zum neuen Jahr < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde Darstellungen der Zahl 2014 als rechnerische Ausdrücke,
in welchen jede der Ziffern von 1 bis 9 genau einmal auftritt,
und wenn möglich sogar in dieser Reihenfolge oder in der
umgekehrten Reihenfolge von 9 bis 1.
Als Rechenoperationen zugelassen sind Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division, Potenzierung, Quadratwurzelsymbol
und natürlich beliebig viele Klammern, aber z.B. keine Run-
dungsfunktionen wie die Gauß-Klammer. |
Hier meine zwei Beispiele zum Start:
$\ [mm] (1-2+3)*(4^5+(6-7)*(8+9))$
[/mm]
$\ [mm] 1*2*(3\,!+\sqrt{4}+5+6)*(7*8-\sqrt{9})$
[/mm]
Viel Vergnügen !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Di 31.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
$ 9 + 8*7*(6+5!:4)-3!*2+1 = 2014 $
Prost Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 31.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hicks,
ist das auch erlaubt ?
$ [mm] \wurzel[\wurzel{9}]{8}*(7*6!:5!*4!+\integral_{3}^{2}{1 $ $dx}) [/mm] = 2014 $
Gruß Sax.
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> Hicks,
>
> ist das auch erlaubt ?
>
> [mm]\wurzel[\wurzel{9}]{8}*(7*6!:5!*4!+\integral_{3}^{2}{1[/mm] [mm]dx}) = 2014[/mm]
>
> Gruß Sax.
Ich möchte da gar nicht Schiedsrichter spielen:
jedenfalls ebenfalls eine hochprozentige Idee !
Al
Merke gerade, dass dies auch etwas kürzer
gegangen wäre: "jeden- und ebenfalls"
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 31.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
in der Aufgabe ist ja von "Ziffern", nicht von "Zahlen" die Rede, deshalb allen einen guten Rutsch ins Jahr $ 1234-5+6!-7+8*9 $
Gruß Sax.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist die erste Lösung, die ich im neuen Jahr
gefunden habe.
Aber ich bin sicher, dass es noch sehr viele
weitere Lösungen (und darunter auch wesentlich
einfachere als diese) gibt, die es sich noch zu
suchen lohnt !
Happy
$\mbox{\Huge{\red{{\left(9*8\,/\,(7\,!-6\,!)\right)*(4+5)\,!\,/\,3-2*1}}}$
 Al-Chwarizmi
Zur Kontrolle des Ergebnisses habe ich den Term auch
![[]](/images/popup.gif) Wolfram|Alpha gefüttert. Nebst der Bestätigung des
numerischen Ergebnisses erhält man da als Dreingabe
noch eine Fülle von Darstellungen mittels Gammafunktion,
Integralen und Reihen. Eine der Integraldarstellungen
habe ich mir herausgepickt und noch ein wenig weiter
umgeformt. Herausgekommen ist dabei:
$\ 2014\ =\ [mm] \,24\ \frac{Z}{N}\ -\,2$
[/mm]
wobei $\ Z\ =\ [mm] \integral_{0}^{\infty}x^9*e^{-x}\ [/mm] dx$ und $\ N\ =\ [mm] \integral_{0}^{\infty}x^6*(x-1)*e^{-x}\ [/mm] dx$
Für alle, die sich zum neuen Jahr vorgenommen haben,
sich mal mit der Gammafunktion zu beschäftigen, wären
diese Integrale ein nettes Häppchen ...
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> [mm]-\sqrt[\sqrt{9}]{8}(7+6+5-4^{3+2}-1)=2014[/mm]
Ja, das passt, wenn man Wurzelausdrücke als Wurzel-
exponenten zulässt.
> Übrigens habe ich mir Gedanken über die Aufgabe für
> nächstes Jahr gemacht und festgestellt,
> dass du schon quasi im Startpost eine mögliche Lösung
> gegeben hast. 
Naja, so richtig Spass machen aber solche Lösungen,
die man aus vergangenen Jahren nimmt und nur leicht
anpasst, nicht wirklich. Das wäre so ähnlich, wie wenn
man ein Weihnachtsgeschenk zwischenlagert und für
Weihnachten nächstes Jahr neu einpackt und weiter
verschenkt ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:55 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > [mm]-\sqrt[\sqrt{9}]{8}(7+6+5-4^{3+2}-1)=2014[/mm]
>
> Ja, das passt, wenn man Wurzelausdrücke als Wurzel-
> exponenten zulässt.
Ich wollte unbedingt eine Lösung ohne Brüche, Fakultäten und Wurzeln,
aber das ist mir noch nicht gelungen und ich musste mir eine Scheibe vom Wurzelgedönst angucken.
Die Aufgabe hat mir sehr viel Spaß gemacht und ich danke dir dafür!
>
> > Übrigens habe ich mir Gedanken über die Aufgabe für
> > nächstes Jahr gemacht und festgestellt,
> > dass du schon quasi im Startpost eine mögliche Lösung
> > gegeben hast.
>
> Naja, so richtig Spass machen aber solche Lösungen,
> die man aus vergangenen Jahren nimmt und nur leicht
> anpasst, nicht wirklich. Das wäre so ähnlich, wie wenn
> man ein Weihnachtsgeschenk zwischenlagert und für
> Weihnachten nächstes Jahr neu einpackt und weiter
> verschenkt ...
>
Japp
> LG , Al-Chw.
Gute Nacht, DieAcht
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> Ich wollte unbedingt eine Lösung ohne Brüche, Fakultäten
> und Wurzeln ....
Guten Tag ,
auch dies gibt es durchaus, etwa:
(9+8*7)*(6*5-4+3+2)-1
Allerdings enthalten die meisten der Beispiele, die
ich bisher gefunden habe, auch wenigstens eine
Division, eine Potenz oder Wurzel oder Fakultät.
Durch diese Mittel erweitert sich natürlich die
Vielfalt der möglichen Lösungen fast bis zur
Unabsehbarkeit. Doch ich muss selber gestehen:
es macht wirklich Spass, einen ersten Ansatz so
weit zu präparieren, bis er exakt passt. Da besteht
sogar fast so etwas wie ein Suchtpotential, wie
ich nun an mir selber erfahren habe ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Guten Abend,
> > Ich wollte unbedingt eine Lösung ohne Brüche, Fakultäten
> > und Wurzeln ....
>
> Guten Tag ,
>
> auch dies gibt es durchaus, etwa:
>
> (9+8*7)*(6*5-4+3+2)-1
>
Das ist wirklich eine sehr "schöne" Lösung!
Ich muss gestehen, dass ich nach so einer Lösung etwa fünf Stunden gesucht habe..
