zyklische Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | gegeben sei das vollständige Restsystem Z/6Z
a) beweisen sie, dass G = (Z/6Z, +) eine zyklische Gruppe ist
b) bestimmen sie 2 weitere Gruppen [mm] G_1 [/mm] bzw. [mm] G_2 [/mm] die zu G isomorph bzw. nicht isomorph sind |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
inwieweit kann ich bei a sowas beweisen, was muss ich da tun? zeigen das es sich um eine abelsche Gruppe handelt? oder wie? reicht das?
bei b) sind damit Untergruppen von G gemeint?
|
|
| |
|
> gegeben sei das vollständige Restsystem Z/6Z
>
> a) beweisen sie, dass G = (Z/6Z, +) eine zyklische Gruppe
> ist
> b) bestimmen sie 2 weitere Gruppen [mm]G_1[/mm] bzw. [mm]G_2[/mm] die zu G
> isomorph bzw. nicht isomorph sind
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> inwieweit kann ich bei a sowas beweisen, was muss ich da
> tun? zeigen das es sich um eine abelsche Gruppe handelt?
> oder wie? reicht das?
Hallo,
was ist denn eine zyklische Gruppe?
Wie ist das definiert?
Daraus ergibt sich, was zu tun ist.
> bei b) sind damit Untergruppen von G gemeint?
Nein. Du sollst zwei weitere Gruppen (ich denke mal: der Ordnung 6) angeben, von denen die eine isomorph ist zu G, und die andere nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:05 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
ich habe mir mal in wikipedia durchgelesen was eine zyklische Gruppe ist, aber ich kann das irgendwie nicht auf die aufgabe übertragen, dass ist leider mein problem...
ich steh kurz vor ner prüfung und habe absolut keine ahnung... krieg langsam muffensausen...
|
|
|
| |
|
> ich habe mir mal in wikipedia durchgelesen was eine
> zyklische Gruppe ist, aber ich kann das irgendwie nicht auf
> die aufgabe übertragen, dass ist leider mein problem...
Hallo,
damit wir uns darüber unterhalten können, müßte man aber zumindest wissen, was Du bei wikipedia gelesen hast darüber, was eine zyklische Gruppe ist...
Manchmal versteht man Dinge auch besser, wenn man es mal in verschiedenen Büchern nachschlägt.
> ich steh kurz vor ner prüfung und habe absolut keine
> ahnung...
Übler Zustand.
> krieg langsam muffensausen...
Ginge mir auch so.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also bei wiki steht:
In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element a erzeugt wird. Sie besteht aus allen Potenzen des Erzeugers a
Eine Gruppe G ist also zyklisch, wenn sie ein Element a enthält (den „Erzeuger“ der Gruppe), sodass jedes Element von G eine Potenz von a ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element a gibt, sodass G selbst die einzige Untergruppe von G ist, die a enthält.
Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine zyklische Gruppe Cn mit genau n Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen . Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.
Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.
... hm...
hab mir jetzt erstmal eine Strukturtafel der Gruppe aufgezeichnet
|
|
|
| |
|
> also bei wiki steht:
>
> In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine
> Gruppe, die von einem einzelnen Element a erzeugt wird. Sie
> besteht aus allen ganzzahligen Potenzen des Erzeugers a
Hallo,
damit nähern wir uns der Sache.
Wenn wir also eine Menge G haben mit der Verknüpfung [mm] \*, [/mm] dann ist das eine zyklische Gruppe, wenn es erstens eine Gruppe ist und zweitens von einem Element erzeugt wird.
Die Beschreibung aus der wikipedia ("Potenzen") ist für eine multiplikative zyklische Gruppe.
Nun überlege Dir, wie es heißen muß, wenn Du eine additive zyklische Gruppe hast...
