
jetzt bin ich verwirrt!
was genau ist jetzt der ansatz, diese formel zu lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 11.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
was ist nun der ansatz?
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Hallo Olga!
Siehe mal hier unter  Moivre-Formel.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich hab das mal mit der Formel berechnet, habe für k=0,...3 jeweils Ergebnisse von 2,014 bis 2,178 raus, also gerundet. waren sehr Krumme Werte [mm] (cos(\bruch{\pi/2}{4})... [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi/2}{4})), [/mm] sind aber glaube ich richtig. Du kannst ja mal deine Ergebnisse posten:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab das mal mit der Formel berechnet, habe für
> k=0,...3 jeweils Ergebnisse von 2,014 bis 2,178 raus, also
> gerundet.
Da warst Du aber seeeeeeehr großzügig !
Ist [mm] z_0 [/mm] eine Lösung von [mm] $z^4=16i$, [/mm] so kann [mm] z_0 [/mm] keine reelle Zahl sein ! Schon deswegen können Deine Ergebnisse nicht stimmen
Weiter gilt für solch ein [mm] z_0: $|z_0|^4 [/mm] = 16$, also [mm] $|z_0|=2$
[/mm]
Deine Ergebnisse stimmen also vorne und hinten nicht.
Zeig mal Deine Rechnungen.
FRED
> waren sehr Krumme Werte [mm](cos(\bruch{\pi/2}{4})...[/mm]
> und [mm]sin(\bruch{\pi/2}{4})),[/mm] sind aber glaube ich richtig.
> Du kannst ja mal deine Ergebnisse posten:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Di 11.05.2010 | | Autor: | stffn |
Verdammt, da war doch jemand schneller:( ist mir nämlich auch gerade aufgefallen, Ich war mal wieder zu voreilig und habe einfach mal das i nicht mitgenommen. Meine neuen Ergebnisse lauten:
[mm] z_{k=0}=2+0.014i
[/mm]
[mm] z_{k=1}=2+0.068i
[/mm]
[mm] z_{k=2}=2+0.122i
[/mm]
[mm] z_{k=3}=2+0.178i
[/mm]
Ich hoffe das stimmt. Sicher bin ich mir nicht, das sage ich besser jetzt schon.
Ich habe einfach die Werte eingesetzt, also in
[mm] \wurzel[4]{z}=\wurzel[4]{16}*(cos(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4})+i*sin(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4}))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Di 11.05.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo stffn!
> [mm]z_{k=0}=2+0.014i[/mm]
> [mm]z_{k=1}=2+0.068i[/mm]
> [mm]z_{k=2}=2+0.122i[/mm]
> [mm]z_{k=3}=2+0.178i[/mm]
Diese Werte können gar nicht stimmen, da der Betrag jeweils größer als $2 \ = \ [mm] \wurzel[4]{16}$ [/mm] ist.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Verdammt, da war doch jemand schneller:( ist mir nämlich
> auch gerade aufgefallen, Ich war mal wieder zu voreilig und
> habe einfach mal das i nicht mitgenommen. Meine neuen
> Ergebnisse lauten:
> [mm]z_{k=0}=2+0.014i[/mm]
> [mm]z_{k=1}=2+0.068i[/mm]
> [mm]z_{k=2}=2+0.122i[/mm]
> [mm]z_{k=3}=2+0.178i[/mm]
Die stimmen nicht ! Wie gesagt : der Betrag jeder Lösung ist = 2
>
> Ich hoffe das stimmt. Sicher bin ich mir nicht, das sage
> ich besser jetzt schon.
> Ich habe einfach die Werte eingesetzt, also in
>
> [mm]\wurzel[4]{z}=\wurzel[4]{16}*(cos(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4})+i*sin(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4}))[/mm]
Die Formel stimmt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Di 11.05.2010 | | Autor: | stffn |
Dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht hätte ich mich einfach nicht einmischen sollen. Aber ich erklär mal wie ich drauf gekommen bin:
[mm] \wurzel[4]{16}=2
[/mm]
[mm] cos(\bruch{(\pi/2)}{4})=0,99997\approx1 [/mm] , genau wie für k=1,...,3.
Ich habe also gerundet, deshalb die 2.
Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe, würde es aber gerne wissen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht hätte ich
> mich einfach nicht einmischen sollen. Aber ich erklär mal
> wie ich drauf gekommen bin:
>
> [mm]\wurzel[4]{16}=2[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{(\pi/2)}{4})=0,99997\approx1[/mm] , genau wie für
> k=1,...,3.
> Ich habe also gerundet, deshalb die 2.
> Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe, würde es aber
> gerne wissen.
Lass einfach das runden !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 11.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] cos(\pi/8)\ne [/mm] 0.999... !!! wahrscheinlich hast du in deg statt in rad gerechnet. [mm] \pi/8 [/mm] entspricht 22.5°
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 11.05.2010 | | Autor: | stffn |
Damit hätten wir dann auch diesen Fehler gefunden...
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für Olga und sffn:
Die 4-ten Wurzeln der komplexen Zahl 16i sind (so hat es Roadrunner gemeint):
[mm] $\sqrt[4]{16}\cdot [/mm] exp( i [mm] (\varphi [/mm] + [mm] 2k\pi)/4)$,
[/mm]
wobei k die Werte $0, 1, 2, 3$ durchläuft und [mm] $\varphi= \pi/2$ [/mm] ist .
FRED
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