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| Aufgabe | Sei A eine Menge, wir definieren Bij(A):= {f: A->A| f bijektiv}
a) zeigen sie, dass ((Bij(A), o) eine Gruppe ist, wobei wir mit o die Verknüpfung von Abbildungen bezeichnen.
b) Geben Sie eine Menge A an, so dass Bij(A) nicht Abelsch ist (mit Beweis) |
zu a) ich muss also zeigen dass es die Identität, die Umkehrfunktion gibt und das assoziativität gilt, nur das einzige was ich gegeben hab ist das A->A bijektiv ist
muss ich mir jetzt ein beliebiges f rausnehmen und wie kann ich die Existenz der Umkehrfunktion beweisen?
wie kann ich argumentieren, dass Assoziativität gilt, hat jemand einen Ansatz?
zu b) Abelsch heißt ja, dass Kommutativität gilt, soll ich mir Funktionen raussuchen bei denen bei einer Verknüpfung (plus oder mal oder was auch immer) nicht gilt a+b=b+a und so weiter???
hat jemand eine idee?
Danke schön und liebe Grüße Richard
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> Sei A eine Menge, wir definieren Bij(A):= {f: A->A| f
> bijektiv}
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> a) zeigen sie, dass ((Bij(A), o) eine Gruppe ist, wobei wir
> mit o die Verknüpfung von Abbildungen bezeichnen.
>
> b) Geben Sie eine Menge A an, so dass Bij(A) nicht Abelsch
> ist (mit Beweis)
> zu a) ich muss also zeigen dass es die Identität, die
> Umkehrfunktion gibt und das assoziativität gilt, nur das
> einzige was ich gegeben hab ist das A->A bijektiv ist
Hallo,
Du mußt zeigen:
1. Bij(A) ist nichtleer
2. [mm] \circ [/mm] ist eine innere Verknüpfung, d.h. wenn Du zwei bijektive Funktionen verknüpfst, kommt wieder eine bijektive heraus.
3. Die Verknüfung ist assoziativ
4. Es gibt ein neutrales Element in Bij(A)
5. Jedes Element aus Bij(A) hat ein Inverses in Bij(A)
Einiges kannst Du möglicherweise sehr kurz abhandeln mit dem Hinweis auf Sätze aus der Vorlesung - was dran war, weißt Du besser als ich.
> muss ich mir jetzt ein beliebiges f rausnehmen und wie kann
> ich die Existenz der Umkehrfunktion beweisen?
Entweder Ihr habt in der Vorlesung bereits gelernt, daß es sie gibt, dann bist Du mit Hinweis auf den entsprechenden Satz fertig.
Ansonsten mußt Du zu f eine Funktion in zulässiger Weise definieren, von der Du dann zeigst, daß es die Umkehrfunktion v. f ist, also das inverse Element v. f in Bij(A).
>
> wie kann ich argumentieren, dass Assoziativität gilt, hat
> jemand einen Ansatz?
Entweder mit Hinweis auf eienn Satz der Vorlesung oder durch Ausrechen:
nimm f,g,h [mm] \in [/mm] Bij(A) und rechne vor, daß [mm] (f\circ g)\circ h=f\circ(g \circ [/mm] h) gilt.
Das tust Du, indem Du nachweist, daß das an allen Stellen [mm] a\in [/mm] A gilt, daß also für alle [mm] a\in [/mm] A [mm] ((f\circ g)\circ h)(a)=(f\circ(g \circ [/mm] h))(a) ist.
Gruß v. Angela
>
> zu b) Abelsch heißt ja, dass Kommutativität gilt, soll ich
> mir Funktionen raussuchen bei denen bei einer Verknüpfung
> (plus oder mal oder was auch immer) nicht gilt a+b=b+a und
> so weiter???
> hat jemand eine idee?