> Doch ich muss selber gestehen:
> es macht wirklich Spass, einen ersten Ansatz so
> weit zu präparieren, bis er exakt passt. Da besteht
> sogar fast so etwas wie ein Suchtpotential, wie
> ich nun an mir selber erfahren habe ...
>
> LG , Al-Chw.
>
Schönen Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Fr 03.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Wie kommt man auf sowas ? Einfach nur durch Rumprobieren ?
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> Wie kommt man auf sowas ? Einfach nur durch Rumprobieren ?
Hallo,
"blindes" Rumprobieren bringt da fast nichts. Aber mit
einiger Übung (und die gewinnt man, wenn man zunächst
einfach mal mit noch relativ blindem Probieren beginnt),
lernt man ein paar Vorgehensweisen, die zum Ziel
führen könnten. So ist es zum Beispiel sinnvoll, sich
einmal die Faktorzerlegungen der Zahlen in der Nähe
der Zielzahl (hier 2014) anzuschauen. So ist zum Beispiel
2015 = 5*403 = 5*13*31 , also 2014=5*13*31-1.
Nun schreibt man sich mal die Zahlen
9 8 7 6 5 4 3 2 1
nebeneinander auf. Die 1 am Schluss reservieren wir uns
für die Subtraktion der 1 am Ende. Und nun probiert man,
ob man die übrigen 8 Ziffern in Gruppen aufteilen kann,
aus denen man die 3 Faktoren 5, 13, 31 herstellen
könnte. Während ich dies schreibe, fällt mir gerade
ein, dass es etwa mit dieser Einteilung klappen sollte:
$\ [mm] \underbrace{9\quad 8\quad 7}_{31}\ [/mm] |\ [mm] \underbrace{ 6\quad 5\quad 4}_{13}\ [/mm] |\ [mm] \underbrace{3\quad 2}_5\ [/mm] |\ [mm] \underbrace{ 1}_1$
[/mm]
Die Ausarbeitung der Details überlasse ich gern dem
Leser. Hinweis: es sind (vermutlich) zwei Quadrat-
wurzeln erforderlich (aber nur solche mit ganzzahligen
Werten).
Für das vorherige Beispiel nahm ich die Zerlegung
2014 = 65*31-1 und sah, dass man die 65 schreiben
kann als 65 = 9+8*7 (um solche Zerlegungen zu
erkennen, ohne lange suchen zu müssen, ist natürlich
flinkes Kopfrechnen mit dem Einmaleins und mit Zahlen
bis 100 fast unerlässlich), und dann war die nächste
Frage, wie man aus den verbleibenden Ziffern noch den
Faktor 31 produzieren kann:
$\ [mm] \underbrace{9\quad 8\quad 7}_{65}\ [/mm] |\ [mm] \underbrace{ 6\quad 5\quad 4\quad 3\quad 2}_{31}\ [/mm] |\ [mm] \underbrace{ 1}_1$
[/mm]
Diese letzte Aufgabe ist nun wirklich nicht mehr so
schwer, denn aus den Ziffern 6,5,4,3,2 (in dieser
Reihenfolge !) das Ergebnis 31 zusammenzuschustern,
ist wirklich kaum mehr als ein Kinderspiel mit verschie-
denen Lösungen:
31 = 30+1 = 6*5+1 = 6*5+(-4+3+2)
31 = 27+4 = 6+27-2 = 6+(9*3)-2 = 6+((5+4)*3)-2
31 = 26+5 = 6+20+5 = 6+5*4+3+2
31 = 24+7 = 4!+7 = 1+4!+6 = (6-5)+4!+(3*2)
31 = 11+20 = (6+5)+4*5 = (6+5)+4*(3+2)
Schon dieses Beispiel zeigt, dass man eine gegebene
Menge von Ziffern mittels passender Rechenoperationen
auf sehr unterschiedliche Arten "auf die Reihe bringen"
kann, wobei immer dasselbe Ergebnis entsteht.
LG , Al-Chw.
Übrigens habe ich vor einigen Jahren auch hier im
Matheraum für dieses Spiel den Ausdruck "Zahlengolf"
geprägt, weil man analog zum Golf auf dem Rasen
zunächst einen großen Schlag (z.B. mit einem
Produkt oder einer Potenz) braucht, der einen in die
Nähe des Ziels bringt. Dann muss man das noch
verbleibende Zahlenmaterial und die richtigen
"Schläger" (Operationen) geschickt auswählen und
kombinieren, um dann exakt einlochen zu können.
Jetzt habe ich gemerkt, dass auch vor mir schon
jemand (Robert Geretschläger, Graz) mal den Begriff
"Zahlengolf" verwendet hatte, aber für einen doch
ziemlich anderen Zweck, bei dem es bei jedem "Schlag"
darum ging, eine Potenz einer gewählten Basis zu
addieren.
Gruß , Al
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Hallo an alle
mein Vorschlag zur Zahlenspielerei zu Beginn des
neuen Jahres hat offenbar nicht so viel Resonanz
gefunden, wie ich erwartet hatte. Nun, ich nehme
einmal an, dass die meisten über diese Tage
wichtigeren oder angenehmeren Tätigkeiten nach-
gegangen sind, als Lösungen zu einem Zahlen-
rätsel zu suchen, das zwar sehr offen gestellt
war, jedoch keinen wirklichen "Nutzen" hat ...
Mich selber hat aber die Frage gepackt, wie
man viele verschiedenartige Lösungen finden
kann - und offenbar ist es mir gelungen, eine
Reihe von Techniken dazu zu entwickeln. Es
sind mir jedenfalls laufend neue Beispiele
eingefallen, wobei ich an jedem einige Zeit
herumbasteln musste, bis es wirklich passte.
Ich war mehr und mehr überrascht über die
Vielfalt von Termen, die immer aus den Zahlen
1,2,3,4,5,6,7,8,9 oder aber 9,8,7,6,5,4,3,2,1
nur mit den Grundoperationen und dazu
Potenzen, Wurzeln und Fakultäten gebaut sind
und immer zum Ergebnis 2014 führen.
Natürlich kann man sich leicht vorstellen,
dass man wohl für fast jede andere bis zu
vierstellige Zielzahl ebenso eine große Fülle
von Lösungen finden könnte. Daher die
Überschrift "The Power of Operations" für
diesen Beitrag.
Um allen (trotzdem) Interessierten einen
Eindruck von der Fülle der möglichen Lösungen
zu vermitteln, hier meine Liste der Lösungen,
die ich gefunden habe. Um einen wenn auch
bescheidenen Anreiz zu geben, die Rechnungen
wirklich zu überprüfen, habe ich aber ein Beispiel
angeführt, das nicht ganz passt. Ich hoffe, dass
außer diesem einen bewusst reingeschmuggelten
Fehler keine weiteren mehr vorhanden sind.
