zur merom. doppelt period. fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 20.06.2012 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | Sei [mm] \Lambda=\mathbb{Z}w_1+\mathbb{Z}w_2 [/mm] ein Gitter und p die zugehörige p-Funktion.
Sei f eine beliebige meromorphe Funktion auf [mm] \mathbb{C}, [/mm] die doppelt periodisch bezgl. des Gitters ist, deren Pole alle in [mm] \Lambda [/mm] liegen und für die gilt f(z)=f(-z)
Zeige, dass es ein Polynom [mm] g(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n [/mm] gibt, s.d. gilt f(z)=g(p(z))
Hinweis: Wenn f nicht konstant ist, dann hat f in 0 einen Pol. Versuche, die Polordnung von f zu verkleinern. |
Hallo
diese Aufgabe war schon längst abzugeben, die Lösung, wie wir sie bekommen haben, damit kann ich leider garnichts anfangen. Selber konnte ich die Aufgabe leider auch garnicht lösen =(. Mit p ist die Weierstraßsche p-Fkt. gemeint?
Kann mir jemand helfen und weiss, wie man die Aufgabe löst und wie man drauf kommt? Ich schreib mal in der Lösung Zwischenfragen an den Stellen, die ich nicht verstehe.
In der Lösung, wie wir sie bekommen haben, wurde Induktion gemacht (nach dem Hinweis). Ordnung [mm] Ord(f)_0\le [/mm] 0 (was heisst das, ordnung von f bei 0? )
Ind.anfang: [mm] Ord(f)_0=0 [/mm]
Dann ist f holomorph (wieso kann man das folgern?) , haben eine doppelt periodische Funktion, d.h. f ist konstant.
sei [mm] ord(f)_0=n [/mm] beliebig
Laurententwicklung von f hat nach Vor. nur grade Terme, also [mm] f=a_{-2m}z^{-2m}+...., [/mm] also [mm] h=f-a_{-2m}p^n [/mm] hat [mm] ord_0
Ich erkenne schon, dass hier nach dem Hinweis geganngen wurde. Aber ich kriege den Hinweis nicht mit der Aufgabe zusammen, auch jetzt, wo ich die Lösung habe.
Wäre sehr dankbar über Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Do 21.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]\Lambda=\mathbb{Z}w_1+\mathbb{Z}w_2[/mm] ein Gitter und p
> die zugehörige p-Funktion.
> Sei f eine beliebige meromorphe Funktion auf [mm]\mathbb{C},[/mm]
> die doppelt periodisch bezgl. des Gitters ist, deren Pole
> alle in [mm]\Lambda[/mm] liegen und für die gilt f(z)=f(-z)
> Zeige, dass es ein Polynom [mm]g(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n[/mm] gibt,
> s.d. gilt f(z)=g(p(z))
> Hinweis: Wenn f nicht konstant ist, dann hat f in 0 einen
> Pol. Versuche, die Polordnung von f zu verkleinern.
> Hallo
> diese Aufgabe war schon längst abzugeben, die Lösung,
> wie wir sie bekommen haben, damit kann ich leider garnichts
> anfangen. Selber konnte ich die Aufgabe leider auch
> garnicht lösen =(. Mit p ist die Weierstraßsche p-Fkt.
> gemeint?
Ja.
> Kann mir jemand helfen und weiss, wie man die Aufgabe
> löst und wie man drauf kommt? Ich schreib mal in der
> Lösung Zwischenfragen an den Stellen, die ich nicht
> verstehe.
> In der Lösung, wie wir sie bekommen haben, wurde
> Induktion gemacht (nach dem Hinweis). Ordnung [mm]Ord(f)_0\le[/mm] 0
> (was heisst das, ordnung von f bei 0? )
> Ind.anfang: [mm]Ord(f)_0=0[/mm]
> Dann ist f holomorph (wieso kann man das folgern?) , haben
> eine doppelt periodische Funktion, d.h. f ist konstant.
Alle Pole von f liegen auf dem Gitter. Ist 0 kein Pol, so ist kein Gitterpunkt ein Pol. Also ist f holomorph, beschränkt und damit konstant.
> sei [mm]ord(f)_0=n[/mm] beliebig
> Laurententwicklung von f hat nach Vor. nur grade Terme,
> also [mm]f=a_{-2m}z^{-2m}+....,[/mm] also [mm]h=f-a_{-2m}p^n[/mm] hat
> [mm]ord_0
> Induktion ist h=g(p), g ein Polynom, [mm]f=g(p)+a_{2n}p^n.[/mm]
> (Beim letzten Satz kann ich auch nicht folgen)
Da f gerade ist, hat die Laurententwicklung nur Terme mit geraden Potenzen von z. Dann hat der Pol bei 0 auch eine gerade Ordnung 2m. Die [mm] $\wp$-Funktion [/mm] ist auch gerade, mit Polterm [mm] $\bruch{1}{z^2}$. [/mm] Daher hebt sich in
[mm]f-a_{-2m}\wp^{m}[/mm]
der Term [mm] $a_{-2m}z^{-2m}$ [/mm] heraus. Die Laurentreihe von [mm] $f-a_{-2m}p^n$ [/mm] beginnt also mit [mm] $z^{-2m+2}$. [/mm] Endliche Induktion über m ergibt das Ergebnis.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 21.06.2012 | | Autor: | drossel |
Oh man, danke. Ich habs jetzt Gott sei dank verstanden, danke!
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