Du mußt also, falls in der Vorlesung noch nicht geschehen, irgendwie vorrechnen, daß ( [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ, [/mm] +_6) eine Gruppe ist, und dann ein Element dieser Gruppe angeben, mit dem man durch wiederholte Addition jedes andere erzeugen kann. (Dieses Element zu finden, ist nicht schwer.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ich bin jetzt alle Axiome durchgegangen und habe sie an der Gruppe getestet mit dem Ergebnis:
A1) "+" ist Operation
A2) Assoziaitivgesetz gilt
A3) 0 ist neutrales Element
A4) zu jedem Element existiert inverses Element
A5) Kommutativgesetz gilt
--> G ist abelsche Gruppe
> Du mußt also, falls in der Vorlesung noch nicht geschehen,
> irgendwie vorrechnen, daß ( [mm]\IZ[/mm] / [mm]6\IZ,[/mm] +_6) eine Gruppe
> ist, und dann ein Element dieser Gruppe angeben, mit dem
> man durch wiederholte Addition jedes andere erzeugen kann.
> (Dieses Element zu finden, ist nicht schwer.)
ist damit gemeint:
0(mit Strich drüber) = 6k + 0
1(mit Strich drüber) = 6k + 1
2(mit Strich drüber) = 6k + 2
usw. ?
|
|
|
| |
|
> ich bin jetzt alle Axiome durchgegangen und habe sie an der
> Gruppe getestet mit dem Ergebnis:
>
> A1) "+" ist Operation
>
> A2) Assoziaitivgesetz gilt
>
> A3) 0 ist neutrales Element
>
> A4) zu jedem Element existiert inverses Element
>
> A5) Kommutativgesetz gilt
>
> --> G ist abelsche Gruppe
>
> > Du mußt also, falls in der Vorlesung noch nicht geschehen,
> > irgendwie vorrechnen, daß ( [mm]\IZ[/mm] / [mm]6\IZ,[/mm] +_6) eine Gruppe
> > ist, und dann ein Element dieser Gruppe angeben, mit dem
> > man durch wiederholte Addition jedes andere erzeugen kann.
> > (Dieses Element zu finden, ist nicht schwer.)
>
> ist damit gemeint:
>
> 0(mit Strich drüber) = 6k + 0
> 1(mit Strich drüber) = 6k + 1
> 2(mit Strich drüber) = 6k + 2
> usw. ?
Nein.
Sondern
[mm] overline{0}=\overline{5}+\overline{5}+\overline{5}+\overline{5}+overline{5}+\overline{5}
[/mm]
[mm] \overline{1}=\overline{5}+\overline{5}+\overline{5}+\overline{5}+overline{5}
[/mm]
overline{2}=overline{5}+overline{5}+overline{5}+overline{5}
overline{3}= ...
[mm] \overline{4}=...
[/mm]
[mm] \overline{5}=...
[/mm]
Sicher findest Du noch ein erzeugendes Element, welches entschieden bequemer ist...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
du meinst
[mm] \overline{0}=\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}[/mm]
[/mm]
[mm] \overline{1}=\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}
[/mm]
[mm] \overline{2}=\overline{1}+\overline{1}
[/mm]
[mm] \overline{3}= [/mm] ...
[mm] \overline{4}=...
[/mm]
[mm] \overline{5}=...
[/mm]
richtig?
|
|
|
| |
|
> du meinst
>
> [mm]\overline{0}=\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}[/mm][/mm]
>
> [mm]\overline{1}=\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}+\overline{1}[/mm]
>
> [mm]\overline{2}=\overline{1}+\overline{1}[/mm]
> [mm]\overline{3}=[/mm] ...
> [mm]\overline{4}=...[/mm]
> [mm]\overline{5}=...[/mm]
>
> richtig?
ja, das meinte ich.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also habe ich jetzt mit hilfe der Axiome bewiesen, dass G eine abelsche Gruppe ist und dann habe ich noch gezeigt, dass ein Element existiert , mit welchem ich durch wiederholte Addition jedes andere Element erzeugen kann...
da ich weiß, das eine zyklische Gruppe auch abelsch ist und ein erzeugendes Element besitzt, kann ich daraus schlussfolgern, dass
die Gruppe G zyklisch ist...
reicht das als beweis denn aus?
jetzt sollte ich noch die (nicht)isomorphe Gruppe zu G erzeugen...
du hattest vorhin etwas von Ordnung 6 gesagt...wie war das gemeint?
|
|
|
| |
|
> also habe ich jetzt mit hilfe der Axiome bewiesen, dass G
> eine abelsche Gruppe ist und dann habe ich noch gezeigt,
> dass ein Element existiert , mit welchem ich durch
> wiederholte Addition jedes andere Element erzeugen kann...