Tatsächlich hat mich die Schreibarbeit und die
Redaktion der Lösungen fast mehr Arbeit ge-
kostet als das Auffinden der Lösungen selber,
die ich einfach so nebenbei etwa beim Fernsehen
oder vor dem Einschlafen auf Zettelchen notierte ...
Mit besten Wünschen zu diesem neuen Jahr !
Al-Chwarizmi
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 6 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 07.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ich finde es schon erstaunlich, dass es allein für 2014 (mindestens) 75 Lösungen gibt.
Noch erstaunlicher finde ich aber deinen Satz "Natürlich kann man sich leicht vorstellen, dass man wohl für fast jede andere bis zu vierstellige Zielzahl ebenso eine große Fülle von Lösungen finden könnte."
Wenn dem wirklich so ist, dann müsste es ja eine schier ungeheuerliche Anzahl an Möglichkeiten (Rechenoperationen) geben.
Da ich aber nicht glaube, dass alle Zielzahlen (hier: 2014) genau die gleiche Anzahl an Kombinationen (hier: 75) ergeben, so müsste es doch eine Zielzahl geben, die die meisten Kombinationen aufweist.
Dann könntest du es dir ja zur "Lebensaufgabe" machen, diese Zielzahl zu finden.
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> Ich finde es schon erstaunlich, dass es allein für 2014
> (mindestens) 75 Lösungen gibt.
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> Noch erstaunlicher finde ich aber deinen Satz "Natürlich
> kann man sich leicht vorstellen, dass man wohl für fast
> jede andere bis zu vierstellige Zielzahl ebenso eine große
> Fülle von Lösungen finden könnte."
>
> Wenn dem wirklich so ist, dann müsste es ja eine schier
> ungeheuerliche Anzahl an Möglichkeiten (Rechenoperationen)
> geben.
>
> Da ich aber nicht glaube, dass alle Zielzahlen (hier: 2014)
> genau die gleiche Anzahl an Kombinationen (hier: 75)
> ergeben, so müsste es doch eine Zielzahl geben, die die
> meisten Kombinationen aufweist.
> Dann könntest du es dir ja zur "Lebensaufgabe" machen,
> diese Zielzahl zu finden.
Hallo rabilein1,
es gibt zur Zahl 2014 bestimmt noch weitere Lösungen
als jene, die ich hier zusammengestellt habe. Ich habe
da aber mal einen Punkt gemacht.
Möchte man eine exakte Anzahl A(n) der Möglichkeiten,
die sich für eine Zielzahl n definieren und ermitteln,
müsste man bestimmt die Regeln präzisieren. Bei-
spielsweise sollten die erlaubten Operationen genau
festgelegt werden, z.B. ob Wurzelausdrücke, Potenzen
und Fakultäten auch als Exponenten (auch von Wurzeln)
erlaubt sein sollen. Ferner sollten z.B. die Fakultäten n!
nur ab n=3 zugelassen werden, weil man z.B. durch
die Ersetzung einer 2 durch 2! oder 2!! , 2!!! etc.
aus einem Term beliebig viele weitere mit demselben
Ergebnis machen könnte.
Erst nach der Einführung solch strikter Regeln könnte
die Frage nach den konkreten Werten von A(n) und
nach einem Maximum sinnvollerweise gestellt werden.
Ich vermute allerdings, dass die Zielzahl mit den
meisten Darstellungsmöglichkeiten ziemlich klein
sein dürfte. Die Null und die Eins wären vermutlich
gute Kandidaten.
Jedoch: als ein Lebensziel würde ich mir sowas nun
wirklich nicht stellen. Einige, die die lange Liste
hier sehen, denken vielleicht ja ohnehin schon, dass
einer, der sich so viele zum Teil abenteuerliche
Kombinationen ausdenkt, wenigstens irgendwo
eine lockere Schraube haben müsse ...
Eine mögliche, zwar schwierige, aber doch interes-
sante Aufgabe wäre, zu versuchen, die (gezielten)
Suchprozesse, wie ich sie intuitiv angewandt habe,
so aufzubereiten, dass man die Suche dann einem
Computer überlassen könnte. Mit absolut "blinder"
Suche einfach durch Aufbau von zufälligen Termen
wäre bestimmt auch ein Computer ziemlich
überfordert, wenn es nur darum ginge, zu einer
vorgegebenen Zielzahl möglichst viele Lösungen
zu finden.
Liebe Grüße
Al
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> > wirklich nicht stellen. Einige, die die lange Liste
> > hier sehen, denken vielleicht ja ohnehin schon,
> > dass einer, der sich so viele zum Teil abenteuerliche
> > Kombinationen ausdenkt, wenigstens irgendwo
> > eine lockere Schraube haben müsse ...
>
> Naja, ein bisschen vielleicht...
>
> Aber solange es nur eine ist...
Hallo Valérie,
danke für die tröstlichen Worte. Ob es allerdings
wirklich nur eine ist, kann ich zwar nicht mit
mathematischer Sicherheit sagen. Ich werde aber
vorsichtshalber einmal mein Schraubenzieher-Set
überprüfen ...
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:47 Mi 08.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Dass man die Regeln präzisieren muss, halte ich auch für erforderlich.
Ohnehin fand ich die Sache mit den Wurzeln, Exponenten und Fakultäten ziemlich "abenteuerlich".
Ich würde vorschlagen, dass man nur die vier Grundrechenarten und Klammern verwenden darf.
Dein superschneller Computer könnte wohl nach dem Zufallsprinzip vor jede Zahl ein Rechenzeichen (oder auch Klammer, die irgendwann wieder geschlossen werden muss) setzen, und dann rechnen, was da rauskommt.
Eventuell trifft man die Zielzahl auf den Punkt, oder man nähert sich ihr asymptotisch, d.h. der Computer gibt diejenige Rechenoperation aus, mit der man der Zielzahl am nächsten kommt.
Um es nicht ganz so kompliziert zu machen, ließe sich die Regel abwandeln:
Man gibt vier beliebige Zahlen und die Zielzahl vor, und dann soll man (Mensch bzw. Computer) finden, durch welche Rechenoperationen das möglich ist.
Beispiel:
Zahlen sind 22 / 13 / 16 /11 und Zielzahl ist 13
Dann findet der Computer nach zehn Versuchen (22-13)*16 : 11
Das ist etwa 13.09 - also schon recht nah an der Zielzahl. Vielleicht findet er in den nächsten tausend Versuchen eine noch größere Annäherung oder die Zielzahl selbst. Im letzteren Fall kann das Programm sofort stoppen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Valerie20 |
Je nach Voraussetzung läuft die Implementierung auf mehr oder weniger Permutationen der Zahlenfolge bzw. der Rechenoperatoren hinaus.
