zwei konvergente Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Di 08.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Frage:
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton wachsende Folge, sei [mm] (b_{n}) [/mm] eine monoton
fallende Folge und sei [mm] a_{n} \le b_{n}. [/mm] Man zeige, dass beide Folgen
konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen, falls [mm] (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm]
eine Nullfolge ist.
So. Wie geht man an solch eine Aufgabe heran? Ich muß doch hier Sätze
und Definitionen konvergenter Folgen nutzen. Ich fand folgende:
Monotonie:
1. monoton wachsend, falls [mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
2. monoton fallend, falls [mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
Satz: Jede beschränkte monotone Folge [mm] (a_{n}) [/mm] reeler Zahlen konvergiert.
Satz: Seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit
[mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für alle n. Dann gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}
[/mm]
Corollar: Seien A [mm] \le [/mm] B reelle Zahlen und [mm] (a_{n}) [/mm] eine konvergente Folge mit
A [mm] \le a_{n} \le [/mm] B für alle n. Dann gilt auch
A [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le [/mm] B
Mit diesen Werkzeugen müsste das doch gehen oder?
Mit dem was oben steht, steht doch eigentlich die
Lösung schon fast da. Aber wie schreibt man das auf?
Auch denke ich könnte es sein dass man wegen [mm] (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm]
Nullfolge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm]
benutzen kann. Aber wie?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Di 08.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Kohei!
Die Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend und wegen
[mm] $b_n \ge a_n \ge a_1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
durch [mm] $a_1$ [/mm] beschränkt. Daher konvergiert diese Folge.
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton steigend und wegen
[mm] $a_n \le b_n \le b_1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
durch [mm] $b_1$ [/mm] beschränkt. Daher konvergiert diese Folge.
Da weiterhin [mm] $(a_n-b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nach Voraussetzung eine Nullfolge ist, gilt mit Hilfe der Grenzwertsätze für folgen:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} (a_n-b_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \underbrace{\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-b_n)}_{=\, 0} [/mm] + [mm] \lim\limits_{n \to \infty} b_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} b_n$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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