>
> da ich weiß, das eine zyklische Gruppe auch abelsch ist
> und ein erzeugendes Element besitzt, kann ich daraus
> schlussfolgern, dass
> die Gruppe G zyklisch ist...
>
> reicht das als beweis denn aus?
Hallo,
ja. Gruppe und erzeugendes Element ist das, was man für "zyklisch " zeigen muß.
>
>
> jetzt sollte ich noch die (nicht)isomorphe Gruppe zu G
> erzeugen...
> du hattest vorhin etwas von Ordnung 6 gesagt...wie war das
> gemeint?
Wenn Du ein bißchen kramst, dann wirst Du feststellen, daß Du in Deinem Studium auch andere Gruppen mit 6 Elementen kennengelernt hast.
Du sollst eine davon nennen, die auch zyklisch ist (alle zyklischen Gruppen mit 6 Elementen sind isomorph), und eine, die nicht zyklisch ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
isomorph: da habe ich Sym(3) gefunden
aber zu "nicht isomorph" habe ich nichts gefunden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:18 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was Sym(3) ist weiss ich nicht. Wenn es ein richtiges ist, solltest du zeigen, dass es Isomorph ist.
Bei 6 würd ich an ein Sechseck denken! wie kannst du das auf sich abbilden? 2 Möglichkeiten!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
sym(3) umfasst ein Dreieck und dessen Drehung sowie Spiegelung wodurch 6 elemente entstehen...
mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
|
|
|
| |
|
> sym(3) umfasst ein Dreieck und dessen Drehung sowie
> Spiegelung wodurch 6 elemente entstehen...
Halllo,
aha: sym(3) soll die Gruppe der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks sein mit der Verknüpfung "Nacheinanderausführung",
welche in der Tat 6 Elemente hat.
Falls sie zyklisch ist, gibt es ein erzeugendes Element unter den 6 Elementen.
An welches hattest Du gedacht? Mach vor, wie es die anderen Elemente erzeugt...
> mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf sich selbst abbilden?
Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6 Elementen.
Gruß v. Angela
P.S.: Falls Du Lehramt für GHS studierst, solltest Du das im Profil eintragen. Sowas ist oft gut zu wissen, wenn man antworten möchte.
|
|
|
| |
|
> > sym(3) umfasst ein Dreieck und dessen Drehung sowie
> > Spiegelung wodurch 6 elemente entstehen...
>
> Halllo,
>
> aha: sym(3) soll die Gruppe der Deckabbildungen des
> gleichseitigen Dreiecks sein mit der Verknüpfung
> "Nacheinanderausführung",
> welche in der Tat 6 Elemente hat.
> Falls sie zyklisch ist, gibt es ein erzeugendes Element
> unter den 6 Elementen.
> An welches hattest Du gedacht? Mach vor, wie es die anderen
> Elemente erzeugt...
>
also sym3 besteht ja aus:
I =
(1 2 3)
(1 2 3)
[mm] D_1 [/mm] =
(1 2 3)
(3 2 1)
[mm] D_2 [/mm] =
(1 2 3)
(2 3 1)
[mm] S_1 [/mm] =
(1 2 3)
(1 3 2)
[mm] S_2 [/mm] =
(1 2 3)
(3 2 1)
[mm] S_3 [/mm] =
(1 2 3)
(2 1 3)
...ok... sym(3) ist nicht zyklisch... es gibt keinen Erzeuger...
>
> > mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
>
> Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf
> sich selbst abbilden?
