Geraden, Kugel, Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Flugzeug A fliegt von der Position P1 (6|-2|2) nach P2 (-2|2|2). Ein Flugzeug B fliegt von Position Q1 (2|3|1) nach Q2 (-0,4|4|2,8).
a) Bestimmen Sie die kürzeste Entfernung der beiden Flugrouten.
b) Flugzeug A befindet sich zum selben Zeitpunkt an Position P1, wie Flugzeug B an Position Q1. Ihre Gleichschwindigkeit ist gleich. Wie nah kommen sich beide Flugzeuge, wenn sie ihren Kurs jeweils bebehalten?
c)An welchem Ort tritt Flugzeug A in den Überwachungsraum einer im Punkt M(0|1|0) befindlichen Radarstation ein und wieder aus(Reichweite 3)? |
Hey Leute,
a) Ich hab erstmal 2 Richtungsvektoren aufgestellt der "Fluggeraden" und dann dazu das Kreuzprodukt gemacht.
[mm] \vec{a}=\overline{P1P2}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm]
[mm] \vec{b}=\overline{Q1Q2}=\vektor{-2,4 \\ 1 \\ 1,8}
[/mm]
[mm] \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\vektor{1,8 \\ 3,6 \\ 0,4}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] - Vektor des gemeinsames Lotes nennt man das glaube ich.
Jetzt muss ich nur noch die Länge davon bestimmen
d = [mm] |(\vec{q}-\vec{p})*\vec{n_{0}}| [/mm] //Vektor q und p sind die Aufpunktvektoren der Geraden, und [mm] n_{0}, [/mm] der Einheitsvektor des Lotes
der Betrag von [mm] \vec{n} [/mm] ist [mm] \wurzel{(1,8)^2+(3,6)^2+(0,4)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4,04475}
[/mm]
Alles nun eingesetzt:
d= [mm] \left(\pmat{ 6 \\ -2 \\ 2 }-\pmat{ 2 \\ 3 \\ 1 } \right)*\bruch{1}{16.36}*\pmat{ 1.8 \\ 3.6 \\ 0.4 }
[/mm]
[mm] d=|\bruch{4*1.8-5*3.6+0.4}{16.36}|=2,571234
[/mm]
Hm, ist das Richtig?
okay b)...Ich verstehe nicht ganz auf welchen Kurs die Flugzeuge fliegen,..? Wie oder Was soll man denn berechnen?
c)
Kreisgleichung der Radarstation K: $ [mm] \left( \vec x-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right)^2=9 [/mm] $
Gerade von Flugzeug A [mm] g:\vec x=\pmat{ 6 \\ -2 \\ 2 }+t\cdot{}\pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 }
[/mm]
Jetzt die Geradengleichung in die des Kreises einsetzen und dann sollte man doch eigentlich was sinnvolles bekommen...
$ [mm] \left(\begin{pmatrix}2t+6\\-t-3\\2\end{pmatrix} \right)^2=9
[/mm]
[mm] 4t^2+24t+36+t^2+6t+9+4=9
[/mm]
[mm] 5t^2+30t+40=0
[/mm]
[mm] t^2+6t+8=0
[/mm]
[mm] t_{1,2}= [/mm] -3 [mm] \pm\wurzel{9-8}
[/mm]
[mm] t_{1}=-2
[/mm]
[mm] t_{2}=-4 [/mm]
Dann sind die Ein/Austrittspunkte des FLugzeugs:
A(2/0/2) und B(-2/2/2)
Hmm wär super wenn mir jemand aufjedenfall bezüglich b) helfen könnte und bei a) bin ich mir etwas unsicher! Danke aufjedenfall!
Lg Daniel
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Hallo Blaub33r3,
> Hey Leute,
> a) Ich hab erstmal 2 Richtungsvektoren aufgestellt der
> "Fluggeraden" und dann dazu das Kreuzprodukt gemacht.
