zwei Unterräume von K^M < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Di 10.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Es sei [mm]M[/mm] eine Menge [mm]N\subset M[/mm] und [mm]\IK[/mm] ein Körper.
Zu zeigen:
Dann bilden im Vektorraum [mm]\IK^{M}[/mm] aller Funktionen [mm]M\to\IK[/mm] jene Funktionen, die allen Elementen von [mm]N[/mm] das Element [mm]0\in\IK[/mm] zuordnen, einen Unterraum [mm]U_{1}[/mm]. Weiters bilden jene Funktionen, die fast allen Elementen von [mm]N[/mm] das Element [mm]0\in\IK[/mm] zuordnen einen Unterraum [mm]U_{2}[/mm].
Dabei gilt [mm]U_{1}\subset U_{2}[/mm]. |
Hallo,
irgendwie komm ich bei dem Beispiel nicht weiter.
[mm]U_{1}[/mm] ist ein trivialer Unterraum von [mm]\IK^{M}[/mm], da alle Elemente aus N auf Null abgebildet werden und somit nur der Nullvektor enthalten ist.
Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass [mm]U_{2}[/mm] ein Unterraum ist.
Da [mm]U_{2}\subset\IK^{M}[/mm] und [mm]U_{2}\not=\{\}[/mm], weil zumindest der Nullvektor enthalten, stimmt die Hülle von [mm]U_{2}[/mm] mit der Menge aller Linearkombinationen überein.
[mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}*x_{i}|\exists x_{i}\not=0[/mm].
Heißt das nicht, dass [mm]U_{2}[/mm] die Menge aller Funktionen, die zumindest einem Element aus N nicht den Wert 0 zuordnen?
Doch was fange ich damit an?
Somit wäre [mm]U_{1}\subset U_{2}[/mm] weil ersteres nur und zweiteres auch den Nullvektor enthalten. Doch ist [mm]U_{2}[/mm] eine Untermenge?
Nachdem ich jetzt schon ewig an dem Beispiel sitze und mich nur immer weiter verwirre, weiß ich gar nicht mehr, ob auch nur der Ansatz stimmt.
Kann mir wer bei diesem Beispiel helfen?
Lg,
Daniel
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite/Forum im Internet gestellt.
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> Es sei [mm]M[/mm] eine Menge [mm]N\subset M[/mm] und [mm]\IK[/mm] ein Körper.
> Zu zeigen:
> Dann bilden im Vektorraum [mm]\IK^{M}[/mm] aller Funktionen [mm]M\to\IK[/mm]
> jene Funktionen, die allen Elementen von [mm]N[/mm] das Element
> [mm]0\in\IK[/mm] zuordnen, einen Unterraum [mm]U_{1}[/mm]. Weiters bilden
> jene Funktionen, die fast allen Elementen von [mm]N[/mm] das Element
> [mm]0\in\IK[/mm] zuordnen einen Unterraum [mm]U_{2}[/mm].
> Dabei gilt [mm]U_{1}\subset U_{2}[/mm].
> Hallo,
>
> irgendwie komm ich bei dem Beispiel nicht weiter.
> [mm]U_{1}[/mm] ist ein trivialer Unterraum von [mm]\IK^{M}[/mm], da alle
> Elemente aus N auf Null abgebildet werden und somit nur der
> Nullvektor enthalten ist.
Hallo,
oh nein, in [mm] U_1 [/mm] ist nicht nur der Nullvektor (als0 f=0).
In [mm] U_1 [/mm] sind die Funktionen, die aus der Menge M in den K abbilden, und für welche die Funktionswerte [mm] f(N)=\{0\} [/mm] ist.
Außerhalb von N können alle möglichen Funktionswerte angenommen werden.
Für Unterraum mußt Du nun die Unterraumkriterien nachweisen.
[mm] U_1 [/mm] ist nichtleer
[mm] f,g\in U_1 [/mm] ==> [mm] f+g\in U_1
[/mm]
[mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] f\in U_1 [/mm] ==> [mm] \lambda f\in U_1.
[/mm]
> Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass [mm]U_{2}[/mm] ein
> Unterraum ist.
> damit an?
Wir müssen erstmal schauen, was in [mm] U_2 [/mm] drin ist.