>
> Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6
> Elementen.
es hat aber doch mehr als 6 Elemente... das wäre doch Sym(6) das Sechseck...
>
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: Falls Du Lehramt für GHS studierst, solltest Du das
> im Profil eintragen. Sowas ist oft gut zu wissen, wenn man
> antworten möchte.
>
hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt Regelschule...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> ...ok... sym(3) ist nicht zyklisch... es gibt keinen
> Erzeuger...
Wie erkennst du denn das? Nur weil du alle Elemente hingeschrieben hast?!
> > > mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
> >
> > Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf
> > sich selbst abbilden?
> >
> > Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6
> > Elementen.
>
> es hat aber doch mehr als 6 Elemente... das wäre doch
> Sym(6) das Sechseck...
Ganz richtig - ist ja auch Quark.
> hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt
> Regelschule...
Was ist das denn, btw?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
> > ...ok... sym(3) ist nicht zyklisch... es gibt keinen
> > Erzeuger...
>
> Wie erkennst du denn das? Nur weil du alle Elemente
> hingeschrieben hast?!
habe mir eine strukturtafel mit allen elementen gemacht und getestet,
ob es einen Erzeuger gibt... aber das funktioniert nicht...also gibt es keinen
Erzeuger und Sym(3) ist nicht zyklisch
>
> > > > mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
> > >
> > > Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf
> > > sich selbst abbilden?
> > >
> > > Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6
> > > Elementen.
> >
> > es hat aber doch mehr als 6 Elemente... das wäre doch
> > Sym(6) das Sechseck...
>
> Ganz richtig - ist ja auch Quark.
>
> > hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt
> > Regelschule...
>
> Was ist das denn, btw?
>
btw?
> SEcki
|
|
|
| |
|
> > > sym(3) umfasst ein Dreieck und dessen Drehung sowie
> > > Spiegelung wodurch 6 elemente entstehen...
> >
> > Halllo,
> >
> > aha: sym(3) soll die Gruppe der Deckabbildungen des
> > gleichseitigen Dreiecks sein mit der Verknüpfung
> > "Nacheinanderausführung",
> > welche in der Tat 6 Elemente hat.
> > Falls sie zyklisch ist, gibt es ein erzeugendes Element
> > unter den 6 Elementen.
> > An welches hattest Du gedacht? Mach vor, wie es die anderen
> > Elemente erzeugt...
> >
>
> also sym3 besteht ja aus:
>
> I =
> (1 2 3)
> (1 2 3)
>
> [mm]D_1[/mm] =
> (1 2 3)
> (3 2 1)
>
> [mm]D_2[/mm] =
> (1 2 3)
> (2 3 1)
>
> [mm]S_1[/mm] =
> (1 2 3)
> (1 3 2)
>
> [mm]S_2[/mm] =
> (1 2 3)
> (3 2 1)
>
> [mm]S_3[/mm] =
> (1 2 3)
> (2 1 3)
>
> ...ok... sym(3) ist nicht zyklisch... es gibt keinen
> Erzeuger...
Hallo,
na, das ist doch prima: damit hast Du eine 6-elementige Gruppe, die nicht isomorph zu [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ [/mm] ist!
>
>
> >
> > > mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
> >
> > Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf
> > sich selbst abbilden?
> >
> > Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6
> > Elementen.
>
> es hat aber doch mehr als 6 Elemente... das wäre doch
> Sym(6) das Sechseck...
Moment - Sym(6) hat in der Tat mehr als 6 Elemente, aber ich redete einfach erstmal so munter drauflos über ein Sechseck, und wollte eigentlich von Dir wissen, daß man es drehen und Spiegeln kann.
Jetzt nimm doch mal die Drehung um 60°, [mm] D_{60}
[/mm]
[mm] D_{60}\circ D_{60}=D_{...}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Merkst Du was?
> hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt
> Regelschule...
Dann lag ich mit meinen Vermutungen ja ganz richtig.
