zusammenhängend < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Sa 26.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe gelesen dass das intervall [0,1] zusammenhängend sein soll,dh.ja dass die leere menge und X selbst die einzigen teilmengen von X sind,die offen als auch abgeschlossen sind.jetzt verstehe ich nicht wieso die teilmenge [0,1] offen sein soll.ein intervall [a,b] ist doch nie offen oder??ich hoffe jemand kann man mir helfen.danke schon mal.
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo mini,
> hallo,
> ich habe gelesen dass das intervall [0,1] zusammenhängend
> sein soll,dh.ja dass die leere menge und X selbst die
> einzigen teilmengen von X sind,die offen als auch
> abgeschlossen sind.
ja, das ist richtig. Besser gefällt mir aber:
Ist $(V,T)$ ein topologischer Raum, so heißt $U [mm] \subseteq [/mm] V$ zusammenhängend, falls $U$ nicht unzusammenhängend ist. Dau definiert man den Begriff unzusammenhängend wie folgt:
$U [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt unzusammenhängend, wenn es zwei offene, nichtleere Mengen $A,B$ (d.h. $A,B [mm] \in [/mm] T [mm] \setminus\{\emptyset\}$) [/mm] so gibt, dass diese disjunkt sind (d.h. $A [mm] \cap B=\emptyset$) [/mm] und so, dass $U=A [mm] \cup [/mm] B$.
In Worten:
Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn sie sich nicht als eine Vereinigung zweier nichtleerer, offener, disjunkter Mengen schreiben läßt..
Allerdings ist Deine Aussage eine Charakterisierung der obigen, kann also genausogut als Definition hergenommen werden.
> jetzt verstehe ich nicht wieso die
> teilmenge [0,1] offen sein soll.ein intervall [a,b] ist
> doch nie offen oder??ich hoffe jemand kann man mir
> helfen.danke schon mal.
Nein, das, was Du behauptest, stimmt keineswegs. Das hängt doch wesentlich von dem zugrundeliegenden Raum aus. Betrachtest du den metrischen Raum $(X,d)$ mit [mm] $X=\IR$ [/mm] und $d: [mm] \IR \times \IR \to \IR$, [/mm] $d(x,y)=|x-y|$, so ist Deine Aussage absolut richtig.
Wenn Du aber z.B. $(X',d')$ mit $X':=[2,7]$ und [mm] $d':=d_{|[2,7] \times [2,7]}$ [/mm] hernimmst (d.h. $d': [2,7] [mm] \times [/mm] [2,7] [mm] \to \IR$, [/mm] $d'(x,y):=d(x,y)=|x-y|$), so ist in letztgenanntem Raum die Menge [mm] $[2,7]=\blue{X'}$ [/mm] sowohl offen als auch abgeschlossen.
Und die Offenheit sieht man per Definitionem der Offenheit so ein:
Ist [mm] $x_0 \in [/mm] [2,7]$ und ist [mm] $\varepsilon:=1 [/mm] > 0$, so gilt für [mm] $U_\varepsilon(x_0)=\{x \in \blue{X'}: d'(x,x_0) < \varepsilon=1\}$ [/mm] offensichtlich [mm] $U_\varepsilon(x) \subseteq \blue{X'}$.
[/mm]
Der Unterschied ist einfach so:
Wenn ich $[2,7]$ in dem metrischen Raum [mm] $(X,d)=(\IR,d)$ [/mm] betrachte, so ist in der Tat $[2,7]$ nicht offen, wohl aber abgeschlossen.
Betrachte ich $[2,7]$ in dem metrischen Raum $(X',d')=([2,7],d')$, so ist hier $[2,7]$ sowohl offen als auch abgeschlossen. Genauso ist in $(X',d')$ auch $[2,3)$ eine offene Menge, während $[2,3)$ im metrischen Raum [mm] $(\IR,d)$ [/mm] eine Menge ist, die weder offen noch abgeschlossen ist.