Man könnte beispielsweise eine feste Zahlenfolge nehmen, und alle möglichen Permutationen der Rechenoperationen innerhalb der Zahlenfolge ausprobieren und die Lösungen merken.
Andererseits könnte man auch die Zahlenfolge in sich permutieren und für jede mögliche Zahlenpermutation alle Permutationen der Rechenzeichen durchgehen.
Das zu implementieren dürfte keine Problem sein.
Allerdings ist der Rechaufwand bei diesem Problem nicht zu verachten ;)
Man sollte das Problem also möglichst gut einschränken, damit man nicht aber hunderte Jahre auf ein Ergebnis warten muss...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube, dass der Rechenaufwand sich doch in Grenzen hält :
bei n vorgegebenen Zahlen lassen sich diese auf n! Arten hinschreiben (auf eine Art, wenn die Reihenfolge vorgegeben ist). Die (n-1) Rechenzeichen dazwischen : [mm] 4^{n-1} [/mm] Möglichkeiten. Die (durch Klammern festgelegte) Reihenfolge, in welcher die Rechnungen abzuarbeiten sind : (n-1)! Möglichkeiten. [mm] n!*4^{n-1}*(n-1)! [/mm] ist doch recht überschaubar.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mi 08.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]n!*4^{n-1}*(n-1)![/mm] ist doch recht überschaubar.
Naja, kommt auf das n an.
Für den Fall, dass sämtliche Rechenzeichen PLUS oder MAL sind, kann man sich die Permutation und Klammern allerdings sparen bzw. es kommt immer dasselbe raus.
Ob das der Computer allerdings "weiß"? Vielleicht macht es dem Compiter aber weniger aus, immer wieder dasselbe - nur in anderer Reihenfolge und geklammert - zu rechnen, als es dem Programmierer Mühe machen würde, dem Computer diese Rechenleistung zu ersparen.
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> Hi,
>
> ich glaube, dass der Rechenaufwand sich doch in Grenzen
> hält :
> bei n vorgegebenen Zahlen lassen sich diese auf n! Arten
> hinschreiben (auf eine Art, wenn die Reihenfolge vorgegeben
> ist). Die (n-1) Rechenzeichen dazwischen : [mm]4^{n-1}[/mm]
> Möglichkeiten. Die (durch Klammern festgelegte)
> Reihenfolge, in welcher die Rechnungen abzuarbeiten sind :
> (n-1)! Möglichkeiten. [mm]n!*4^{n-1}*(n-1)![/mm] ist doch recht
> überschaubar.
>
> Gruß Sax.
Überschaubar ?
Vielleicht mit einem der Großteleskope in der
Atacama oder auf dem Mauna Kea ?
Also mit n=9 (das war die Idee) gäbe das immerhin
958878292377600 Möglichkeiten.
Ich denke aber, dass dabei allfällige Vorzeichen-
wechsel einzelner Operanden noch nicht vollum-
fänglich eingerechnet sind.
| Aufgabe | I. Wie lange würde die ganze Rechnerei dauern,
wenn der Computer pro Sekunde
(a) tausend
(b) eine Million
(c) eine Milliarde
Rechnungen durchführt (Vorsicht: das sind nicht
einzelne Operationen, sondern eben komplette
Termberechnungen)
II. Wieviel kostet heutzutage (2014) ein Computer,
der für die Variante (a) , (b) , (c) eingesetzt werden
müsste ? |
Also dazu ist mein Computer nun mal ganz sicher
nicht gebaut und auch nicht zu haben - denn ich
brauche ihn ja auch noch, um z.B. hier im Mathe-
raum mitzumachen, was ich definitiv auch für
spannender und bereichernder halte als eine
derartige Ochsenarbeit ...
Und eigentlich war meine Idee ja eben wirklich
nicht, die immense Vielfalt aller Möglichkeiten
quasi "blind" durchzuprobieren, sondern wirklich
gezielt auf eine vorgegebene Zielzahl hin zu
steuern.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun doch (obwohl ich das zuerst überhaupt
nicht vor hatte) ein kleines Computerexperiment
mit "blinder" Suche gemacht.
Das Programm bildet in jedem einzelnen Lauf auf
zufällige Weise aus den Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (in
dieser Reihenfolge) nur mittels Addition und Multi-
plikation und Vorzeichenwechseln einen ebenfalls
in zufälliger Weise beklammerten Term mit einem
ganzzahligen Wert.
Dann habe ich dieses Programm laufen lassen, bis
es 20-mal das Resultat 2014 geliefert hat. Dafür
waren etwa 1 Million Läufe erforderlich. Man erkennt
also den Riesenaufwand (im Mittel etwa 50000
Rechnungen, um eine "gute" zu finden).
Dagegen musste ich selber, ohne Computer, sondern
nur mit einem 5-Euro-Taschenrechner, bestimmt
höchstens ein paar hundert Rechnungen machen,
um auf die insgesamt 75 Lösungen zu kommen -
allerdings mit weiteren zugelassenen Operationen.
Doch befürchte ich, dass der Computer auch mit
diesen zusätzlich erlaubten Operationen und nur
mit blinder Suche wohl im Schnitt nicht weniger
als 50000 Läufe brauchen würde, um einmal die
2014 zu liefern. Der Unterschied bestünde eher
darin, dass nebenbei noch wahnsinnig viele viel
zu große Ergebnisse herauskommen würden.
Zu eurer Beruhigung: mein letztes Ziel in dieser
Angelegenheit wäre nun nur noch, mir mittels
des schon erstellten Progrämmchens eine grafische
Übersicht über die Häufigkeitsverteilung der
Ergebnisse zu verschaffen. Gemerkt habe ich schon,
dass in der Regel schon eine ein- oder zweistellige
Anzahl Läufe genügt, um die Zielzahl 0 zu erreichen.
Doch schon für die Zielzahl 1 sind dreistellige Laufzahlen
die Regel und vierstellige nicht selten !
LG , Al-Chw.
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Nun habe ich eine entsprechende Grafik erstellt.
Es wurden 500'000 Zahlenwerte als Ergebnisse
von Zufallstermen aus dem Grundmaterial
1,2,3,4,5,6,7,8,9 (in dieser Reihenfolge) und
nur mittels zufälliger Beklammerung, Addition,
Multiplikation und Vorzeichenwechseln erzeugt
und dann gezählt, wie oft jedes Ergebnis im
Bereich von 1 bis 1000 erschien. Die Datenpunkte
in der Grafik sind durch ihre Zahlenwerte markiert.
