zwei Kreiszylinder < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Die Achsen zweier Kreiszylinder (x^{2}+z^{2}=r^{2}, y^{2}+z^{2}=r^{2}) schneiden sich rechtwinklig. Gesucht ist das gemeinsame Volumen. Ermittle dazu den Funktionsterm Q(z) der Querschnittsfunktion. Beachte, dass die Querschnittsfläche jeweils ein Quadrat ist. |
Ok,
das sieht dann so aus, wie wenn sich zwei Röhren schneiden. Wie sieht man als Querschnittsfläche je ein Quadrat? entweder ist es doch ein Kreis, von vorne betrachtet, oder aber Rechtecke, von der Seite betrachtet, aber nie ein Quadrat?
Fürs Quadrat gilt ja: $A=b*h$
Also für eine Röhre (deren Mittelachse die x Achse ist) gilt dann
$y \cdot z = \sqrt{r^{2}-z^{2}^{2}$
bringt mich leider überhaupt nicht weiter der Ansatz!
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Di 27.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es war nicht von Schnittfläche, sondern von Querschnittsfläche die Rede.
vielleicht siehst dus hier. (wenn du zufällig ne rot grün Brille hast siehst dus auch stereo )
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit 3D-Xplormath hergestellt
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Danke für die Skizze!
dann brauch ich nur einen Minizylinder auszurechnen, den [mm] $\cdot [/mm] 4 $ plus die Querschnittsfläche integriert von -r bis r ?
Die Quadratfläche ist dann ja doch gegeben durch x*y= [mm] \sqrt{r^{2}-z^{2}}^{2}= r^{2}\cdot z^{2}...
[/mm]
Doch wie ermittle ich den MinizylindeR?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok, ich weiss den Weg, ich rechne eine Tube zweimal und ziehe dann einmal das Quaderstück weg.
das Problem ergibt sich jetzt aber schon bei einer Tube:
[mm] $\pi\cdot\integral_{0}^{\sqrt{r^{2}-z^{2}}}{\pi\cdot r^{2}} \cdot \sqrt{r^{2}-z^{2}}$
[/mm]
Jetzt substituiere ich: z=rsin(u)
Bin ich damit auf dem richtigen Weg?
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok sehe gerade dass ich gerade ein bisschen durchgedreht bin, der richtige Weg lautet:
für die Quadratfläche: [mm] \integral_{0}^{2r}{r^{2}-z^{2}dz} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}r^{3} [/mm]
dann eine Tube:
[mm] $\integral_{-\sqrt{r^{2}-z^{2}}}^{+\sqrt{r^{2}-z^{2}}}\pi r^{2} [/mm] dz$
stimmen meine Grenzen jetzt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok nein, die Grenzen für die Tube stimmen doch nicht...
aber das Integral muss ja stimmen [mm] \integral_{?}^{?}{\pi r^{2} dx}
[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 27.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgedwie stellst du dir das falsch vor. Du hast lauter Quadratische Querschnitte, die in der Mitte R und nach "oben" immer kleiner werden, wobei die sitenMitten auf nem Halbkreis liegen (für das halbe Ding natürlich. kennst du die Kreuzgewölbe von romanischen Kirchen, da stehst du unter so was, siehst es also bon innen.
Ein Quadrat hat nichts mit [mm] \pi [/mm] zu tun. seine Fläche ist [mm] (2R)^2 [/mm] das grösste. Es riecht aber ja, wenn du 1/4 des Volumens ausrechnest.
Gruss leduart
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Ich sehe es einfach nicht...
Aber wieso kann ich nicht einfach eine Tube ganz rechnen und dann mal zwei und schliesslich die Mittelfläche abziehen????
Danke trotzdem...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 28.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Di 27.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi Leduart,
Sorry, ich hab geschrieben es sei der Plot von Loddar...
Kann die Namen nicht so ausernanderhalten, Loddar und Leduart, das sind für mich einfach so Fabelwesen; ).
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 27.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Hm ich weiss auch nicht genau, aber ich sehe es so:
Betrachtet man es von oben, also von der Perspektive wo man ein Quadrat sieht, sieht man ja so vier "Kuchen"ähnliche Dinger.
Jetzt von oben sind das ja Dreiecke. Ich integriere also verschieden grosse Dreiecke nach dz (von -r bis r auf der z-Achse). Die Fläche der Dreiecke muss man jetzt in z ausdrücken.
-> weil x = y für die Schnittlinie gilt und y = [mm] (r^{2} [/mm] - [mm] z^{2})^{1/2} [/mm] erhält man so einen Punkt auf der Schnittlinie: P = [mm] \vektor{(r^{2} - z^{2})^{1/2} \\ (r^{2} - z^{2})^{1/2} \\ z}
[/mm]
Weil die Fläche vom Dreieck A = g*h/2 ist, gibt die Fläche dieses Dreiecks:
[mm] \bruch{(r^{2} - z^{2})^{1/2}* (r^{2} - z^{2})^{1/2}*2 }{2} [/mm] = [mm] (r^{2} [/mm] - [mm] z^{2})
[/mm]
So nun muss das Dreieck von von -r bis r integriert werden. Dieses Volumen noch mal 4 und fertig. Das wäre meine Lösung. Bin nicht sicher.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 27.04.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
deine Lösung scheint zu stimmen! [mm] \frac{16}{3}r^{3}
[/mm]
Aber ich sehe weder die Kuchen noch die Dreiecke die du meinst ..... Meinst du die 4 Stücke die aussehen wie Bleistiftspitze???
Danke trotzdem
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 27.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja, diese Stücke halt. Vielleicht Bleisstiftspitze. Einfach diese Vier stücke, die durch das Kreuz geteilt werden, (resp. wenn du die 3D Visualisierung von Loddar betrachtest, wird das Quadrat ja durch ein "X" geteilt).
Jetzt schau dir die Dreiecke an, die Parallel du der x-y-Ebene sind. Die x-y-Ebene auf der Zeichung von Loddar ist für mich die, auf die man von oben draufsieht.
Das sind Dreiecke! - Zeichne es dir mal von ner mehr seitlichen Perspektive.
Gruss
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