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| Aufgabe | Wir versehen die Menge
[mm] $X:=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2|0
Hinweis: Beweisen Sie zunächst: Ist [mm] $Y\subset\mathbb{R}^2 [/mm] zusammenhängend, so ist auch [mm] $\overline{Y}$ [/mm] zusammenhängend. |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme mit dieser Aufgabe, habe ein paar Hinweise erhalten, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter...
Tipp:
Man zeige:
1. [mm] $X=\overline{\{(x,sin(\frac{1}{x}))|x\in(0,1)\}}=:\overline{Y}$, [/mm] d.h. $X$ ist der Abschluss des Graphen der Funktion [mm] $(0,1)\ni [/mm] x [mm] \mapsto \sin(\frac{1}{x})$
[/mm]
2. $Y$ ist wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend
3. Der Abschluss einer zusammenhängenden Menge ist zusammenhänmgend.
Damit ist auch $X$ zusammenhängend.
Um zu beweisen, dass $X$ nicht zusammenhängend ist, gebt zwei Punkte an, die sich durch keinen stetigen Weg verbinden lassen.
Zudem wurde auf den folgenden Satz hingewiesen:
Sei $X$ ein topologischer Raum und [mm] $A\subset [/mm] X$ zusammenhängend.
Gilt $A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset \overline{A}$, [/mm] so ist auch B zusammenhängend.
Beweis:
Angenommen $B$ wäre nicht zusammenhängend. Dann gibt es zwei offene Mengen [mm] $O_1$ [/mm] und [mm] $O_2$ [/mm] in $X$ mit [mm] $(B\cap O_1)\cup (B\cap O_2)=B,(B\cap O_1)\cap (B\cap O_2)=\emptyset$ [/mm] und [mm] $B\cap O_i \neq \emptyset$ [/mm] für $i=1,2$. Es folgt, dass auch [mm] $(A\cap O_1)\cup (A\cap O_2)=A$ [/mm] und [mm] $(A\cap O_1)\cap (A\cap O_2)= \emptyset$ [/mm] gelten. Wähle nun Punkte [mm] $b_i\in B\cap O_i$ [/mm] für $i=1,2$. Es gilt [mm] $b_i\in\overline{A}$. [/mm] Somit gilt für jede offene Menge [mm] $O_i \cap [/mm] An [mm] \neq \emptyset$. [/mm] Mit Hilfe der beiden offenen Mengen [mm] $O_i$ [/mm] und [mm] $O_2$ [/mm] könnte man also zeogen, dass $A$ nicht zusammenhängend ist. Widerspruch! [mm] $\Box$
[/mm]
Aber irgendwie weiß ich noch nicht richtig, wie oder wo ich das alles Anwenden soll.
Vielen Dank
Dudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 02.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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