Es zeigt sich (das ist natürlich keineswegs erstaun-
lich), dass Zahlen mit vielen Teilern wie etwa 72,
144, 360, 720 weit häufiger als Resultate erscheinen
als etwa Primzahlen (diese finden sich praktisch alle
am unteren Rand des "besiedelten" Gebietes und
sind deshalb auch kaum lesbar, weil sie sich oft
gegenseitig überdecken. Das allerhäufigste Er-
gebnis 0 ist nicht dargestellt - es würde weit
oberhalb der gezeigten Grafik liegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Sa 11.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Du machst dir ja immer wahnsinnig viel Arbeit und Mühe mit solchen Aufgaben.
Da frage ich mich manchmal, wen ich mehr bewundern soll: Dich oder deinen Computer. Auf jeden Fall seid ihr ein gutes Team.
Was mich dennoch ein wenig erstaunt, ist deine Aussage, dass du mit deinem Fünf-Euro-Rechner mit relativ wenig probieren genauso gute Resultate erzielen konntest wie ein aufwändiges Programm, das dafür Zigtausende von "Probierungen" brauchte.
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> Was mich dennoch ein wenig erstaunt, ist deine Aussage,
> dass du mit deinem Fünf-Euro-Rechner mit relativ wenig
> probieren genauso gute Resultate erzielen konntest wie ein
> aufwändiges Programm, das dafür Zigtausende von
> "Probierungen" brauchte.
Der Unterschied ist eben genau der, dass ich dabei
nicht dasselbe gemacht habe wie das Programm,
das wirklich nur wild und blind drauflos probiert.
Ich habe (fast) nur solche Wege ausprobiert, die
zuerst mit ganz wenigen Operationen sehr nahe an
die Zielzahl 2014 heranführten, so dass es dann oft
möglich wurde, die restliche kleine Strecke bis zum
"Einlochen" bei diesem Zahlengolf mit ein paar
kleinen Kopfrechnungen zu erledigen. Ich habe also
jeweils ein Ziel im Sinn, eben wie ein Golfspieler,
der seine Aufgabe auch aufteilt: erster Schlag, der
gut gezielt möglichst schon ins Green führen soll,
dann näher ans Loch putten und schließlich einlochen.
Das blind suchende Computerprogramm ist im
Vergleich dazu wie ein blinder Golfspieler, der den
Ball von Anfang an mit Schlägen jeder verfügbaren
Schlagstärke in beliebige zufällige Richtungen
schlägt, bis mit Glück und in wunderseltenen
Fällen doch einmal das Loch getroffen wird.
Als ich die Idee eines Programms zuerst aufgriff,
schwebte mir allerdings ein ganz anderes Programm
vor, nämlich eines, das anstatt blind umherzuspielen
auch eine gezielte Strategie verfolgt. Dass ich jetzt
doch ein "blind schlagendes" Progrämmchen gemacht
habe, liegt nur daran, dass das viel, viel einfacher
zu programmieren ist. Für ein "intelligentes" Zahlen-
golfprogramm hätte ich zwar ein paar Ideen, wüsste
aber doch noch nicht so recht, wie ich diese (die ich
von meinem eigenen Vorgehen mit Notizzettel und
5€ - Rechner abgucken kann) in ein Programm ver-
packen sollte ...
LG , Al
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> Je nach Voraussetzung läuft die Implementierung auf mehr
> oder weniger Permutationen der Zahlenfolge bzw. der
> Rechenoperatoren hinaus.
>
> Man könnte beispielsweise eine feste Zahlenfolge nehmen,
> und alle möglichen Permutationen der Rechenoperationen
> innerhalb der Zahlenfolge ausprobieren und die Lösungen
> merken.
>
> Andererseits könnte man auch die Zahlenfolge in sich
> permutieren und für jede mögliche Zahlenpermutation alle
> Permutationen der Rechenzeichen durchgehen.
>
> Das zu implementieren dürfte keine Problem sein.
> Allerdings ist der Rechaufwand bei diesem Problem nicht zu
> verachten ;)
> Man sollte das Problem also möglichst gut einschränken,
> damit man nicht aber hunderte Jahre auf ein Ergebnis warten
> muss...
Hallo Valerie,
es geht eben keineswegs nur um Permutationen der
Operationen, sondern auch um beliebige Beklamme-
rungsvarianten. Zwar werden durch jede einzelne
Operation nur genau zwei nebeneinander stehende
Operanden verarbeitet, aber diese Operanden können
aus früheren Zwischenergebnissen bestehen, die selber
schon als Resultate aus noch früheren Operanden
entstanden sind. Das Ganze kann also eben recht
komplex werden.
LG , Al
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> Dass man die Regeln präzisieren muss, halte ich auch für
> erforderlich.
>
> Ohnehin fand ich die Sache mit den Wurzeln, Exponenten und
> Fakultäten ziemlich "abenteuerlich".
Nun, das sollte halt schon die Vielfalt der möglichen
Lösungen erweitern - und eben auch wirklich etwas
"abenteuerliche" Lösungen erlauben. In diesem
Bereich wäre bestimmt noch viel mehr möglich,
auch mit Rechenwegen, bei denen als Zwischen-
ergebnisse auch Brüche und Wurzeln vorkommen
können.
> Ich würde vorschlagen, dass man nur die vier
> Grundrechenarten und Klammern verwenden darf.
Zum Zweck, das Ganze zu programmieren, wäre ich
in einem ersten Schritt sogar noch etwas bescheidener
und würde auch die Division weglassen. Jedenfalls
sollten aber auch schlichte Vorzeichenwechsel der
einzelnen Operanden zugelassen sein.
> Dein superschneller Computer könnte wohl nach dem
> Zufallsprinzip vor jede Zahl ein Rechenzeichen (oder auch
> Klammer, die irgendwann wieder geschlossen werden muss)
> setzen, und dann rechnen, was da rauskommt.
Ich dachte mir aber eher ein Programm, das gezielt
nach Lösungen zu einer vorgegebenen Zielzahl sucht
als wild herumrechnet. Also eben nicht ein brute-force
Programm, sondern eins mit "Köpfchen". Ein Zufalls-
programm fände ich hier eigentlich gar nicht witzig ...
Naja, gemessen an den Maschinen, auf denen ich seinerzeit
meine ersten Progrämmchen ausprobierte, ist mein etwa
12-jähriger Mac (den ich second-hand von meiner ehemaligen
Schule günstig übernehmen konnte) bestimmt relativ schnell -
aber gegenüber den meisten heute verkauften Geräten ist
er aber eine lahme Ente !
> Eventuell trifft man die Zielzahl auf den Punkt, oder man
> nähert sich ihr asymptotisch, d.h. der Computer gibt
> diejenige Rechenoperation aus, mit der man der Zielzahl am
> nächsten kommt.