>
> [mm]\vec{a}=\overline{P1P2}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
[mm]\vec{a}=\overline{P1P2}=\left(\red{-4}\right)*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{b}=\overline{Q1Q2}=\vektor{-2,4 \\ 1 \\ 1,8}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\vektor{1,8 \\ 3,6 \\ 0,4}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}[/mm] - Vektor des gemeinsames Lotes nennt man das glaube
> ich.
> Jetzt muss ich nur noch die Länge davon bestimmen
>
> d = [mm]|(\vec{q}-\vec{p})*\vec{n_{0}}|[/mm] //Vektor q und p sind
> die Aufpunktvektoren der Geraden, und [mm]n_{0},[/mm] der
> Einheitsvektor des Lotes
>
> der Betrag von [mm]\vec{n}[/mm] ist [mm]\wurzel{(1,8)^2+(3,6)^2+(0,4)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4,04475}[/mm]
>
> Alles nun eingesetzt:
>
> d= [mm]\left(\pmat{ 6 \\ -2 \\ 2 }-\pmat{ 2 \\ 3 \\ 1 } \right)*\bruch{1}{16.36}*\pmat{ 1.8 \\ 3.6 \\ 0.4 }[/mm]
>
> [mm]d=|\bruch{4*1.8-5*3.6+0.4}{16.36}|=2,571234[/mm]
>
> Hm, ist das Richtig?
[mm]d=\bruch{52}{\wurzel{409}}[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> okay b)...Ich verstehe nicht ganz auf welchen Kurs die
> Flugzeuge fliegen,..? Wie oder Was soll man denn
> berechnen?
Wenn die beiden Flugzeuge ihre Geschwindigkeit beibehalten.
Setze hier die Parameter der Geraden gleich, und stelle die Gleichung für deren Abstand auf.
Untersuche dann diese Gleichung auf Extremwerte.
>
> c)
> Kreisgleichung der Radarstation K: [mm]\left( \vec x-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right)^2=9[/mm]
>
> Gerade von Flugzeug A [mm]g:\vec x=\pmat{ 6 \\ -2 \\ 2 }+t\cdot{}\pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 }[/mm]
>
> Jetzt die Geradengleichung in die des Kreises einsetzen und
> dann sollte man doch eigentlich was sinnvolles bekommen...
>
> $ [mm]\left(\begin{pmatrix}2t+6\\-t-3\\2\end{pmatrix} \right)^2=9[/mm]
>
> [mm]4t^2+24t+36+t^2+6t+9+4=9[/mm]
> [mm]5t^2+30t+40=0[/mm]
> [mm]t^2+6t+8=0[/mm]
>
> [mm]t_{1,2}=[/mm] -3 [mm]\pm\wurzel{9-8}[/mm]
>
> [mm]t_{1}=-2[/mm]
> [mm]t_{2}=-4[/mm]
>
> Dann sind die Ein/Austrittspunkte des FLugzeugs:
> A(2/0/2) und B(-2/2/2)
>
>
> Hmm wär super wenn mir jemand aufjedenfall bezüglich b)
> helfen könnte und bei a) bin ich mir etwas unsicher! Danke
> aufjedenfall!
>
> Lg Daniel
>
Gruß
MathePower
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Hey!^^
Irgendwie hab ich keine Vorstellung von dem was von mir verlangt wird...
Ich hab doch bei a) schon das Minimum der Flugzeuge bestimmt?
Wie stelle ich denn die Funktion auf, und auch wenn ich die hätte müsste dann doch wieder der selbige Wert rauskommen, denn ich zuvorberechnet habe...Hmm die Aufgabenstellung verwirrt mich sehr! :-(
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Nein, in der a) hast du den minimalen Abstand der Flugrouten zueinander berechnest.
Kann ja sein, dass Flugzeug A da gerade startet und Flugzeug B auch gerade startet; die Flugzeuge können also theoretisch einen riesen Abstand zueinander haben.
Nun, bei der b) geht es um den minimalen Abstand der Flugzeuge zueinander; daher ist hier auch wichtig, wo sie sich zum Zeitpunkt t befinden.
