zweidim lagrange interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Finden Sie ein Interpolationspolynom in der Form p(x) = a + bx + cy + dxy für die Stützwerte in den Eckpunkten eines Einheitsquadrats:
f(0, 0) = 1, f(1, 0) = 2, f(1, 1) = 3, f(0, 1) = 4.
Entwickeln Sie zu diesem Zweck eine zweidimensionale Lagrange-Interpolationsformel. |
Also habe ich die Stützpunkte & -werte:
f(0, 0) = 1, f(1, 0) = 2, f(1, 1) = 3, f(0, 1) = 4
Die 2-dimensionale Formel setzt sich aus dem Produkt der eindimensionalen zsm. also:
[mm] L_{i,j}(x,y)=L_i(x)*L_j(y)
[/mm]
Wenn ich das also dann ausschreibe bekommen ich:
[mm] L_{i,j}(x,y)=\produkt_{k=1, k\not= i}^{n} \bruch{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}*\produkt_{l=1, l\not= j}^{n} \bruch{(y-y_l)}{(y_j-y_l)}
[/mm]
und damit mein gesuchtes Interpolationspolynom:
[mm] p(x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} y_{i,j}*\produkt_{k=1, k\not= i}^{n} \bruch{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}*\produkt_{l=1, l\not= j}^{n} \bruch{(y-y_l)}{(y_j-y_l)}
[/mm]
Passt das soweit?
Ich stoße nämlich dann sofort beim einsetzen auf ein gravierendes Problem.
Bereits beim bilden von [mm] L_1(x) [/mm] erhalte ich:
[mm] L_1(x)=\bruch{(x-1)(x-1)(x-0)}{(0-1)(0-1)(0-0)}=\bruch{...}{0}
[/mm]
was ja bekannter maßen nicht sein kann/darf ....
Dieses Problem tritt bei allen [mm] L_i(x) [/mm] bzw. [mm] L_j(y) [/mm] auf.
Muss ich dann einfach den Term rauslassen? und wenn ja nach welchem schema allgemein?
Danke schonmal im vorraus
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:35 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hi,
Deine Lagrange-Formel ist nicht ganz richtig. Es fehlt noch der Funktionswert an der entspechenden Stelle.
[mm] L(x)=\summe_{i=1}^{n}f_i*\produkt_{k=1, k\not= i}^{n}\bruch{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}\cdot{}
[/mm]
Die Idee mit dem Multiplizieren der beiden eindim. L.-Funktionen klappt aus zwei Gründen nicht. 1. Wie du selbst gesehen hast, erhält man, wenn zwei Punkte den gleichen x- oder y-Wert haben, eine Division durch 0. 2. Würden die [mm] f_i [/mm] 's sich recht ungünstig mitmultiplizieren.
Du musst die [mm] (x-x_i) [/mm] als Abstand auffassen. Dann läßt sich die Formel ins mehrdimensionale übertragen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Danke erstmal :)
Das bedeuted dann also dass ich habe:
[mm] P(x)=\summe_{i=1}^{n}f_i\cdot{}\produkt_{k=1, k\not= i}^{n}\bruch{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}\cdot{} \produkt_{l=1, l\not= i}^{n}\bruch{(y-y_l)}{(y_i-y_l)}
[/mm]
aber welche [mm] (x-x_i) [/mm] meinst du? und der abstand von? zu?
Habe ich dadurch nicht so gut wie das gleiche wie oben?
vllt könntest du mir ein bsp. geben.
Bei uns auf dem Aufgabenzettel steht vermerkt:
"Beachten Sie, dass ein mehrdimensionales Lagrange-Interpolationspolynom
mit den äquidistanten Stützstellen das Produkt der eindimensionalen Lagrange-Interpolationspolynome darstellt, d.h. Lij(x, y) = Li(x)Lj(y)."
und äquidistant sind die Stützstellen ja. oder?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:53 So 06.01.2008 | | Autor: | Zneques |
ah, ok, wenn das extra auf dem Zettel steht, dann sollten wir das auch so machen :)
Das heißt es müssen diese 0-0 aus dem Nenner verschwinden.
Es geht recht einfach. Man kann sie tatsächlich einfach rauslassen. In dem Produkt brauchen die doppelten [mm] x_i [/mm] 's bzw. [mm] y_i [/mm] 's nur einmal vorkommen, um die nicht benötigten Summanden auf null zu setzen. Somit :
[mm] P(x)=\summe_{P^i}^{}f_i\cdot{}(\produkt_{k=1, P^i_x\not= x_k}^{n_x}\bruch{(x-x_k)}{(P^i_x-x_k)}\cdot{} \produkt_{l=1, P^i_y\not= y_k}^{n_y}\bruch{(y-y_l)}{(P^i_y-y_l)})
[/mm]
wobei [mm] P^i [/mm] die Punkte, [mm] n_x [/mm] und [mm] n_y [/mm] die Anzahl verschiedener x bzw. y.
Ciao.
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