Was ist "Regelschule"? Was undeutsches? Gesamtschule bis Kl. 10 oder sowas?
Gruß v Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:52 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]D_{60}\circ D_{60}=D_{...}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Merkst Du was?
Das die Gruppe 12 Elemente hat, vielleicht?! Und deswegen kein Gegenbeispiel für 6 elementige Gruppe ist?
> > hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt
> > Regelschule...
>
> Dann lag ich mit meinen Vermutungen ja ganz richtig.
> Was ist "Regelschule"? Was undeutsches? Gesamtschule bis
> Kl. 10 oder sowas?
Das frage ich mich auch. (btw heißt by the way).
SEcki
|
|
|
| |
|
> > [mm]D_{60}\circ D_{60}=D_{...}[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > Merkst Du was?
>
> Das die Gruppe 12 Elemente hat, vielleicht?! Und deswegen
> kein Gegenbeispiel für 6 elementige Gruppe ist?
???
Sie sollte merken, daß die Drehgruppe des gleichmäßigen Sechsecks 6 Elemente enthält und zyklisch ist - und damit isomorph ist zu der zyklischen Gruppe [mm] $(\IZ [/mm] / [mm] 6\IZ, [/mm] +_{6}).
Und ich glaube, sie hat's auch gemerkt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:21 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> ???
>
> Sie sollte merken, daß die Drehgruppe des gleichmäßigen
> Sechsecks 6 Elemente enthält und zyklisch ist - und damit
> isomorph ist zu der zyklischen Gruppe [mm]$(\IZ[/mm] / [mm]6\IZ,[/mm]
> +_{6}).
> Und ich glaube, sie hat's auch gemerkt.
Ja, irgendwie habe ich das genauso wie bei leduart gelesen - als komplette Symmteriegruppe, sorry. Dein Beitrag ist richtig.
SEcki
|
|
|
| |
|
> > > > sym(3) umfasst ein Dreieck und dessen Drehung sowie
> > > > Spiegelung wodurch 6 elemente entstehen...
> > >
> > > Halllo,
> > >
> > > aha: sym(3) soll die Gruppe der Deckabbildungen des
> > > gleichseitigen Dreiecks sein mit der Verknüpfung
> > > "Nacheinanderausführung",
> > > welche in der Tat 6 Elemente hat.
> > > Falls sie zyklisch ist, gibt es ein erzeugendes
> Element
> > > unter den 6 Elementen.
> > > An welches hattest Du gedacht? Mach vor, wie es die anderen
> > > Elemente erzeugt...
> > >
> >
> > also sym3 besteht ja aus:
> >
> > I =
> > (1 2 3)
> > (1 2 3)
> >
> > [mm]D_1[/mm] =
> > (1 2 3)
> > (3 2 1)
> >
> > [mm]D_2[/mm] =
> > (1 2 3)
> > (2 3 1)
> >
> > [mm]S_1[/mm] =
> > (1 2 3)
> > (1 3 2)
> >
> > [mm]S_2[/mm] =
> > (1 2 3)
> > (3 2 1)
> >
> > [mm]S_3[/mm] =
> > (1 2 3)
> > (2 1 3)
> >
> > ...ok... sym(3) ist nicht zyklisch... es gibt keinen
> > Erzeuger...
>
> Hallo,
>
> na, das ist doch prima: damit hast Du eine 6-elementige
> Gruppe, die nicht isomorph zu [mm]\IZ[/mm] / [mm]6\IZ[/mm] ist!
>
> >
> >
> > >
> > > > mit dem sechseck kann ich nicht wirklich etwas anfangen....
> > >
> > > Auf welche Arten kann man ein gleichmäßiges Sechseck auf
> > > sich selbst abbilden?
> > >
> > > Eine dieser Abbildungen erzeugt eine Gruppe mit 6
> > > Elementen.
> >
> > es hat aber doch mehr als 6 Elemente... das wäre doch
> > Sym(6) das Sechseck...
