z bestimmen aus Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie z [mm] \in \IC [/mm] aus der Gleichung
[mm] -3\overline{z}+z-2iz=4i
[/mm]
und stellen Sie die Lösung in der Form a+bi mit reellen a,b dar. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich komme bei der Lösung dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Ich habe für z einfach erstmal a+bi eingesetzt und erhalte dann erstmal folgende Gleichung:
-3(a-bi) + a+bi - 2i(a+bi)=4i
Nun habe ich schon versucht nach i umzustellen oder nach a oder b, aber ich komme auf nichts Gescheites.
Ein zweiter Gedanke von mir war, die Gleichung nach z umzustellen, aber da ich gleich am Anfang mit [mm] \overline{z} [/mm] rechne, wusste ich nicht, wie ich damit umgehen soll.
Habe ich irgendwo einen Denkfehler oder war das mit dem "a+bi" einsetzen gar nicht so verkehrt?
Und wenn ja, was mache ich dann? Soll ich nach z.B. a umstellen? Was ist dann mit dem verbleibenden i?
Wäre für Lösungsansätze sehr dankbar!!
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Hallo lexjou!
Der Ansatz, $z \ = \ a+i*b$ einzusetzen, ist schon sehr gut.
Fasse anschließend auf der linken Seite zusammen und sortiere nach Realteil und Imaginärteil.
Dann steht ein Koeffizientenvergleich mit $4*i \ = \ 0+4*i$ an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Roadrunner,
also dass mein Lösungsansatz richtig war finde ich ja schon mal sehr gut!
Aber wie genau kommst Du auf Deine Lösung? Also ich kann Dir ja mal mein Weg aufschreiben, den ich gegangen bin:
-3(a-bi)+a+bi-2i(a+bi)=4i
Dann habe ich erstmal ausgeklammert:
-3a+3bi+a+bi-2ai-2b=4i
Und egal wie ich zusammenfasse, aber ich komme dann auf sowas wie:
-2a+3bi-2ai-2b=4i
Ich weiß nicht was ich damit anstellen soll!?!?!
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Hallo lexjou,
> Hallo Roadrunner,
>
> also dass mein Lösungsansatz richtig war finde ich ja
> schon mal sehr gut!
> Aber wie genau kommst Du auf Deine Lösung? Also ich kann
> Dir ja mal mein Weg aufschreiben, den ich gegangen bin:
>
> -3(a-bi)+a+bi-2i(a+bi)=4i
>
> Dann habe ich erstmal ausgeklammert:
>
> -3a+3bi+a+bi-2ai-2b=4i
Hier muss es doch lauten:
[mm]-3a+3bi+a+bi-2ai\red{+}2b=4i[/mm]
,da [mm]-2i*bi=-2b*i^{2}=-2b*\left(-1\right)=+2b[/mm]
>
> Und egal wie ich zusammenfasse, aber ich komme dann auf
> sowas wie:
>
> -2a+3bi-2ai-2b=4i
>
> Ich weiß nicht was ich damit anstellen soll!?!?!
Vergleiche jetzt den Realteil auf der linken seite,
mit dem auf der rechten Seite.
Dasselbe machst Du auch mit dem Imaginärteil.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ja stimmt, es muss +2b heißen! Hatte da ein Abschreibfehler! In meinen Notizen habe ich auch +2b!
Aber was genau ist denn 2ai und 3bi? Das sind doch imaginäre Teile, oder?
Wie fasse ich dann aber die beiden zusammen?
Ich bin jetzt soweit:
-2a+4bi-2ai+2b=4i
Ist der Realteil jetzt auf der linken Seite -2a+2b und der Imaginärteil 4bi-2ai und auf der rechten Seite 0 für den Realteil und 4i für den Imaginärteil?
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Hallo lexjou!
Das stimmt fast. Die Imaginärteile sind auch reelle Zahlen, so dass hier das $i_$ nichts verloren hat.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ich kann jetzt also das i einfach weglassen und erhalte dann:
-2a+3b-2a+2b=4i
also:
-4a+5b=4i
Und wie bringe ich das jetzt in die Form "a+bi"????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Di 16.11.2010 | | Autor: | himbrom |
Du hast Deine Lösung bereits durch Einsetzen von [mm]z=a+{\rm i}b[/mm] ganz am Anfang auf die gefragte Form gebracht. Es bleibt nur noch [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auszurechnen.
[mm]{\rm i}[/mm] einfach weglassen ist falsch, denn [mm]{\rm i}\neq{}1[/mm], was man durch quadrieren sieht.
Du hast bereits [mm]-2a+4b{\rm i}-2a{\rm i}+2b=4{\rm i}[/mm] bestimmt. Dies ist gleichbedeutend zu
[mm](-2a+2b)+{\rm i}(-2a+4b-4)=0[/mm]
Daraus kann man ablesen, dass die Inhalte der Klammern verschwinden müssen. Aus der ersten erhält man [mm]a=b[/mm] und damit aus der zweiten [mm]b=2[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 16.11.2010 | | Autor: | himbrom |
Hier noch eine kurze Erklärung, warum man aus der oben angegebenen Darstellung ablesen kann, dass die Klammern verschwinden:
Sei [mm]c_1+{\rm i}c_2=0[/mm] mit [mm]c_1,c_2\in\mathbb{R}[/mm]. Stelle Dir [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] als die Klammern in der vorherigen Mitteilung vor. Dann ist [mm]c_1=-{\rm i}c_2[/mm] und durch Quadrieren [mm]0\leq{}c_1^2=-c_2^2\leq{}0[/mm] und folglich [mm]c_1=c_2=0[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
AH!!!!
Klar! VIELEN VIELEN DANK! Wie logisch eigentlich!
Vor allem weil ich schon soweit war und i ausgeklammert hatte!
Aber ich habe hier vor gesessen und je länger man guckt desto weniger sieht man!
Ich werd auch gleich noch eine Frage posten!
Danke schon mal :)
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Hallo,
Ich verstehe den Gedankengang nicht so gut. Wie kommt man auf "$ [mm] 0\leq{}c_1^2=-c_2^2\leq{}0 [/mm] $". Und was macht man dann mit c1=c2=0??
Hilfe^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit den quadraten ist überflüssig, es ist einfacher: eine komplexe Zahl ist nur dann 0 wenn ihr Imaginärteil und ihr Realteil 0 sind.
was h. erklären wollte ist, dass auch nur dann der Betrag von a+ib 0 ist, wenn [mm] a^2+b^2=0 [/mm] also |a+ib|=0 folgt [mm] a^2+b^2=0 [/mm] und daraus a00 und b=0.
aber nochmal, das braucht man nicht.
gruss leduart
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| Aufgabe | | Wie verwendet man das hier??!! |
Wie verwendet man das hier??!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
Wie verwendet man was hier?
Deine frage ist nicht verständlich. die aufgabe ist doch gelöst, wenn man realteil und Imaginärteil einfach 0 setzt und darau a und b bestimmt.
Gruss leduart
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wenn mann alles zusammenfasst, kommt man auf (b-a) + i(2b-a-2) = 0
der realteil wäre dann b-a und der imaginärteil 2b-a-2. Wie rechnet man dann z aus in die form a+bi. Muss mann dann ein Gleichungssystem aufbauen.
I. b-a = 0
II. 2b-a-2= 0
I. b=a
dann I. in II.: 2a-a-2=0 <=> a-2=0 <=> a=2
z=2+2i????
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