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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:03 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Raum.
z.z:
[mm] f:X\to [/mm] {0,1} stetig und konstant , dann ist X zusammenhängend. |
Hallo,
ich habe mir bezüglich der Aufgabe viele Gedanken gemacht, komme aber nicht zur Lösung der Aufgabe.
Ich habe es mit indirektem Beweis versucht:
Sei X nicht zusammenhängend, dann gibt es eine echte Teilmenge T von X , die nichtleer , offen und abgeschlossen ist.
Nun könnte man versuchen zu zeigen, dass dann f nicht stetig oder nicht konstant sein muss.
Bevor ich das zu zeigen versuchte, habe ich mich gefragt, ob die Stetigkeit für so eine Art von Abbildungen definiert ist(bzw. bei uns in der Uni definiert wurde).
Ich weiß , dass für [mm] g:X\to [/mm] Y (für X,Y als metrische Räume) Steigkeit definiert ist.
Bei der Abbildung f ist X metrischer Raum.
Was ist mit {0,1} ? Ist es auch metrischer Raum?
Dann würde ich sagen: man kann {0,1} zu einem metrischen Raum machen, wenn man eine Metrik auf {0,1} einführt (z.B die triviale Metrik).
In den Voraussetzungen ist nicht gesagt, ob {0,1} ein metrischer Raum ist .
Im Prinzip kann man jede Menge als metrischen Raum betrachten , wenn man darauf eine triviale Metrik einführt.
Kann ich also o.B.d.A fordern, dass {0,1} metrischer Raum mit der trivialen Metrik ist?(wenn ja , warum ?).
Ich habe z.B einen Beweis gesehen(![[]](/images/popup.gif) Beweis, Seite 11 ganz unten), bei dem die Abbildungsvorschrift definiert wurde. Ich meine: f in der Aufgabenstellung ist allgemein gegeben (ohne explizite Vorschrift).
Villeicht kann man in dem Beweis die Vorschrift o.B.d.A wählen, aber ich weiß nicht warum.
Mir ist also der Beweis nicht ganz klar.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Sa 12.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Sei (X,d) metrischer Raum.
> z.z:
> [mm]f:X\to[/mm] {0,1} stetig und konstant , dann ist X
> zusammenhängend.
So scheint mir das keinen Sinn zu ergeben. Die Aufgabe sollte lauten:
X ist genau dann zusammenhängend, wenn jede Stetige Abbildung [mm] f:X\to\{0,1\} [/mm] konstant ist.
Dabei ist {0,1} mit der diskreten Topologie (die von einer trivialen Metrik erzeugt wird) versehen.
Zum Beweis: Ist X disjunkte Vereinigung zweier offener teilmengen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2, [/mm] so kann man f(x)=1 für [mm] x\in X_1 [/mm] und f(x)=0 für [mm] x\in X_0 [/mm] setzen.
Ist umgekehrt [mm] f:X\to\{0,1\} [/mm] stetig, so ist X disjunkte Vereinigung der offenen Teilmengen [mm] f^{-1}(\{0\}) [/mm] und [mm] f^{-1}(\{1\})
[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe mir bezüglich der Aufgabe viele Gedanken gemacht,
> komme aber nicht zur Lösung der Aufgabe.
>
> Ich habe es mit indirektem Beweis versucht:
> Sei X nicht zusammenhängend, dann gibt es eine echte
> Teilmenge T von X , die nichtleer , offen und abgeschlossen
> ist.
> Nun könnte man versuchen zu zeigen, dass dann f nicht
> stetig oder nicht konstant sein muss.
>
> Bevor ich das zu zeigen versuchte, habe ich mich gefragt,
> ob die Stetigkeit für so eine Art von Abbildungen
> definiert ist(bzw. bei uns in der Uni definiert wurde).
> Ich weiß , dass für [mm]g:X\to[/mm] Y (für X,Y als metrische
> Räume) Steigkeit definiert ist.
> Bei der Abbildung f ist X metrischer Raum.
> Was ist mit {0,1} ? Ist es auch metrischer Raum?
> Dann würde ich sagen: man kann {0,1} zu einem metrischen
> Raum machen, wenn man eine Metrik auf {0,1} einführt (z.B
> die triviale Metrik).
> In den Voraussetzungen ist nicht gesagt, ob {0,1} ein
> metrischer Raum ist .
> Im Prinzip kann man jede Menge als metrischen Raum
> betrachten , wenn man darauf eine triviale Metrik
> einführt.
