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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Do 05.02.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | | Es sei G eine endliche, additive, abelsche Gruppe, deren Ordnung ein Produkt von lauter verschiedenen Priemzahlen ist. Begründen Sie, dass G zyklisch ist. |
Meine Idee wäre Induktion über die Anzahl der Primelemente [mm] p_i [/mm]
Also sei [mm] ord(G)=p_1* p_2*....*.p_n [/mm]
Im weiteren verwende ich folgendes Lemma aus unserer Vorlesung:
Lemma: Es seien a,b Elemente endlicher Ornung in einer abelschen Gruppe G. sei ord a=m und ord b=n. Sind m und n teilerfremd, so besitzt ab die Ordnung mn.
n=2 [mm] ord(G)=p_1p_2 [/mm] da es sich um zwei verschiedene Primelemente handelt, sind diese teilerfremd, also besitzt [mm] p_1p_2 [/mm] nach dem Lemma die Orndung [mm] p_1p_2 [/mm] also ist G zyklisch
n->n+1
[mm] ord(G)=p_1*....*p_{n+1}
[/mm]
sei [mm] q=p_1*...*p_n [/mm] und alle [mm] p_i [/mm] verschieden
der [mm] ggT(q,p_{n+1}) [/mm] =1 , denn gäbe es einen größten gemeinsamen Teiler, so müsste er ein [mm] p_i [/mm] in q und [mm] p_{n+1} [/mm] teilen, da aber alle Primzahlen verschieden sind, existiert so ein ggT nicht.
Somit kann man wieder mit dem Lemma folgern, dass das Element [mm] q*p_{n+1} [/mm] die Orndung [mm] p_1*.....*p_n*p_{n+1} [/mm] = ord(G) bestitzt, also G zyklisch
Wäre nett, wenn jemand mal drüber lesen könnte.
Zudem hätte ich eine Frage, ob man das ablesch braucht, da mit der Sylow-Theorie oft das abelsch unnötig wird, also konkret:
Ist eine Gruppe mit Orndung [mm] p_1*....*p_n, p_i´s [/mm] verschiedene Primzahlen, zyklisch?
Für G=p*q, mit p,q Primzahlen kann man es mit Sylow zeigen, dass G dann zyklisch ist, aber gilt das auch für mehr Primzahlen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, herzlich Willkommen!
> Es sei G eine endliche, additive, abelsche Gruppe, deren
> Ordnung ein Produkt von lauter verschiedenen Priemzahlen
> ist. Begründen Sie, dass G zyklisch ist.
> Meine Idee wäre Induktion über die Anzahl der
> Primelemente [mm]p_i[/mm]
> Also sei [mm]ord(G)=p_1* p_2*....*.p_n[/mm]
> Im weiteren verwende ich folgendes Lemma aus unserer
> Vorlesung:
> Lemma: Es seien a,b Elemente endlicher Ornung in einer
> abelschen Gruppe G. sei ord a=m und ord b=n. Sind m und n
> teilerfremd, so besitzt ab die Ordnung mn.
>
> n=2 [mm]ord(G)=p_1p_2[/mm] da es sich um zwei verschiedene
> Primelemente handelt, sind diese teilerfremd, also besitzt
> [mm]p_1p_2[/mm] nach dem Lemma die Orndung [mm]p_1p_2[/mm] also ist G
> zyklisch
Hier fehlt eigentlich noch etwas. Außerdem, was ist die Ordnung von [mm] $p_1p_2$? [/mm] Ich werde weiter unten darauf eingehen.
> n->n+1
> [mm]ord(G)=p_1*....*p_{n+1}[/mm]
> sei [mm]q=p_1*...*p_n[/mm] und alle [mm]p_i[/mm] verschieden
> der [mm]ggT(q,p_{n+1})[/mm] =1 , denn gäbe es einen größten
> gemeinsamen Teiler, so müsste er ein [mm]p_i[/mm] in q und [mm]p_{n+1}[/mm]
Das ist nicht so optimal ausgedrückt, denn es existiert ja der größte gemeinsame Teiler, er ist ja durch die 1 gegeben.
> teilen, da aber alle Primzahlen verschieden sind, existiert
> so ein ggT nicht.