>
> Moment - Sym(6) hat in der Tat mehr als 6 Elemente, aber
> ich redete einfach erstmal so munter drauflos über ein
> Sechseck, und wollte eigentlich von Dir wissen, daß man es
> drehen und Spiegeln kann.
>
> Jetzt nimm doch mal die Drehung um 60°, [mm]D_{60}[/mm]
>
> [mm]D_{60}\circ D_{60}=D_{...}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Merkst Du was?
du meinst sicher [mm] D_{60} [/mm] als Erzeuger...
aber, auf welche 6 elemente reduziere ich dann die gruppe?
(I, D, [mm] D^2, D^3, D^4, D^5)?
[/mm]
>
> > hab meine studienrichtung eingetragen... Lehramt
> > Regelschule...
>
> Dann lag ich mit meinen Vermutungen ja ganz richtig.
> Was ist "Regelschule"? Was undeutsches? Gesamtschule bis
> Kl. 10 oder sowas?
ist auch besser bekannt als Realschule...
ich werde mal Schüler der 5-10. Klasse unterrichten... unter anderem auch
Hauptschüler bis Klasse 9
Im Osten heißts häufig Regelschule 
>
> Gruß v Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
> > Jetzt nimm doch mal die Drehung um 60°, [mm]D_{60}[/mm]
> >
> > [mm]D_{60}\circ D_{60}=D_{...}[/mm]
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > Merkst Du was?
>
> du meinst sicher [mm]D_{60}[/mm] als Erzeuger...
Hallo,
ja, genau.
Die Drehgruppe des regelmäßigen Sechsecks ist eine zyklische gruppe der Ordnung 6.
> aber, auf welche 6 elemente reduziere ich dann die gruppe?
> (I, D, [mm]D^2, D^3, D^4, D^5)?[/mm]
Ja, da ist sie - wenn D die Drehung um 60° um den Mittelpunkt ist.
> ist auch besser bekannt als Realschule...
> ich werde mal Schüler der 5-10. Klasse unterrichten...
> unter anderem auch
> Hauptschüler bis Klasse 9
>
> Im Osten heißts häufig Regelschule
Achso.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
erstmal vielen lieben danke für deine geduld ... hast mir sehr geholfen...
eine Frage habe ich aber noch...
wenn ich jetzt beispielsweise eine Gruppe mit 8 Elementen habe (Z/8Z, +)
dann wäre nicht isomorph: Sym(4)
und isomorph: Drehung (60°) um Mittelpunkt in Achteck... (I, D, [mm] D^2, D^3, D^4, D^5, D^6, D^7)
[/mm]
kann man das so verallgemeinern?
|
|
|
| |
|
> erstmal vielen lieben danke für deine geduld ... hast
> mir sehr geholfen...
>
> eine Frage habe ich aber noch...
>
> wenn ich jetzt beispielsweise eine Gruppe mit 8 Elementen
> habe (Z/8Z, +)
Hallo,
also eine zyklische Gruppe mit 8 Elementen.
>
> dann wäre nicht isomorph: Sym(4)
> und isomorph: Drehung (60°) um Mittelpunkt in Achteck...
> (I, D, [mm]D^2, D^3, D^4, D^5, D^6, D^7)[/mm]
>
> kann man das so verallgemeinern?
Nicht ganz.
Die Drehgruppe des gleichmäßigen 8-Ecks wird erzeugt von der Drehung um 45° (!).
Es ist eine zyklische Gruppe, welche 8 Elemente enthält, die Du oben aufgezählt ast, und damit ist sie isomorph zu (Z/8Z, +).
Nun müssen wir uns nochmal Sym(6) zuwenden.
Sym(4) ist die Gruppe der Permutationen von 4 Elementen, welche 4!=1*2*3*4=24 Elemente enthält und ganz sicher nicht zu (Z/8Z, +) isomorph ist - schon aufgrund der unterschiedlichen Ordnung.