Setze beide Geradengleichungen in die Abstandsformel ein.
Das, was du erhälst, ist eine Funktion f(t), von welcher du dann die Extrema bestimmst.
Wichtig ist, dass du für beide Geradengleichungen den selben Parameter benutzt, damit du letztendlich nach einem Parameter auflösen kannst.
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen
Lg
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Danke für deine gute Erklärung!
Okay jetzt kommen wir mal zur Praxis...hmm irgendwie passiert was lustiges..
wenn ich d(t) aufstellen möchte kommt was konstantes raus! t heb dich auf bei mir.
Vllt is mein Ansatz immernoch falsch 
[mm] g:x=\vektor{6 \\ -2 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] h:x=\vektor{2 \\ 3 \\ 1}+t*\vektor{2,4 \\ -1 \\ -1,8}
[/mm]
d(t) = [mm] \left( \vektor{6 \\ -2 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ -1 \\ 0} - \vektor{2 \\ 3 \\ 1}-t*\vektor{2,4 \\ -1 \\ -1,8} \right)*\bruch{1}{16,36}*\vektor{1,8 \\ 3,6 \\ 0,4}
[/mm]
und dann komm ich irgendwie d(t) = -10,4/16,325
hmm oh mann, sorry!
schönen abend wünsch ich euch, daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Öm, ich weiß es gerade nicht ganz, was das für ne Formel ist aber ich denke du hast wieder die Formel zur Berechnung des Abstandes von windschiefen Geraden genommen ..... ?
Gibt ja heutzutage für alles eine Formel :D Ich hab das mal mit dem Aufstellen einer Ebene gelernt, die eine der Geraden enthält und parallel zur anderen Geraden ist aber naja, komt auf das gleiche raus.
Auf jeden fall musst du hier die "ganz normale Abstandsformel anwenden":
d(g,h)= [mm] \wurzel{....} [/mm] = d(t)
Da musst du nun jeweils die Koordinaten einsetzen; du kennst das ja bestimmt.
Lg
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Hm, irgendwie habe ich das noch nie gemacht. Aber macht ja nix!^^
[mm] d(t)=\wurzel{(4-0,4t)^2+(-5-2t)^2+(1+1,8t)^2}
[/mm]
die Wurzel kann ich ja ignorieren irgendwie^^
Also wäre das doch so soweit richtig oder?
[mm] d(t)=(4-0,4t)^2+(-5-2t)^2+(1+1,8t)^2
[/mm]
Auf Extrempunkte untersuchen, fertig ?
ICh bin nur soo unendlich müde, ich brauch mal ne Pause^^...
Trotzdem vielen Danke an Alle! Gute Nacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Leider nicht; näheres im 2. Post, den ich gleich schreibe, nachdem ich es selbst durchgerechnet habe.
Es muss ein "mords Term" unter der Wurzel durchkommen, da du wirklich "alles" einsetzen musst; keine Ahnung, was das gerade unter der Wurzel ist :D
Also gib mir 30 Minuten oder so; in 10 Minuten hab ich mein Zeugs zusammen ;)
Lg
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Hallo Blaub33r3,
> Danke für deine gute Erklärung!
>
> Okay jetzt kommen wir mal zur Praxis...hmm irgendwie
> passiert was lustiges..
> wenn ich d(t) aufstellen möchte kommt was konstantes raus!
> t heb dich auf bei mir.
> Vllt is mein Ansatz immernoch falsch
>
> [mm]g:x=\vektor{6 \\ -2 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
Für t=1 wird der Punkt [mm]P_{2}[/mm] nicht erreicht.
Die Geradengleichung für g soll lauten:
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP_{1}}+t*\overrightarrow{P_{1}P_{2}}[/mm]
>
> [mm]h:x=\vektor{2 \\ 3 \\ 1}+t*\vektor{2,4 \\ -1 \\ -1,8}[/mm]
Für t=1 wird der Punkt [mm]Q_{2}[/mm] nicht erreicht.