Da steht
"Weiters bilden
jene Funktionen, die fast allen Elementen von [mm]N[/mm] das Element
[mm]0\in\IK[/mm] zuordnen einen Unterraum [mm]U_{2}[/mm]. "
Was bedeutet das? Außerhalb von N können die Funktionen aus [mm] U_2 [/mm] irgendwie aussehen.
Über N sind fast alle Funktionswerte =0.
das bedeutet: in [mm] U_2 [/mm] sind die Funktionen, die über N nur an endlich vielen Stellen von 0 verschiedene Funktionswerte haben.
Daß [mm] U_1\subseteq U_2 [/mm] ist nun kein Wunder mehr...
Die Unterraumeigenschaft mußt Du wieder mit den drei Unterraumkriterien nachweisen.
Wie merkst Du eigentlich, ob für [mm] f,g\in U_2 [/mm] auch [mm] f+g\in U_2? [/mm] So: Du mußt gucken, ob es auf N nur endlich viele Stellen gibt, deren Funktionswerte [mm] \not=0 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
>
> Somit wäre [mm]U_{1}\subset U_{2}[/mm] weil ersteres nur und
> zweiteres auch den Nullvektor enthalten. Doch ist [mm]U_{2}[/mm]
> eine Untermenge?
>
> Nachdem ich jetzt schon ewig an dem Beispiel sitze und mich
> nur immer weiter verwirre, weiß ich gar nicht mehr, ob
> auch nur der Ansatz stimmt.
>
> Kann mir wer bei diesem Beispiel helfen?
>
> Lg,
> Daniel
>
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite/Forum im
> Internet gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 10.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
Danke erstmal für die Antwort.
> oh nein, in [mm]U_1[/mm] ist nicht nur der Nullvektor (als0 f=0).
>
> In [mm]U_1[/mm] sind die Funktionen, die aus der Menge M in den K
> abbilden, und für welche die Funktionswerte [mm]f(N)=\{0\}[/mm]
> ist.
>
> Außerhalb von N können alle möglichen Funktionswerte
> angenommen werden.
>
> Für Unterraum mußt Du nun die Unterraumkriterien
> nachweisen.
>
> [mm]U_1[/mm] ist nichtleer
es gibt zwei Möglichkeiten:
entweder [mm]N=M[/mm], dann ist [mm]U_1=\{0\}[/mm]
oder [mm]N\not=M[/mm], dann ist wieder der Nullvektor enthalten und alle Abbildungen [mm]M'\to \IK[/mm], wobei [mm]M'=M\backslash N[/mm], also auch nicht leer
> [mm]f,g\in U_1[/mm] ==> [mm]f+g\in U_1[/mm]
da gibt es drei Möglichkeiten:
entweder man addiert zwei Funktionen über N miteinander:
[mm]f(N)+g(N)=\{0\}\in U_1[/mm]
oder eine Funktion über N mit einer über M':
[mm]f(M')+g(N)=f(M')+\{0\}=f(M')\in U_1[/mm]
oder zwei Funktionen über M':
[mm]f(M')+g(M')=?[/mm], woher weiß ich, dass diese Summe wieder in [mm]U_1[/mm] liegt?
Weil die Summe [mm] f(m_1)+g(m_2) = h(m_3)[/mm] wobei [mm] m_1, m_2 \in M' und m_3\in N[/mm] liegt zwar in [mm]\IK^M[/mm] aber nicht in [mm]U_1[/mm] oder?
Weil die Abbildung [mm]h(m_3)[/mm] ordnet [mm]m_3\in N[/mm] {0} zu, aber [mm] f(m_1)+g(m_2)[/mm] müssen nicht zwangsläufig den Nullvektor ergeben?
Oder denke ich da falsch?
>[mm]\lambda \in[/mm] K, [mm]f\in U_1[/mm] ==>
> [mm]\lambda f\in U_1.[/mm]
Hier habe ich dasselbe Problem: Weiß ich, dass M' bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist?
Weil wenn es kein [mm] f(M') = \lambda * g(M') [/mm] gibt, erhalte ich wieder [mm] \{0\} = \lambda * g(M') [/mm].
