zeige differnzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Sa 20.01.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | sei f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion auf einem offenen Intervall I [mm] \subset \IR, [/mm] so dass gilt:
|f(x)-f(y)| [mm] \le |x-y|^2 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I
zeige, dass f diff'bar ist, wie lautet die Ableitung f' von f?? |
Ich verstehe nicht wie f jetzt aussieht:
x [mm] \to [/mm] ????
das ist auch mein Problem.
MFG
Christoph
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Wählen wir [mm]|h| \neq 0[/mm] genügend klein mit [mm]x,x+h \in I[/mm]. Dann betrachten wir den Betrag des Differenzenquotienten und schätzen nach der Voraussetzung ab:
[mm]\left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right| = \frac{\left| f(x+h) - f(x) \right|}{|h|} \leq \frac{|h|^2}{|h|} = |h|[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 21.01.2007 | | Autor: | CPH |
Erst eimal vielen dank,
Meine Definiton von diff'bar ist:
14.1 Definition:
Sei f: I [mm] \to \IC, [/mm] I [mm] \subseteq \IR [/mm] Intervall
sei [mm] x_0 \in [/mm] I
f heißt diff'bar bei [mm] x_0, [/mm] wenn :
[mm] f'(x_0):= lim_{x \to x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert
[mm] f'(x_0) \in \IC [/mm] heißt Ableitung von f bei [mm] x_0 [/mm]
Ist f in jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] von I diff'bar, dann heißt f diff'bar
Die Funktion f': I [mm] \to \IC
[/mm]
x [mm] \to [/mm] f'(x) heißt Ableitung von f.
Wenn ich das oben richtig verstanden hab soll ich:
Wähle h so, dass gilt:
y=x+h, x, y, h [mm] \in [/mm] I
|h| [mm] \not=0
[/mm]
Dann
[mm] |f(x)-f(x+h)|\le |x-(x-h)|^2
[/mm]
Beide seiten durch |h| dividieren, da |h|> 0 ändert das nichts an der UGL.
also:
[mm] \bruch{\left| f(x)-f(x+h) \right|}{|h|} \le \bruch{|h|^2}{|h|}
[/mm]
= [mm] \left| \bruch{ f(x)-f(x+h) }{h}\right| \le [/mm] |h|
nun h [mm] \to [/mm] 0 was sagt mit dass über meine diff'barkeit??????
MFG
Christoph
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Es muß [mm]x, \, y = x+h \in I[/mm] heißen.
[mm]f'\left( x_0 \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f \left( x_0 \right)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f \left( x_0 + h \right) - f \left( x_0 \right)}{h}[/mm]
sind doch zwei äquivalente Beschreibungen der Differenzierbarkeit. Wenn dir die andere Formel besser gefällt, so führe den Beweis halt mit [mm]x[/mm] und [mm]y = x_0[/mm].
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