>
>
> Um es nicht ganz so kompliziert zu machen, ließe sich die
> Regel abwandeln:
> Man gibt vier beliebige Zahlen und die Zielzahl vor, und
> dann soll man (Mensch bzw. Computer) finden, durch welche
> Rechenoperationen das möglich ist.
>
> Beispiel:
> Zahlen sind 22 / 13 / 16 /11 und Zielzahl ist 13
>
> Dann findet der Computer nach zehn Versuchen (22-13)*16 :
> 11
>
> Das ist etwa 13.09 - also schon recht nah an der Zielzahl.
> Vielleicht findet er in den nächsten tausend Versuchen
> eine noch größere Annäherung oder die Zielzahl selbst.
> Im letzteren Fall kann das Programm sofort stoppen.
Nein. An der Forderung exakt ganzzahliger Lösungen
möchte ich unbedingt festhalten. Das war ein Grund-
prinzip dieser Knobelaufgabe.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 09.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> und würde auch die Division weglassen...
> An der Forderung exakt ganzzahliger Lösungen möchte ich unbedingt festhalten.
Genau so etwas hatte ich mal vor vielen Jahren programmiert auf einem PC, der sicherlich ähnlich deinem Gerät ist, auf dem du deine ersten Progrämmchen ausprobiertest:
Gegeben waren vier Zahlen, sowie die Zielzahl.
Nur mit den Operationen PLUS, MAL und MINUS und KLAMMERN sollten die vier Zahlen so kombiniert werden (Reihenfolge ist egal), dass die Zielzahl rauskommt (Volltreffer), bzw. es wird die Zahl ausgegeben, die der Zielzahl am nächsten kommt.
Ich hatte mir so etwa 20 mögliche Rechenkombinationen ausgedacht -
z. B.: (a + b) * c - d oder a + (b - c) * d
Die Zahlen a,b,c,d wurden dann permutiert, so dass es 4!*20 = 480 Lösungen gab. Und dann "schaute" der Computer, welche dieser Lösungen der Zielzahl am nächsten kam.
Man kann so etwas natürlich noch etwas weiter "ausfeilen", so dass es ewventuell noch mehr als diese 480 Lösungen gibt.
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Mein inzwischen laufendes Programm, das Lösungen
durch blinde Suche findet, möchte nun doch noch
wenigstens ein schönes Beispiel anfügen, das es
nur mit kleiner Mithilfe meinerseits gefunden hat
(ich musste z.B. überflüssige Klammern entfernen)
und das ich vorher noch nicht hatte:
$\ [mm] \mbox{\LARGE{(\ 9\ *\ 8\ *\ 7\ +\ 6\ -\ 5)\ *\ 4\ -\ 3\ *\ 2\ *\ 1}}$
[/mm]
Um diese Lösung zu finden, hat jedoch das Programm
in etwa 2 Minuten fast 130'000 Beispiele durchge-
rechnet, bis dann zufällig das Resultat 2014 herauskam.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 So 12.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> in etwa 2 Minuten fast 130'000 Beispiele, um zu finden, dass
> [mm]\ \mbox{\LARGE{(\ 9\ *\ 8\ *\ 7\ +\ 6\ -\ 5)\ *\ 4\ -\ 3\ *\ 2\ *\ 1} = 2014}[/mm]
Eventuell hätte da ja ein menschliches Rechengenie eine Chance gegen deinen Computer und dein Programm. Nur müsste man da umgekehrt vorgehen und ihn fragen, wie viel
( 9 * 8 * 7 + 6 - 5) * 4 - 3 * 2 * 1
ist, und ihm dann zwei Minuten Zeit geben
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Inzwischen bin ich mittels einiger Tricks (ins-
besondere zur Vermeidung überflüssiger Klammern)
soweit gekommen, dass ich am Ende komplett
computergenerierte Terme mit dem gewünschten
Ergebnis erhalte. In dieser neuen Sammlung kommen
auch einzelne der schon vorher "von Hand" gefundenen
Beispiele vor, aber die meisten sind neu. Und man
erkennt: bei meinen eigenen früheren Beispielen
habe ich doch recht inten- (wenn nicht gar exzes-)
siven Gebrauch von Potenzen, Wurzeln und Fakul-
täten gemacht, während diese Operationen hier
gar nicht eingesetzt werden. Alles geht hier nur
mit plus, minus und mal ab. Außerdem erscheinen
hier die Operanden (1 bis 9) stets in aufsteigender
Reihenfolge. Natürlich ist diese Liste bei Weitem
nicht vollständig. Effektiv habe ich keine Ahnung,
wie lang die vollständige Liste wirklich wäre.
Ich zweifle aber (aus vorher schon erläuterten
Gründen) sehr, ob meine Hardware ausreichen
würde, um durch eine umfassende, aber "blinde"
Suche eine solche vollständige Liste zu produzieren.
Es wären jedenfalls, auch bei der Beschränkung
auf Addition, Multiplikation und Vorzeichenwechsel
bei den Eingangsoperanden, immer noch mindestens
mehrere Milliarden Terme zu prüfen. Um Rechenzeit
einzusparen, wäre also wenigstens noch eine weitere
gute Idee erforderlich.
- 1 + 2 - 3 + 4 * ( - 5 + 6) * 7 * 8 * 9
- 1 * 2 - ( 3 + 4 - 5 - 6) * 7 * 8 * 9
- 1 + 2 - 3 - 4 * ( 5 - 6) * 7 * 8 * 9
- 1 - 2 - 3 - 4 * ( 5 - 6 - 7 * 8 * 9)
1 * ( - 2 * 3 + 4 * ( - 5 + 6 + 7 * 8 * 9) )
- 1 * 2 + ( - 3 - 4 + 5 + 6) * 7 * 8 * 9
- 1 * 2 - ( 3 * ( - 4 - 5) + 6 - 7) * 8 * 9
- 1 + ( 2 + 3 + 4 * 5 + 6) * ( - 7 + 8 * 9)
- 1 * 2 + ( - 3 ( - 4 - 5) - 6 + 7) * 8 * 9
- 1 * 2 + ( - 3 - 4) * ( - 5 - 6 + 7) * 8 * 9
- 1 - 2 - 3 + 4 * ( - 5 + 6 + 7 * 8 * 9)
- 1 + ( 2 + ( 3 + 4) * 5 - 6) * ( 7 * 8 + 9)
- 1 * 2 * 3 + 4 * ( - 5 + 6 + 7 * 8 * 9)
- 1 + ( 2 + 3 - 4 + 5 * 6) * ( 7 * 8 + 9)
- 1 * ( 2 + ( 3 + 4 - 5 - 6) * 7 * 8 * 9)
- 1 - 2 * ( - 3 - 4 * 5 * ( - 6 + 7 * 8) ) + 9
- 1 * 2 * 3 - 4 * ( 5 - 6 - 7 * 8 * 9)
( 1 - 2 + 3) * ( ( 4 * 5 * 6 + 7) * 8 - 9)
- 1 * 2 - ( - 3 - 4) * ( 5 + 6 - 7) * 8 * 9
- 1 - 2 - 3 + 4 * ( - 5 + 6 + 7 * 8 * 9)
- 1 * ( 2 + ( - 3 - 4) * ( 5 + 6 - 7) * 8 * 9)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mo 13.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Es wären jedenfalls ... immer noch mindestens mehrere Milliarden Terme zu prüfen.