Die Geradengleichung für h soll lauten:
[mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OQ_{1}}+t*\overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}[/mm]
Das heisst, die Richtungsvektoren der Geraden g und h stimmen nicht.
>
> d(t) = [mm]\left( \vektor{6 \\ -2 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ -1 \\ 0} - \vektor{2 \\ 3 \\ 1}-t*\vektor{2,4 \\ -1 \\ -1,8} \right)*\bruch{1}{16,36}*\vektor{1,8 \\ 3,6 \\ 0,4}[/mm]
>
> und dann komm ich irgendwie d(t) = -10,4/16,325
> hmm oh mann, sorry!
>
> schönen abend wünsch ich euch, daniel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Sry, da hab ich gar nicht drauf geachtet; heißt das, dass er auch diesen Ansatz hätte wählen können?
Ich hab ihn "kategorisch ausgeschlossen", weil ich es halt nur anders kenne und nicht spontan gesehen hab, wie er da auf so eine typische Wurzelgleichung gekommen wäre.
Lg
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Ähmja,.....wieso muss das so sein, ist das nicht egal? Es ist doch nur der Richtungsvektor, wieso muss der jetzt Kriterien erfüllen...
P2 und Q2 können doch auch einen unterschiedlichen Abstand jeweils zu P1 und Q1 haben, dann wärs doch auch nicht richtig mit t=1, also wenn das zutreffen würde?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Soooo; ging doch schneller, als erwartet.
Und mir ist auch gleich aufgefallen, was von Math kritisiert wurde; vielen Dank dafür nochmal.
Um hier wirklich eine Beziehung zwischen den beiden Flugzeugen herstellen zu können, musst du dich hier "strikt an die Regeln halten".
Wir gehen davon aus, dass A in einer Zeiteinheit t von P1 nach P2 fliegt.
Wir gehen davon aus, dass B in einer Zeiteinheit t von Q1 nach Q2 fliegt.
Sonst macht die ganze Rechnung keinen Sinn bzw. geht überhaupt nicht.
Bei dir ist es so, dass deine "Umstellung" der Vektoren beim minimalen Abstand der Strecken ja keinerlei auswirkungen hat; die Strecken sind unendlich lang, da stört es keinen, wenn du sie "in die andere Richtung laufen lässt".
Bei den Flugzeugen schon; wenn die Flugzeuge wie bei dir fliegen, fliegen sie in unterschiedliche Richtungen, als eigentlich gedacht; sie fliegen voneinander weg, statt, dass sie "aufeinander zufliegen".
Hoffe, dass das evtl. deutlich geworden ist.
Meine Geraden wären:
g: [mm] \overrightarrow{OX}_{g}(t) [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -2 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{-8 \\ 4 \\ 0} [/mm]
h: [mm] \overrightarrow{OX}_{h}(t) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{-2,4 \\ 1 \\ 1,8}
[/mm]
d(h,g) = [mm] \wurzel{((6-8t-(2-2,4t))²+(-2+4t-(3+t))²+(2-(1+1,8t))²} [/mm] = d(t)
d'(t)= [mm] \bruch{6,60303*(t-0,899083)}{\wurzel{t²-1,79817t+0,9633303}}
[/mm]
d'(t)=0
t = 0,899083
d''(0,899083) = 16,7742 > 0 => Minimum
Soll heißen, dass die Flugzeuge nach 0,899083 Zeiteinheiten einen minimalen Abstand zueinander besitzen; leider alle Angaben ohne Gewähr, da man sich bei sowas selbst mit CAS mal leicht verhaspelt ;9
So wäre meine Lösung; ich weiß ja noch nicht, ob meinen deinen Weg auch hätte wählen können, wenngleich ich es noch bezweifele.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Do 27.03.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Jap, danke 
Ich finde die Aufgabenstellung hätte man noch präzisieren können/müssen. Aber mir sind die Abhängigkeiten jetzt endlich klar geworden^^..
Lg Daniel
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