> Somit kann man wieder mit dem Lemma folgern, dass das
> Element [mm]q*p_{n+1}[/mm] die Orndung [mm]p_1*.....*p_n*p_{n+1}[/mm] =
> ord(G) bestitzt, also G zyklisch
Auch hier hängt es an der Formulierung: Nicht [mm] $q*p_{n+1}$ [/mm] hat eine Ordnung (was soll die Ordnung einer natürlichen Zahl sein?), sondern $G$ hat die Ordnung.
Was du brauchst, ist ja ein Element der Ordnung [mm] $p_1\cdots p_n$. [/mm] Wenn du für jedes $i$ ein Element der Ordnung [mm] $g_i$ [/mm] ein Element der Ordnung [mm] $p_i$ [/mm] hättest, dann könntest du mit einem Induktionsbeweis, wie du ihn führst, zeigen, dass ihr Produkt die Ordnung [mm] $p_1\cdots p_n$ [/mm] hast. Um diese Elemente zu finden könntest du z.B. den Satz von Cauchy verwenden, falls der dir etwas sagt.
> Wäre nett, wenn jemand mal drüber lesen könnte.
> Zudem hätte ich eine Frage, ob man das ablesch braucht,
> da mit der Sylow-Theorie oft das abelsch unnötig wird,
> also konkret:
> Ist eine Gruppe mit Orndung [mm]p_1*....*p_n, p_i´s[/mm]
> verschiedene Primzahlen, zyklisch?
> Für G=p*q, mit p,q Primzahlen kann man es mit Sylow
> zeigen, dass G dann zyklisch ist, aber gilt das auch für
> mehr Primzahlen?
Nein, wenn du mehr als zwei Primfaktoren hast, gilt das nicht mehr. Es sei [mm] $D_n$ [/mm] die Diedergruppe der Ordnung $2n$. Dann sind [mm] $\IZ/3\times D_5$ [/mm] und [mm] $D_{15}$ [/mm] nichtkommutative Gruppen der Ordnung $30=2*3*5$.
Übrigens gilt das auch, wenn du zwei Primfaktoren hast, nicht unbedingt! Falls [mm] $q=1\mod [/mm] p$ gilt, muss eine Gruppe der Ordnung $pq$ nicht kommutativ sein. Für ein einfaches Beispiel betrachte die [mm] $S_3$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Do 05.02.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo ersteinmal und danke für deine Antwort.
Den Satz von Cauchy hatten wir leider nicht, aber ich glaube ich weiß was du mir damit sagen willst. Es fehlt, dass so ein Element überhaupt existieret, mit Ordnung [mm] p_i, [/mm] das habe ich grandios übersehen. Ich denke mit dem ersten Sylowsatz sollte das behoben sein. Man kann zu jedem [mm] p_i [/mm] eine [mm] p_i-Sylowgruppe [/mm] finden, die ein Element [mm] g_i [/mm] mit Ornung [mm] p_i [/mm] hat, wenn man meine [mm] p_i [/mm] ´s durch [mm] g_i [/mm] ´s ersetzt sollte es dann passen ^^.
Das mit dem ggT war schlecht formuliert, stimmt.
Danke für den Hinweis, das mit den Elementen fällt bei mir immer unter den Tisch :/
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Hallo,
der Satz von Cauchy besagt genau das, wenn $G$ eine Gruppe ist und $p$ eine Primzahl mit [mm] $p\mid [/mm] ord(G)$, dann existiert ein Element der Ordnung $p$. Man kann die Aussage tatsächlich recht leicht aus Sylow folgern: Wegen Sylow existiert eine maximale $p$-Gruppe, etwa der Ordnung [mm] $p^n$. [/mm] Nimmt man sich ein Element [mm] $x\not=1$, [/mm] so hat [mm] $\langle x\rangle$ [/mm] die Ordnung [mm] $p^k$ [/mm] für eine natürliche Zahl $k$ und für zyklische Gruppen $C$ sollte bekannt sein, dass [mm] $m\mid [/mm] ord [mm] C\implies$ [/mm] es gibt ein Element der Ordnung $m$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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