> Wie merkst Du eigentlich, ob für [mm]f,g\in U_2[/mm] auch [mm]f+g\in U_2?[/mm]
> So: Du mußt gucken, ob es auf N nur endlich viele Stellen
> gibt, deren Funktionswerte [mm]\not=0[/mm] sind.
Ich verstehe leider nicht was ich genau zu tun habe... Wie soll ich verfahren, dass ich weiß, dass es auf N nur endlich viele Stellen mit Funktionswerten ungleich Null gibt?
Grüße,
Daniel
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> Danke erstmal für die Antwort.
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> > oh nein, in [mm]U_1[/mm] ist nicht nur der Nullvektor (als0 f=0).
> >
> > In [mm]U_1[/mm] sind die Funktionen, die aus der Menge M in den K
> > abbilden, und für welche die Funktionswerte [mm]f(N)=\{0\}[/mm]
> > ist.
> >
> > Außerhalb von N können alle möglichen Funktionswerte
> > angenommen werden.
> >
> > Für Unterraum mußt Du nun die Unterraumkriterien
> > nachweisen.
> >
> > [mm]U_1[/mm] ist nichtleer
>
> es gibt zwei Möglichkeiten:
> entweder [mm]N=M[/mm], dann ist [mm]U_1=\{0\}[/mm]
> oder [mm]N\not=M[/mm], dann ist wieder der Nullvektor enthalten
> und alle Abbildungen [mm]M'\to \IK[/mm], wobei [mm]M'=M\backslash N[/mm],
> also auch nicht leer
Hallo,
Du formulierst hier zu kompliziert, die Tatsache als solche stimmt.
Die Nullfunktion n: [mm] M\to [/mm] K mit n(x):=0
ist in [mm] U_1 [/mm] enthalten, denn für alle [mm] x\in [/mm] N ist f(x)=0.
> > [mm]f,g\in U_1[/mm] ==> [mm]f+g\in U_1[/mm]
>
> da gibt es drei Möglichkeiten:
>
> entweder man addiert zwei Funktionen über N miteinander:
> [mm]f(N)+g(N)=\{0\}\in U_1[/mm]
Oh weh.
Du addierst hier Mengen. f(N) ist eine Menge, und g(N) auch, und die Addition von Mengen bzw. von Bildern von Mengen wurde doch gar nicht definiert.
Deine Funktionen haben alle den Definitionsbereich M. Es gibt hier keine Unterschiede.
Zu zeigen: [mm] f,g\in U_1 [/mm] ==> [mm] f+g\in U_1.
[/mm]
Beweis: seien [mm] f,g\in U_1.
[/mm]
Dann ist f(x)=0 und g(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] N.
Nun wollen wir zeigen, daß auch [mm] f+g\in U_1.
[/mm]
Dazu müssen wir zeigen: (f+g)(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] N.
Sei also [mm] x\in [/mm] N.
Es ist (f+g)(x)=f(x)+g(x) [mm] \qquad [/mm] nach Definition der Addition von Funktionen
=0+0 [mm] \qquad [/mm] denn [mm] f,g\in U_1
[/mm]
=0 [mm] \qquad [/mm] (Rechnen in K)
>
> >[mm]\lambda \in[/mm] K, [mm]f\in U_1[/mm] ==>
> > [mm]\lambda f\in U_1.[/mm]
>
> Hier habe ich dasselbe Problem:
Und das kannst Du jetzt sehr ähnlich zu dem, was ich Dir vorgemacht habe, lösen.
> > Wie merkst Du eigentlich, ob für [mm]f,g\in U_2[/mm] auch [mm]f+g\in U_2?[/mm]
> > So: Du mußt gucken, ob es auf N nur endlich viele Stellen
> > gibt, deren Funktionswerte [mm]\not=0[/mm] sind.
>
> Ich verstehe leider nicht was ich genau zu tun habe... Wie
> soll ich verfahren, dass ich weiß, dass es auf N nur
> endlich viele Stellen mit Funktionswerten ungleich Null
> gibt?
Wir können das so schreiben:
[mm] f\in U_2 [/mm] <==>
[mm] f:M\to [/mm] K und es gibt ein [mm] n_f\in \IN [/mm] und [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_{n_f}\in [/mm] N mit
f(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] N \ [mm] \{a_1, ..., a_{n_f}\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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