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Analysis I/II Vorkurs-Übungsaufgaben www.matheraum.de
Analysis
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Mo 06.02.2012 10:00		30.01.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Inhaltsverzeichnis bzw. den Skriptverweis in der Kursbeschreibung. Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie bequem in einer Woche gelöst werden können.
Die Aufgaben beziehen sich auf das Kapitel "Natürliche Zahlen/Vollständige Induktion" bzw. im Buch "Grundkurs Analysis 1" das Kapitel "Sprache der Analysis: 1.2 Induktion". Sie sollten vertraut sein mit: induktive Menge, Natürliche Zahlen, Vollständige Induktion, Summen- und Produktzeichen, Teleskopsumme, Binomialkoeffizient, Fakultät, Binomischer Lehrsatz, Summenformeln.
Aufgabe 1
Aufgabe I-1: Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die Bernoulli'sche Ungleichung:

$ (1+x)^{n} $ > 1 + nx      für n $ \in \IN, $ n $ \ge $ 2, x $ \in \IR $ , x $ \neq $ 0, x > -1
Aufgabe 2
Aufgabe I-2: Für welche n $ \in \IN $ gilt die Aussage $ n^{2} $ < $ 2^{n}? $ Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion!
Aufgabe 3
Aufgabe I-3: Beweisen Sie:

$ 2\cdot (\wurzel{n+1} $ - $ \wurzel{n} $ ) < $ 1/\wurzel{n} $ < $ 2\cdot (\wurzel{n} $ - $ \wurzel{n-1} $ )
Aufgabe 4
Aufgabe I-4: Berechnen Sie die Summe

$ \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} $

Hinweis: Teleskopsumme !
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