Also:
Die Aussagen, dass Intervalle der Art $[a,b]$ mit $a [mm] \le [/mm] b$ immer abgeschlossen und nicht offen sind und ähnliches, stimmt so jedenfalls erstmal im meist vorliegenden Fall des metrischen Raumes [mm] $(\IR,d)$, [/mm] wobei $d$ die "gewöhnliche vom Betrag herkommende Metrik ist", also die oben definierte. Ändert man die "Grundmenge" [mm] $\IR$ [/mm] dort ab und schränkt die Metrik auf diese abgeänderte Menge ein, so stimmt das nicht mehr.
Allerdings:
Wenn Du oben $(X',d')=([2,7],d')$ betrachtest, so kannst Du dann allerdings wieder sagen:
Ist $[a,b] [mm] \subset [/mm] [2,7]$ mit $a [mm] \not=2$ [/mm] oder $b [mm] \not=7$, [/mm] so ist $[a,b]$ im metrischen Raum $(X',d')=([2,7],d')$ abgeschlossen und nicht offen.
Fazit:
Schau' bitte genau in die Definitionen, dann wirst Du sehen, dass die Begriffe der Offenheit/Abgeschlossenheit eines metrischen Raumes wesentlich davon abhängig sind, welcher metrische Raum zugrundegelegt wird.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Sa 26.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel!
vielen dank für die umfangreiche hilfe.ich habe mich an ein paar aufgaben zu dem thema versucht.man hat:
a)M={x [mm] \in \IR^3:\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{\infty} [/mm] <4 & [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}\ge [/mm] 1} und soll entscheiden ob offen/abgeschlossen/weder noch-mengen sind. bei dieser dachte ich,dass M=[1,4[ sein müsste und somit keins von beiden ist.stimmt das?
b)M={ [mm] (x,y)\in \IR:x^2+y^4 \ge [/mm] x*y } ich dachte müsste [mm] :M=]-\infty,\infty[ [/mm] sein und damit abgeschlossen??da bin ich mir überhaupt nicht sicher.
c)M={ [mm] (x,y,z)\in \IR^3:x+y+z
also bei dieser, weiß ich überhaupt nicht weiter:(
danke und grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
> hallo marcel!
> vielen dank für die umfangreiche hilfe.ich habe mich an
> ein paar aufgaben zu dem thema versucht.man hat:
> [mm] a)$M=\{x \in \IR^3:\parallel x \parallel_{\infty} <4 \mbox{ und } \parallel x \parallel_{1}\ge 1\}$ [/mm] und soll entscheiden ob
> offen/abgeschlossen/weder noch-mengen sind. bei dieser
> dachte ich,dass M=[1,4[ sein müsste und somit keins von
> beiden ist.stimmt das?
ich verstehe gar nicht, wie Du zu dem Ergebnis kommst. Da steht doch:
[mm] $M=\{x \in \IR^3: ...\}$. [/mm] Wie soll denn dann $M=[1,4[$ gelten, wenn doch $M [mm] \subset \IR^3$ [/mm] ist?
Es ist die Frage, ob $M$ (in dem metrischen Raum [mm] $(\IR^3,d_{||.||_2})$ [/mm] mit [mm] $d_{||.||_2}: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR$, $d_{||.||_2}(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}$, [/mm] wobei [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$, $y=(y_1,y_2,y_3)$) [/mm] offen, abgeschlossen, ... ist.
Zudem:
$x [mm] \in [/mm] M$
[mm] $\gdw x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $||x||_\infty [/mm] < 4$ und [mm] $||x||_1 \ge [/mm] 1$
[mm] $\gdw$ $x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\} [/mm] < 4$ und [mm] $|x_1|+|x_2|+|x_3| \ge [/mm] 1$
Denke erstmal darüber nach.
Beispiele:
Ist $x=(-5,0,1) [mm] \in [/mm] M$? Nein, da hier schon [mm] $||x||_\infty=|-5|=5 \ge [/mm] 4$ und damit [mm] $||x||_\infty \not<4$.
