zweielementiger-Körper-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Guten Abend,
Ich habe mal wieder ein Problem bei einem Mathezettel:
Seien [mm]K = F_2 = \{ 0,1 \}[/mm] der Körper mit zwei Elementen und [mm]M[/mm] eine Menge.
Zeige:
a) [mm]P(M) := \{ T | T \subseteq M \}[/mm] ist bzgl. der symmetrischen Differenz
[mm]S + T := (S \cup T) \setminus (S \cap T)[/mm]
und der einzig möglichen Sklarmultiplikation ein K-Vektorraum.
b)[mm]B := \{ \{ x \} | x \in M \} \subseteq P(M)[/mm] ist linear unabhängig.
c)[mm]B[/mm] ist genau dann Erzeugendensystem, wenn [mm]M[/mm] endlich ist.
Bei a) weiß ich nicht genau, was ich alles zeigen muss. Reicht es zu zeigen, dass es ein neutrales bzw. inverses Element gibt und dass [mm]a*(b+c)=a*b+a*c[/mm]???
Bei b) habe ich das Problem, dass ich denke ein Gegenbeispiel gefunden zu haben:
[mm]M = \{1,2,3\}[/mm], dann ist [mm]B = \{ \{1\},\{2\},\{3\}\}[/mm] doch nicht lin. unabh., weil doch [mm]1+2=3[/mm]???
Bei c) finde ich gar keinen Ansatz.
Vielen Dank
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Mo 14.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi
hier mal ein paar tipps zu den aufgaben.
bei a) musst du einfach die vektorraum axiome nacheinander verifizieren. also zeigen, dass die potenzmenge [m] \mathcal{P}(M) [/m] mit der symmetrischen differenz als addition eine abelsche (also kommutative) gruppe ist. also wie du schon erwähnt hast: neutrales element, inverses element, kommutativität und assoziativität. und dann noch die 4 weiteren vektorraum axiome:
[m] \forall \, \alpha, \beta \in K_2 \; \forall x \in \mathcal{P}(M): (\alpha \cdot \beta) * x = \alpha * (\beta * x) \\
\forall \, x \in \mathcal{P}(M): 1 * x = x \\
\forall \, \alpha, \beta \in K_2 \; \forall x \in \mathcal{P}(M): (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x \\
\forall \, \alpha \in K_2 \; \forall \, x, y \in \mathcal{P}(M) : \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y [/m],
wobei die addition jeweils richtig interpretiert werden muss (also als addition in [m] K_2 [/m] oder als addition von zwei vektoren, sprich der bildung der symmetrischen differenz von zwei mengen - die interpretation ist aber natürlich immer eindeutig). im prinzip ist das nur recht viel schreibarbeit (du solltest dir aber natürlich erstmal überlegn, wie du die multiplikation mit skalaren definierst).
mal als beispiel das neutrale elment bezüglich der symmetrischen differenz:
betrachte [m] A \in \mathcal{P}(M) [/m] beliebig, dann gilt: [m] A + \emptyset = (A \cup \emptyset) \setminus (A \cap \emptyset) = A \setminus \emptyset = A [/m], also ist [m] A + \emptyset = A [/m] und somit [m] \emptyset [/m] das neutrale element der gruppe.
zu b): du musst beachten, dass du hier die addition im vektorraum betrachtest, also die bildung der symmetrischen differenz und deine vektoren sind mengen.
betrachtet man dein beispiel mit [m] M = \{1, 2, 3 \} [/m], dann erhält man für deine rechnung:
[m] \{1 \} + \{ 2 \} = ( \{1 \} \cup \{ 2 \} ) \setminus ( \{1 \} \cap \{ 2 \} ) = \{1, 2 \} \setminus \emptyset = \{1, 2 \} \ne \emptyset [/m],. also ist dies keine darstellung des neutralen elements der addition.
c): hier musst du zeigen, dass du jede mege der potenzmege als endliche linearkombination von megnen aus [m] B [/m] darstellen kannst (im fall, dass [m] M [/m] endlich ist), bzw. eben gerade nicht (im fall, das [m] M [/m] nicht endlich ist).
schau mal, ob du damit weiterkommst
andreas
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