Wenn diese Aussage stimmt - das hätte ich nie gedacht, aber die ungefähre Zahl lässt sich sicherlich bestimmen -... , also, wenn es wirklich mehrere Milliarden Möglichkeiten gibt, wie man Plus, Mal, Minus und Klammern miteinander kombiniert, dann wundert es mich gar nicht, dass einige läppische hundert - das wären dann wie viel Promille??? - genau auf 2014 kommen.
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> > Es wären jedenfalls ... immer noch mindestens mehrere
> Milliarden Terme zu prüfen.
>
> Wenn diese Aussage stimmt - das hätte ich nie gedacht,
> aber die ungefähre Zahl lässt sich sicherlich bestimmen
> -... , also, wenn es wirklich mehrere Milliarden
> Möglichkeiten gibt, wie man Plus, Mal, Minus und Klammern
> miteinander kombiniert, dann wundert es mich gar nicht,
> dass einige läppische hundert - das wären dann wie viel
> Promille??? - genau auf 2014 kommen.
Hallo rabilein,
meine diesbezügliche Abschätzung ging so: ich habe
auf die Subtraktion als Operation verzichtet. Dafür
gebe ich jeder der 9 Eingangszahlen am Anfang ein
Vorzeichen (+ oder -) mit. Das gibt [mm] 2^9 [/mm] Varianten
bezüglich der Vorzeichenwahl. Die Operanden sollen
nur in der natürlichen Reihenfolge eingesetzt werden -
da gibt es also keine Variationsmöglichkeiten.
Dann sind der Reihe nach 8 Operationen durchzuführen,
welche nur entweder Addition oder Multiplikation sein
können (also [mm] 2^8 [/mm] Möglichkeiten). Für die Wahl des
Paares unmittelbar nebeneinander stehender Operanden,
auf welche die jeweilige Operation angewandt werden
kann, sind im ersten Schritt 8, dann noch 7, dann
noch 6 .... und für die letzte Operation nur noch eine
Stelle übrig - also 8! Varianten der Beklammerung.
So komme ich auf $\ [mm] 2^9*2^8*8\,!\ \approx\ 5.3*10^9$ [/mm] mögliche Terme.
Da muss man aber gleich hinzufügen, dass unter
diesen vielen Termen auch z.T. recht große Gruppen
von Termen liegen, die sich kaum wesentlich voneinander
unterscheiden. Wenn z.B. in einem Term das Produkt
7*8*9 vorkommt, so könnte dasselbe Produkt auch
durch die Multiplikationen (-7)*(-8)*9 , (-7)*8*(-9)
oder 7*(-8)*(-9) entstanden sein. Natürlich möchte
ich am Schluss eine Liste von Termen haben, die sich
nicht nur auf dermaßen läppische Weise voneinander
unterscheiden. Für eine endgültige Liste würde ich
also z.B. noch die Forderung aufstellen, dass jeder
Term (unter Beibehaltung der Reihenfolge der in ihm
auftretenden "atomaren" Werte 1,2,3,4,5,6,7,8,9)
auf einen Term reduziert sein soll, den man unter
dieser Bedingung nicht mit noch weniger Klammern
schreiben kann.
LG , Al-Chw.
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> > Es wären jedenfalls ... immer noch mindestens mehrere
> > Milliarden Terme zu prüfen.
>
> Wenn diese Aussage stimmt - das hätte ich nie gedacht,
> aber die ungefähre Zahl lässt sich sicherlich bestimmen
> -... , also, wenn es wirklich mehrere Milliarden
> Möglichkeiten gibt, wie man Plus, Mal, Minus und Klammern
> miteinander kombiniert, dann wundert es mich gar nicht,
> dass einige läppische hundert - das wären dann wie viel
> Promille??? - genau auf 2014 kommen.
Wie viele mit dem Ergebnis 2014 es genau gibt, weiß
ich nach wie vor nicht. Dabei wäre aber auch noch zu
beachten, unter welchen genauen Umständen man
zwei Lösungen als verschieden betrachten will. Je nach
der Antwort auf diese Frage können auch die Anzahlen
sehr verschieden ausfallen.
Außerdem möchte ich nochmals darauf hinweisen, dass
eine wichtige Aussage meiner Grafik gerade die sein
sollte, dass die Chancen, dass eine bestimmte Zahl n
als Ergebnis auftreten kann, sehr ungleich verteilt
sein. Es könnte durchaus sein, dass eine bestimmte
Zahl n auf hunderte Arten dargestellt werden kann,
die Zahl n+1 überhaupt nicht und die Zahl n+2
vielleicht doch wieder ein paar Dutzend mal.
Aufgrund dieser Überlegung ist es auch durchaus
schwierig bis unmöglich, Abschätzungen über die
mögliche Auftretenswahrscheinlichkeit einer
bestimmten Zielzahl aufzustellen, ohne nähere
Untersuchungen vorzunehmen.
Für mich wäre jetzt eine allenfalls interessante
Frage noch diese:
Welches ist die kleinste positive Zahl, die sich nicht
durch einen Term darstellen lässt, der nur die Zahlen
1,2,3,4,5,6,7,8,9 in dieser Reihenfolge (und jede nur
genau einmal) und als Operationen nur Vorzeichen-
wechsel der Ausgangszahlen sowie Addition und
Multiplikation (insgesamt genau 8 Operationen)
enthält ?
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Di 14.01.2014 | | Autor: | Valerie20 |
Hi Al-Chwarizmi,
In welcher Sprache hast du denn dein Programm geschrieben?
Ich hatte mich die Tage mal an einem kleinen Java Programm versucht. Allerdings mit mäßigem Erfolg.
Ich habe noch keinen richtigen Algorithmus, für das "3 auf neun" Problem. Also alle Möglichkeiten die 3 Rechenzeichen auf die freien Plätze zu verteilen. Mein derzeitiger Versuch findet zwar Lösungen, allerdings habe ich sehr oft die gleiche Rechenzeichenfolge.
Valerie
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> Hi Al-Chwarizmi,
>
> In welcher Sprache hast du denn dein Programm geschrieben?