[/mm]
Ist $x=(0,0,0) [mm] \in [/mm] M$? Nein, es ist zwar [mm] $||x||_\infty=0 [/mm] <4$, aber [mm] $||x||_1=|0|+|0|+|0|=0 [/mm] < 1$ und damit [mm] $||x||_1 \not\ge [/mm] 1$.
Ist $x=(1,-1,1) [mm] \in [/mm] M$? Ja, da sowohl [mm] $||x||_\infty=1 [/mm] < 4$ als auch [mm] $||x||_1=|1|+|-1|+|1|=3 \ge [/mm] 1$.
Also:
$M [mm] \subset \IR^3$ [/mm] wird durch die Eigenschaft charakterisiert:
$x [mm] \in [/mm] M$
[mm] $\gdw$ $x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] und es gelten beide folgenden Aussagen:
[mm] $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\} [/mm] < 4$ und [mm] $|x_1|+|x_2|+|x_3| \ge [/mm] 1$
b) kann auch nicht stimmen, Du schreibst da:
[mm] $M=\{(x,y) \in \IR...\}$. [/mm] Gemeint ist sicher $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] oder
[mm] $M=\{(x,y): x,y \in \IR....\}$
[/mm]
Dann ist $M [mm] \subset \IR^2$ [/mm] und somit macht hier auch die Aussage, dass [mm] $M=]-\infty,\infty[=\IR$ [/mm] wäre, keinen (wirklichen) Sinn...
Also:
Überlege Dir vll. erstmal, welcher metrische Raum jeweils zugrundeliegt und dann prüfe mit den Eigenschaften, die $M$ charakterisieren, ob $M$ dort offen, abgeschlossen etc... ist oder nicht...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 26.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel
danke!ja stimmt da war ich wohl etwas voreilig.also dein beispiel bei der 1.aufgabe,dass zb. (0,0,0) nicht in der menge enthalten ist weil zb. [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} \ge [/mm] 1 nicht erfüllt wird,verstehe ich.aber ich weiß immer noch nicht wie ich das jetzt verallgemeinern soll und wie man das intervall festlegen soll,wenn man das überhaupt machen muss??und bei der b)hattest du recht,es muss [mm] \IR^2 [/mm] heißen.da würde ja dann zb. x=(1,2) in der menge liegen oder (0,0) aber es gibt keine zahl aus [mm] \IR^2 [/mm] die in der menge nicht enthalten ist oder?da es ja ein positives polynom ist und somit immer größer als x*y ist.ist es damit offen??
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
> hallo marcel
>
> danke!ja stimmt da war ich wohl etwas voreilig.also dein
> beispiel bei der 1.aufgabe,dass zb. (0,0,0) nicht in der
> menge enthalten ist weil zb. [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{1} \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 1 nicht erfüllt wird,verstehe ich.aber ich weiß immer noch
> nicht wie ich das jetzt verallgemeinern soll und wie man
> das intervall festlegen soll,wenn man das überhaupt machen
> muss??
den Rest der Frage lasse ich mal weg, weil ich denke, dass Du Dir vll. erst mal das erste Beispiel klar machen solltest. Vielleicht verstehst Du dann ja, worum es hier eigentlich geht?!
Du musst Dir einfach überlegen:
Es war ja $M=\{x \in \IR^3: ||x||_\infty <4 \mbox{ und } ||x||_1 \ge 1\}$
(I) Ist $M$ in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ abgeschlossen? Wenn ich also irgendeine Folge $(x_n)_n$ aus $M$ hernehme, die in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ gegen ein $x \in \IR^3$ konvergiert, folgt dann stets auch, dass $x \in M$?
D.h.:
$x_n \in \IR^3$ mit $||x_n||_\infty < 4$ und $||x||_1 \ge 1$ für jedes $n \in \IN$ und so, dass (genau) ein $x \in \IR^3$ existiert mit $d_{||.||_2}(x_n,x) \to 0$, folgt dann auch schon $x \in M$? D.h. zu prüfen:
Gilt dann auch für das $x$, dass $||x||_\infty < 4$ und $||x||_1 \ge 1$?