>
> Danke schön und liebe Grüße Richard
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Danke erst einmal,
Nur hast du nochmal unterstrichen was ich zeigen muss, was ich aber in meiner Frage schon größtenteils rausgestellt hatte, unser prof beschränkt sich meistens auf die neutrales element, inverses element, assoziativität.
nur wie genau ich das zeige ist mir halt nicht klar, jeder sagt mir immer das ist total einfach zeig es einfach ja aber für mich halt schwer und in der vorlesung waren dafür auch keine beispiele gegeben wo man sich in ähnlicher weise mal aneignen könnte wie so etwas gemacht wird.
hat jemand vielleicht ein kleines beispiel für mich, bin halt noch kein großer mathematiker, möchte es aber gerne verstehen!
lg richard
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> nur wie genau ich das zeige ist mir halt nicht klar,
Hallo,
ich bin der Meinung, daß ich Dir das für die Assoziativität sehr genau erklärt habe.
Fang' doch mal an nach dieser Anleitung. Eventuell mußt Du zuvor nachschauen, wie [mm] \circ [/mm] definiert ist, wenn Du es nicht auswendig weißt.
Zu zeigen:$ [mm] (f\circ g)\circ h=f\circ(g \circ [/mm] $ h)
Bew.: sei [mm] a\in [/mm] A.
Es ist [mm] ((f\circ g)\circ [/mm] h)(a)=...
Daß es ein neutrales Element gibt, zeigst Du, indem Du es vorzeigst. Du weißt doch längst, welches das neutrale Element ist.
Du mußt es vorzeigen, zeigen, daß es tut, was es soll, und begründen, warum es in der betrachteten Menge liegt.
Zum Inversen hatte ich ja schon was geschrieben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
*edit: hab ausversehen falsches Fälligkeitsdatum angegeben.. sagen wir Fälligkeit: 31.10. 12 uhr)
Hallo, ich habe dieselbe Aufgabe vor mir liegen und weiß einfach nicht, ob das so richtig ist und wie ich weiter komme..
kann ich zuerst einfach allgemein schreiben, dass f : A--> A, x-->y ?
-Es gibt ein neutrales Element in Bij(A)
Das neutrale Elemnt ist IdA
(ich habe jetzt hier einfach mal die Abbildung hingeschrieben, die die identische beschreibt,geht das so?)
IdA : A --> A, x--> x
(IdA°f)(x) = IdA(f(x) = IdA(y) = y = f(x) = f(IdA(x))= (f°IdA)(x)
also ist IdA das neutrale Element
Ich muss noch zeigen, dass IdA in Bij(A) enthalten ist..
Injektivität: Seien x1 und x2 element von A mit IdA(x1) = IdA(x2) [mm] \Rightarrow [/mm] x1 = x2
Surjektivität: Sei y [mm] \in [/mm] A beliebig. Wähle dann x=y. Dann gilt: IdA(y)=y
also ist IdA bijektiv
-Das Inverse ist die Umkehrabbildung. [mm] f^{-1}: [/mm] B-->A, y--> x (Dass die Umkehrabbildung das Inverse ist, hatten wir schon in der Vorlesung gesagt bekommen)
und dann bleib ich hängen.. ich würde nun:
[mm] (f^{-1}°f)(x) =f^{-1}(f(x))= f^{-1}(y) [/mm] = x
naja aber eigentlich müsste hier doch die Identische rauskommen? Ah oder hab ich hier insofern die Identische als Ergebnis, weil x auf x abgebildet wird?
