zyklischer Modul < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 24.01.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | | Für welche n [mm] \ge [/mm] 1 ist M = [mm] \IZ/4 \oplus \IZ/5 \oplus \IZ/n [/mm] ein zyklischer [mm] \IZ-Modul? [/mm] |
Ich glaube es muss gelten, dass ggT(4,5,n) = 1 ist.
Ist dies der Fall, dann ist M zyklisch.
Doch wie kann ich dies zeigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Sa 24.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaube es muss gelten, dass ggT(4,5,n) = 1 ist.
EDIT: ja, es muss [m]ggt(4*5,n)=1[/m] heißen!
> Ist dies der Fall, dann ist M zyklisch.
> Doch wie kann ich dies zeigen?
Was heißt den zyklisch in diesem Fall? Falls die Bedingung eintritt, welchen Erzeuger kann man wohl nehmen? Kannst du beweisen, dass es einer ist? Nun nehme das Gegenteil an und nehme auch an, es gäbe so einen Erezuger e, dann gibt es doch m mit [m]m*e=(1,0,0)[/m], n mit [m]n*e=(0,1,0)[/m] und o mit [m]o*e=(0,0,1)[/m]. Kann man das zum Widerspruch führen, abhängig davon, wie der ggt nun genau aussieht?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Sa 24.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Ich glaube es muss gelten, dass ggT(4,5,n) = 1 ist.
>
> Scheint mir auch richtig.
Das stimmt sicher nicht, da dies fuer jede natuerliche Zahl $n$ gilt, da $4$ und $5$ bereits teilerfremd sind.
Es muss gelten: 4, 5 und n sind paarweise teilerfremd, also (da 4, 5 bereits teilerfremd sind) $ggT(4 [mm] \cdot [/mm] 5, n) = 1$ oder $ggT(2 [mm] \cdot [/mm] 5, n) = 1$.
> > Ist dies der Fall, dann ist M zyklisch.
> > Doch wie kann ich dies zeigen?
>
> Was heißt den zyklisch in diesem Fall? Falls die Bedingung
> eintritt, welchen Erzeuger kann man wohl nehmen? Kannst du
> beweisen, dass es einer ist? Nun nehme das Gegenteil an und
> nehme auch an, es gäbe so einen Erezuger e, dann gibt es
> doch m mit [m]m*e=(1,0,0)[/m], n mit [m]n*e=(0,1,0)[/m] und o mit
> [m]o*e=(0,0,1)[/m]. Kann man das zum Widerspruch führen, abhängig
> davon, wie der ggt nun genau aussieht?
Falls man ihn hat, ist auch der Hauptsatz ueber endlich (erzeugte) abelsche Gruppen sehr hilfreich.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 So 25.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Es muss gelten: 4, 5 und n sind paarweise teilerfremd, also
> (da 4, 5 bereits teilerfremd sind) [mm]ggT(4 \cdot 5, n) = 1[/mm]
> oder [mm]ggT(2 \cdot 5, n) = 1[/mm].
Öhm, ja. Hatte ich auch so im Kopf, als ich die Antwort schrieb. Danke!
SEcki
|
|
|
|