Ich behaupte, dass $M$ nicht abgeschlossen ist. Betrachte dazu einfach mal die Folge $x_n=\vektor{0\\0\\4-\frac{1}{n}}^T$
(Ich schreibe sie nur deshalb nicht direkt als Zeilenvektor, weil ich denke, dass so klarer ist, wie die einzelnen "Komponentenfolgen" aussehen.)
Ich behaupte 3 Sachen:
1.) Für jedes $n \in \IN$ ist $x_n \in M$. Warum gilt das?
(Das bedeutet: $(x_n)_n$ ist eine Folge in $M$.)
2.) In $(\IR^3,d_{||.||_2})$ gilt:
$d_{||.||_2}(x_n,(0,0,4)) \to 0$, d.h. $x_n \to x=(0,0,4)$ (Warum gilt das?). Mit anderen Worten:
Die Folge $(x_n)_n$ konvergiert in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ gegen $x=(0,0,4) \in \IR^3$.
3.) Diese spezielle Folge $(x_n)_n$ von oben zeigt, dass $M$ nicht abgeschlossen in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ ist. Denn wäre $M$ abgeschlossen, so müsste eine jede Folge $(y_n)_n$ in $M$, die in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ gegen ein $y \in \IR^3$ konvergiert, erfüllen, dass $y \in M$. Die obige Folge der $x_n$ konvergiert aber in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ gegen $x=(0,0,4)$, und $(0,0,4) \notin M$, weil... ?
(II) Es ist noch die Frage, ob $M$ offen in $(\IR^3,d_{||.||_2})$ ist. D.h. es ist die Frage:
Wenn ich irgendein $x_0 \in M$ hernehme, also ein $x_0 \in \IR^3$ mit $||x_0||_\infty < 4$ und $||x||_1 \ge 1$, finde ich dann zu diesem $x_0$ ein $\varepsilon=\varepsilon_{x_0} > 0$ derart, dass gilt:
Für jedes $x \in \IR^3$ mit $d_{||.||_2}(x,x_0) < \varepsilon$ gilt, dass $x \in M$. D.h., zu prüfen ist dann, ob es zu dem $x_0$ ein $\varepsilon=\varepsilon_{x_0} > 0$ so gibt, dass jedes $x$ mit $d_{||.||_2}(x,x_0) < \varepsilon$ auch erfüllt:
$||x||_\infty < 4$ und $||x||_1 \ge 1$?
P.S.:
Erinnerung:
$d_{||.||_2}(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}$ mit $x=(x_1,x_2,x_3)$ und $y=(y_1,y_2,y_3)$.
Außerdem könnte Dir Bemerkung 8.17 hier helfen, um oben bei Teil (I) sofort einzusehen, dass $d_{||.||_2}(x_n,(0,0,4)) \to 0$ gilt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
P.P.S.:
Noch ein Tipp zu (II):
Betrachte speziell [mm] $x_0=(0,0,1)$. [/mm] Dann ist [mm] $x_0=(0,0,1) \in [/mm] M$, weil... ?
Nun lege ich für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ im [mm] $\IR^3$ [/mm] eine (offene) [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] bzgl. [mm] $d_{||.||_2}$ [/mm] um [mm] $x_0$. [/mm] Ich behaupte nun:
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt für [mm] $x_\varepsilon:=\vektor{0\\0\\1-\frac{\varepsilon}{2}}^T$:
[/mm]
[mm] $d_{||.||_2}(x_0,x_\varepsilon)=... [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] d.h. [mm] $x_\varepsilon$ [/mm] liegt im [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. [mm] $d_{||.||_2}$ [/mm] in der (offenen) [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] um [mm] $x_0$. [/mm] Gilt aber hier [mm] $x_\varepsilon \in [/mm] M$?
Weil wir für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ solch ein [mm] $x_\varepsilon$ [/mm] in der [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] finden:
Was haben wir damit gezeigt?
Gruß,
Marcel
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