Beweis das [mm] f^{-1} [/mm] bijektiv ist:
surj: seien y1 und y2 [mm] \in [/mm] A mit [mm] f^{-1}(y1) [/mm] = [mm] f^{-1}(y2) [/mm] bel. [mm] f°f^{-1}(y1) [/mm] = [mm] f°f^{-1}(y2) [/mm] id y1 = id y2 y1=y2
inj: sei y [mm] \in [/mm] A bel. Wähle dann x=f(y). Dann gilt: [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] f^{-1}(f(y)) [/mm] = y
und dann folgt noch irgendwie die Assoziativität. Aber ich will erst mal den Anfang können :/
Vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 29.10.2007 | | Autor: | cloui |
ich hab versucht das assoziativgesetz zu beweisen, vllt kann ja jmd bestätigen ob es richtig ist bzw. was falsch ist:
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] Bij(A) gilt [mm] a\circ (b\circ [/mm] c) = [mm] (a\circ b)\circ [/mm] c
sei [mm] m\inBij(A), [/mm] dann gilt:
[mm] [a\circ (b\circ [/mm] c)](m) = [mm] a[(b\circ [/mm] c)(m)]= a(b(c(m)))
analog:
[mm] [(a\circ b)\circ [/mm] c](m) = [mm] (a\circ [/mm] b)(c(m)) = a(b(c(m)))
da auf beiden seiten dasselbe rauskommt, ist das assoziativgesetz bewiesen
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> ich hab versucht das assoziativgesetz zu beweisen, vllt
> kann ja jmd bestätigen ob es richtig ist bzw. was falsch
> ist:
Hallo,
es ist richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
Ich hab mich jetzt doch mal an der Assoziativität versucht:
Seien f,g,h [mm] \in [/mm] Bij(A) (also bijektive Abbildungen) und a [mm] \in [/mm] A
Dann ist zu zeigen:
f°(g°h)(a) = ((f°g)°h)(a)
f°(g°h)(a) = f°(g(h(a)) = f(g(h(a))) = (f°g)(h(a)) = ((f°g)°h)(a)
geht das so?
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> Ich hab mich jetzt doch mal an der Assoziativität
> versucht:
>
> Seien f,g,h [mm]\in[/mm] Bij(A) (also bijektive Abbildungen) und a
> [mm]\in[/mm] A
> Dann ist zu zeigen:
> f°(g°h)(a) = ((f°g)°h)(a)
>
> f°(g°h)(a) = f°(g(h(a)) = f(g(h(a))) = (f°g)(h(a)) =
> ((f°g)°h)(a)
> geht das so?
Ja.
Gruß v. Angela
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> kann ich zuerst einfach allgemein schreiben, dass f : A-->
> A, x-->y ?
Hallo,
wenn Du irgendeine bijektive Funktion aus der Menge meinst, schreib einfach
"Sei f: [mm] A\to [/mm] A bijektiv."
Dein
> x-->y
wirft mehr Fragen auf als es beantwortet.
Ich würde neugierig werden und fragen: "Was soll denn y sein?", und Du wüßtest keine Antwort außer "Irgendwas."
> und dann folgt noch irgendwie die Assoziativität. Aber ich
> will erst mal den Anfang können :/
Ich akzeptiere und versteh, daß Du Dich im Moment für das neutrale/inverse Element interessierst, daher können wir hier die Assoziativität erst zurückstellen.
Vom "organischen" Ablauf jedoch gehört sie ziemlich weit an den Anfang, Du solltest das auch in Deiner HÜ so handhaben.
Im anderen Post hatte ich ja schon gesagt, wie der Ablauf sein soll, ich wiederhole das der Übersichtlichkeit halber hier:
1. Bij(A) ist nichtleer (die Identität auf A liegt drin)
2. $ [mm] \circ [/mm] $ ist eine innere Verknüpfung, d.h. wenn Du zwei bijektive Funktionen verknüpfst, kommt wieder eine bijektive heraus.
(möglicherweise ist das bereits ein Resultat Eurer Vorlesung, dann brauchst Du Dich nur darauf zu berufen, ansonsten mußt Du's beweisen)
3. Die Verknüfung ist assoziativ
(möglicherweise ist das bereits ein Resultat Eurer Vorlesung, dann brauchst Du Dich nur darauf zu berufen, ansonsten mußt Du's beweisen)
4. Es gibt ein neutrales Element in Bij(A)
5. Jedes Element aus Bij(A) hat ein Inverses in Bij(A)
>
> -Es gibt ein neutrales Element in Bij(A)
> Das neutrale Elemnt ist IdA
> (ich habe jetzt hier einfach mal die Abbildung
> hingeschrieben, die die identische beschreibt,geht das
> so?)
