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| Aufgabe | "Ein Meinungsforschungsinstitut führt eine repräsentative Umfrage durch, um den Stim-
menanteil p [mm] \in [/mm] (0, 1) für eine Partei A zu prognostizieren. Der Stichprobenumfang soll
so gewählt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 der zufällige
Stimmenanteil in der Stichprobe um höchstens 2 Prozentpunkte vom wahren Stimmen-
anteil p abweicht. Bestimmen Sie ein solches n mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes." |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe:
Ich weiß, dass die entsprechende Zufallsgröße [mm] X_n [/mm] ~ Bi(n,p) ist. Erwartungswert [mm] \mu [/mm] = n*p und Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] = n*p*(1-p) kenne ich entsprechend auch. Und nun dachte ich verwende ich einfach
[mm] P(X_n \le [/mm] t) [mm] \approx \phi(\bruch{t-n*\mu}{\wurzel{n*\sigma^2}}) \ge [/mm] 0.95
und bestimme mittels des 0.95-Quantils z_(0.95) = 1.645 der Normalverteilung ein n. Doch irgendwie liefert mir das kein sinnvolles Ergebnis.
Was ich also bisher versucht habe ist folgendes:
[mm] P(X_n \le [/mm] 0.02) [mm] \approx \phi(\bruch{0.02-n^2*p}{\wurzel{n^2*p*(1-p)}}) \ge [/mm] 0.95
[mm] \Rightarrow \bruch{0.02-n^2*p}{\wurzel{n^2*p*(1-p)}} \ge [/mm] 1.645
Das Umzustellen führt irgendwie auf eine quadratische Gleichung und das ist ja sicher nicht sinnvoll.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Fry |
Hey,
in deiner Antwort stecken einige gute Ansätze. Die Umsetzung der Aussage aus dem Text stimmt aber nicht so. Die Modellierung fehlt bei dir auch.
Könntest es z.B. so machen
[mm] $X_i:= [/mm] 1$, i-te befragte Person würde für Partei stimmen
$=0$, i-te befragte Person stimmt nicht für Partei
[mm] ($1\le i\le [/mm] n$)
[mm] X_i [/mm] ~B(1,p) und [mm] $(X_i)_i$ [/mm] sind unabhängig.
[mm] $S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] Anzahl der Person in der Stichprobe, die für Partei A stimmen. Enstprechend obigen Vorauss. gilt [mm] S_n~B(n,p)
[/mm]
[mm] $\frac{1}{n}S_n$ [/mm] = Anteil der Personen an der Gesamtheit, die für A stimmen würden.
Laut Text soll nun [mm] $P(|\frac{1}{n}S_n-p|\le 0,02)\ge [/mm] 0,95 für alle [mm] $p\in[0,1]$ [/mm] gelten.
Dann müsste entsprechend des ZGWS [mm] $2*\Phi\left(\frac{0,02\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1\ge [/mm] 0,95$$ gelten.
Jetzt kannst du wegen der Monotonie von [mm] $\Phi$, [/mm] wie du es ja auch gemacht hast, entsprechende Schlußfolgerungen ziehen. Dann nach n auflösen..
Bedenke, dass man das n dann so wählen muss, dass die Aussage für ALLE p gelten muss.
Viele Grüße
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Fry |
Also [mm] $n\ge [/mm] 2401$...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Sa 12.01.2013 | | Autor: | recnamoryp |
Vielen Dank, jetzt hab ichs kapiert. ^-^
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