> Kann ich also o.B.d.A fordern, dass {0,1} metrischer Raum
> mit der trivialen Metrik ist?(wenn ja , warum ?).
>
> Ich habe z.B einen Beweis
> gesehen(Beweis, Seite 11 ganz unten),
> bei dem die Abbildungsvorschrift definiert wurde. Ich
> meine: f in der Aufgabenstellung ist allgemein gegeben
> (ohne explizite Vorschrift).
> Villeicht kann man in dem Beweis die Vorschrift o.B.d.A
> wählen, aber ich weiß nicht warum.
>
> Mir ist also der Beweis nicht ganz klar.
>
>
> Gruss
> Igor
>
>
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 13.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
>
> die exakte Aufgabenstellung ist
> hier (CAE02.pdf Aufgabe H1 (a))
Und da steht ((i) <=> (iv)) das, was ich oben schon geschrieben habe, nur in einer anderen Sprache.
>
>
> Gruss
> Igor
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 13.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe nur die Implikation in eine Richtung gemeint. Damit habe ich nichts falsches geschrieben.
Bezüglich diskreter Topologie auf {0,1} steht nichts in der Aufgabenstellung (zumindest nicht explizit).
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in der Aufgabe soll man folgern, dass X unter den gegebenen Voraussetzungen immer zusammenhängend sein muss.
X ist zusammenhängend, wenn man [mm] X=U\cup [/mm] V , [mm] U\cap V=\emptyset [/mm] niemals so schreiben kann , dass U,V offen und nichtleer sind.
Im Beweis (siehe Link) wird erstmal X in zwei beliebige disjunkte Mengen zerlegt. Das kann man immer mit einer Menge machen. Nun ist zu zeigen, dass U,V niemals beide offen oder niemals beide nichtleer sein dürfen.
Weiter im Beweis wird [mm] X=f^{-1}({0})\cup f^{-1}({1}) [/mm] in zwei disjunkte Mengen zerlegt. Dabei wurde [mm] U=f^{-1}({0}) [/mm] und [mm] V=f^{-1}({1})gesetzt.
[/mm]
Das ist aber nur eine Möglichkeit V und U mit [mm] X=U\cup [/mm] V zu wählern. Was ist , wenn U und V ungleich den Urbildern ist?
Ich habe mir das folgendermassen anschaulich vorgestellt:
Ich habe für X auf Blatt Papier ein Quadrat gezeichnet, diesen waagerecht in zwei Hälfte aufgeteilt: die obere Hälfte sei [mm] f^{-1}({0}) [/mm] und die untere Hälfte [mm] f^{-1}({1}). [/mm] Man kann aber das Quadrat auch senkrecht in zwei Hälften aufteilen . Sei linke Hälfte U und die rechte Hälfte V.
Dann ist die Frage, warum eine der beiden Mengen U und V nicht offen oder leer sein muss
Weiß das jemand?
Gruss
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Voraussetzung ist:
jede stetige Funktion f:X [mm] \to [/mm] {0,1} ist konstant.
Zeigen sollst Du : X ist zusammenhängeng.
Sei d(a,b) :=|a-b| die übliche Metrik auf [mm] \IR [/mm] . Schränkst Du diese Metrik ein auf {0,1}, so ist {0,1} ein metrischer Raum.
Mache Dir klar, dass dann gilt:
(*) { 0 } und { 1 } sind offen in {0,1}.
So, jetzt nehmen wir uns eine Teilmenge A von X her, die offen und abgeschlossen ist. Zeigen müssen wir: A = X oder A = [mm] \emptyset.
[/mm]
Annahme: A [mm] \ne [/mm] X und A [mm] \ne \emptyset. [/mm] Dann sind A und B:=X \ A nichtleere und offene Mengen mit:
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] und A [mm] \cup [/mm] B=X.
Definiere f:X [mm] \to [/mm] {0,1} durch:
f(x)=1, falls x [mm] \in [/mm] A und f(x)=0 , falls x [mm] \in [/mm] B.
Mit (*) zeige: f ist stetig.
Nach Vor. ist f konstant.
Fall 1: f=1 auf X. Dann ist [mm] B=\emptyset, [/mm] Widerspruch !
Fall 2: f=0 auf X. Dann ist [mm] A=\emptyset, [/mm] Widerspruch !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo fred97,
vielen Dank für die klare Antwort !
Dein Beweis ist mir viel viel klarer als der Beweis vom Link.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mo 14.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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