> Ich hatte mich die Tage mal an einem kleinen Java Programm
> versucht. Allerdings mit mäßigem Erfolg.
> Ich habe noch keinen richtigen Algorithmus, für das "3
> auf neun" Problem. Also alle Möglichkeiten die 3
> Rechenzeichen auf die freien Plätze zu verteilen. Mein
> derzeitiger Versuch findet zwar Lösungen, allerdings habe
> ich sehr oft die gleiche Rechenzeichenfolge.
>
> Valerie
Hi Valérie,
programmiert habe ich (wie fast immer) in Pascal.
Dabei habe ich bisher nur Zufallsterme produziert,
also keine vollständige Liste, weil die einfach zu
lang wäre. Und wie schon erläutert, habe ich die
Subtraktion als Operation ausgeschlossen, so dass
mir nur noch + und * als Operationen bleiben. Um
alles, was mittels Subtraktionen auch erzeugbar
wäre, ebenfalls zu erhalten, erhält einfach ganz
am Anfang jede der Startzahlen 1,2, ... ,9 (per
Zufall) ein Vorzeichen.
Das Problem, dass ich am Schluss dieselben
Terme oft mehrfach erhalte, hatte ich auch. Das
habe ich dann (provisorisch) so gelöst: ich füttere
den ganzen output von Termen (in welchen ich die
Zahlen 1,2,3 etc. durch Variablen a1,a2,a3,...
ersetzt habe), die oft noch viel zu viele Klammern
enthalten, Mathematica, welches die Terme vereinfacht.
Dann kämme ich die entstandene Liste mittels
"Suchen und Ersetzen" soweit aus, bis jede
Lösung nur noch einmal dasteht. Dann werden
die "a"s wieder entfernt.
Diesen gesamten Prozess könnte man vermutlich
in Mathematica elegant programmieren ...
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Di 14.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Welches ist die kleinste positive Zahl, die ...
Zumindest kann man doch die größte bestimmen.
Und zwar 9! , oder kann es eine größere geben.
Jetzt muss dein Supercomputer "nur" alle Zahlen bis dahin durchchecken. Falls er überall einen Treffer findet, ist 9! ist kleinste.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 14.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ach doch. 1+ 9! ist noch größer....
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> Ach doch. 1+ 9! ist noch größer....
... und (1+2)*3*4* ..... *9 = [mm] \frac{3}{2} [/mm] *9! noch ein klein bisschen größer ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Di 14.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> ... und (1+2)*3*4* ..... *9 = [mm]\frac{3}{2}[/mm] *9! noch ein klein bisschen größer ...
Dann muss dein Supercomputer ja noch länger rechnen , sofern er vorher noch keine Null-Lösung gefunden hat.
Aber kann es zwischen 1+9! und 1,5*9! überhaupt Lösungen geben?
Falls nein, lässt sich das "beweisen", ohne den Computer alles durchrechnen zu lassen?
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> > Welches ist die kleinste positive Zahl, die ...
>
> Zumindest kann man doch die größte bestimmen.
> Und zwar 9! , oder kann es eine größere geben.
>
> Jetzt muss dein Supercomputer "nur" alle Zahlen bis dahin
> durchchecken. Falls er überall einen Treffer findet, ist
> 9! ist kleinste.
Naja, als ob das eine so bescheidene Forderung wäre ...
Und (ich sage es nochmals): ich verfüge keineswegs
über einen "Supercomputer", sondern im Vergleich
mit heute günstig zu habenden Geräten ein überaus
unterdurchschnittliches Teil.
9!-1 lässt sich darstellen, 9!-2 und 9!-3 aber nicht.
LG , Al
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Hallo zusammen !
Ein weiteres Computerexperiment hat sehr deutlich
gezeigt, dass uns offenbar ein ganz ausgezeichnetes
Jahr für das hier angeregte Spiel "Zahlengolf" bevor-
steht. Ich habe für die Jahre von 1960 bis 2060 geprüft,
wie groß die Häufigkeit ist, aus den Zahlen von 1 bis 9
durch zufällige Vorzeichenwahl, Beklammerung und nur
mit Addition und Multiplikation zu Termen mit dem Zahlen-
wert der entsprechenden Jahreszahl zu kommen.
Das Ergebnis wird am besten durch die folgende Grafik
ausgedrückt, welche zeigt, dass das Ergebnis 2016
mit viel größerer Häufigkeit auftrat als alle übrigen.
Für dieses Jahr wird es also extrem viele Lösungs-
möglichkeiten geben, welche sich nur durch die Grund-
operationen plus, minus und mal ausdrücken lassen !
LG , Al-Chwarizmi
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 11.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AI,
Eine sehr schöne Grafik hast du da erstellen lassen
2025 als ungerade Zahl so weit oben ist auch erstaunlich.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Mo 13.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo DieAcht,
> Eine sehr schöne Grafik hast du da erstellen lassen
Finde ich auch.
> 2025 als ungerade Zahl so weit oben ist auch erstaunlich.
Das finde ich wiederum gar nicht erstaunlich. [mm] 2025=3^4*5^2.
[/mm]
Zahlen mit vielen Faktoren sind nun mal leichter darzustellen. Ich würde annehmen, dass in den nächsten Jahrzehnten [mm] 2048=2^{11} [/mm] der absolute Spitzenreiter ist.
Grüße
reverend
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> Hallo DieAcht,
>
> > Eine sehr schöne Grafik hast du da erstellen lassen
>
> Finde ich auch.
>
> > 2025 als ungerade Zahl so weit oben ist auch erstaunlich.
>
> Das finde ich wiederum gar nicht erstaunlich.
> [mm]2025=3^4*5^2.[/mm]
>
> Zahlen mit vielen Faktoren sind nun mal leichter
> darzustellen. Ich würde annehmen, dass in den nächsten
> Jahrzehnten [mm]2048=2^{11}[/mm] der absolute Spitzenreiter ist.
Moment mal ! Da muss ich Dich enttäuschen.
Als reine Zweierpotenz ist eben 2048 gar keine Zahl
mit besonders vielen Teilern. Es gibt nur exakt die
Teiler [mm] 2^k [/mm] mit $\ [mm] k\in\{0,1,2,3,\,.....\,, 11\,\}$ [/mm] , also 12 Stück.
Dagegen hat aber die Zahl 2016 und auch die Zahl
2100 dreimal so viele Teiler !
Auch 2040 hat immerhin 32 Teiler.
Übrigens kommt 2048 auch schon in meiner Grafik vor,
allerdings fast zu unterst, denn nur aus den Zahlen
1,2,3, ... ,9 eine hohe reine Zweierpotenz zu bilden,
geht jedenfalls nur mit Produkten gar nicht ...
LG , Al
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