Die Gruppe mit 8 Elementen, die Du eigentlich meinst, ist eine andere: [mm] D_4, [/mm] die Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates auf sich, bestehend aus 4 Drehungen und 4 Spiegelungen. Diese Gruppe ist nicht isomorph zu (Z/8Z, +), weil sie nicht zyklisch ist.
Achtung: nur für n=3 sind Sym(3) und [mm] D_3 [/mm] gleich bzw. isomorph.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
> > erstmal vielen lieben danke für deine geduld ... hast
> > mir sehr geholfen...
> >
> > eine Frage habe ich aber noch...
> >
> > wenn ich jetzt beispielsweise eine Gruppe mit 8 Elementen
> > habe (Z/8Z, +)
>
> Hallo,
>
> also eine zyklische Gruppe mit 8 Elementen.
> >
> > dann wäre nicht isomorph: Sym(4)
> > und isomorph: Drehung (60°) um Mittelpunkt in
> Achteck...
> > (I, D, [mm]D^2, D^3, D^4, D^5, D^6, D^7)[/mm]
> >
> > kann man das so verallgemeinern?
>
> Nicht ganz.
> Die Drehgruppe des gleichmäßigen 8-Ecks wird erzeugt von
> der Drehung um 45° (!).
ja klar...war ein denkfehler...
> Es ist eine zyklische Gruppe, welche 8 Elemente enthält,
> die Du oben aufgezählt ast, und damit ist sie isomorph zu
> (Z/8Z, +).
>
> Nun müssen wir uns nochmal Sym(6) zuwenden.
> Sym(4) ist die Gruppe der Permutationen von 4 Elementen,
> welche 4!=1*2*3*4=24 Elemente enthält und ganz sicher
> nicht zu (Z/8Z, +) isomorph ist - schon aufgrund der
> unterschiedlichen Ordnung.
> Die Gruppe mit 8 Elementen, die Du eigentlich meinst, ist
> eine andere: [mm]D_4,[/mm] die Gruppe der Deckabbildungen des
> Quadrates auf sich, bestehend aus 4 Drehungen und 4
> Spiegelungen. Diese Gruppe ist nicht isomorph zu (Z/8Z, +),
> weil sie nicht zyklisch ist.
>
> Achtung: nur für n=3 sind Sym(3) und [mm]D_3[/mm] gleich bzw.
> isomorph.
dankesehr... gut zu wissen... werde ich mir merken... und ja, ich meinte demnach [mm] D_4 [/mm] 
>
> Gruß v. Angela
>
>
Grüße zurück
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 15:24 So 28.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> was Sym(3) ist weiss ich nicht. Wenn es ein richtiges ist,
> solltest du zeigen, dass es Isomorph ist.
Das steht im Allgemeinen für symmetrische Gruppe, also [m]S_3[/m].
> Bei 6 würd ich an ein Sechseck denken! wie kannst du das
> auf sich abbilden? 2 Möglichkeiten!
Was meinst du mit "abbilden"? Du meinst wohl die Isometriegruppe des Sechsecks? Dann ist die Drehung um einen Sechstel Vollwinkel, und damit die Gruppe [m]\IZ_3[/m] in ihr enthalten, aber noch mehr, denn es fehlt ja noch eine Spiegelung. (Ich gehe von einem gleichmäßigen Sechseck aus). Also ist die Antwort falsch, da es merh als 6 elementig ist. (Wenn die Ordnung egal ist, nehme ich [m]\IZ_2[/m])
Ich würde die Aufgabe mit einem äußeren semidirekten Produkt lösen.
EDIT: wobei die Sym(3) natürlich nicht abelsch ist, und damit genau das Gegenbeispiel und nicht die andere isomorphe Gruppe. Hast du vielleicht die Isometriegruppe des Dreiecks gemeint und nicht des Sechsecks?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 So 28.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit meiner ungenauen Bemerkung meinte ich 1. die Drehgruppe des 6- Ecks, zyklisch. 2. die Reine spiegelung um die 6 Achsen, nicht zyklisch.
Sorry, wenn das so missverstndlich ist.
Gruss leduart
|
|
|
|