Ich würde schreiben: betrachte [mm] id_A, [/mm] die Identität auf A mit
> [mm] Id_A [/mm] : A --> A,
x--> x
Zeige dann zuerst, daß [mm] id_A [/mm] in Deiner Menge ist, also die Bijektivität., das hast Du unten richtig gemacht.
> Ich muss noch zeigen, dass IdA in Bij(A) enthalten ist..
> Injektivität: Seien x1 und x2 element von A mit IdA(x1) =
> IdA(x2) [mm]\Rightarrow[/mm] x1 = x2
> Surjektivität: Sei y [mm]\in[/mm] A beliebig. Wähle dann x=y. Dann
> gilt: IdA(y)=y
>
> also ist IdA bijektiv
Es ist
>
> (IdA°f)(x) = IdA(f(x)) = (weg mit dem y!)
> f(x) = f(IdA(x))=
> (f°IdA)(x)
> also ist IdA das neutrale Element.
Genau.
>
> -Das Inverse ist die Umkehrabbildung. [mm]f^{-1}:[/mm] B-->A, y--> x
> (Dass die Umkehrabbildung das Inverse ist, hatten wir
> schon in der Vorlesung gesagt bekommen)
Die Frage ist halt, ob jedes f aus Deine Menge ein Inverses hat.
Wenn Ihr in der Vorlesung hattet, daß bijektive Funktionen eine Umkehrabbildung haben, welche auch bijektiv ist, brauchst Du Dich nur darauf zu berufen, und sicherheitshalber erwähnen, daß sie auch von A nach A abbildet.
Wenn nicht, mußt Du die Umkehrabbildung [mm] u_f:A\to [/mm] A definieren durch
[mm] u_f(y):=x [/mm] mit f(x):=y. (Da f bijektiv ist, ist [mm] u_f [/mm] wohldefiniert.)
>
> und dann bleib ich hängen.. ich würde nun:
> [mm](f^{-1}°f)(x) =f^{-1}(f(x))= f^{-1}(y)[/mm] = x
> naja aber eigentlich müsste hier doch die Identische
> rauskommen? Ah oder hab ich hier insofern die Identische
> als Ergebnis, weil x auf x abgebildet wird?
Haargenau.
>
> Beweis das [mm]f^{-1}[/mm] bijektiv ist:
> surj: seien y1 und y2 [mm]\in[/mm] A mit [mm]f^{-1}(y1)[/mm] = [mm]f^{-1}(y2)[/mm]
> bel. [mm]f°f^{-1}(y1)[/mm] = [mm]f°f^{-1}(y2)[/mm] id y1 = id y2 y1=y2
Wunderbar - bis auf daß die folgepfeile fehlen und Du hiermit die INJEKTIVITÄT gezeigt hast.
>
> inj: sei y [mm]\in[/mm] A bel. Wähle dann x=f(y). Dann gilt:
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]f^{-1}(f(y))[/mm] = y
Gut. das war die SURJEKTIVITÄT.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:26 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
Erstmal: Vielen Dank für deine Hilfe :D
Ich muss echt noch lernen wie ich alles aufschreibe, in welcher Reihenfolge usw.. aber naja ist meine 3. Mathe-Woche.. ich hoffe irgendwann kann ich es dann auch mal
Nun noch eine Frage:
Kann ich das Assoziativgesetz so beweisen:
Seien f,g,h [mm] \in [/mm] Bij(A) (also bijektive Abbildungen) und a [mm] \in [/mm] A beliebig.
Dann ist zu zeigen:
f°(g°h)(a) = ((f°g)°h)(a)
f°(g°h)(a) = f°(g(h(a)) = f(g(h(a))) = (f°g)(h(a)) = ((f°g)°h)(a)
oder ist das viel zu kurz? Ich wüsste aber auch nicht was für Zwischenschritte ich noch einfügen sollte..
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Hallo,
wie ich weiter oben schon geschriebenhabe, hast Du das mit der Assoziativität richtig gemacht.
Gruß v. Angela
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