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Lineare Algebra I/II, Vorkurs,	www.matheraum.de Lineare Algebra Aufgabenblatt 4 Abgabe: Mo 05.03.2012 10:00	27.02.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Buch "Lineare Algebra" von Gerd Fischer bzw. auf das Inhaltsverzeichnis, das in der Kursbeschreibung zu finden ist. Die Übungsaufgaben (i.d.R. zu immer einem neuen Kapitel im Buch) können bequem in einer Woche gelöst werden.
Für diese Serie sollten Sie mit folgenden Begriffen vertraut sein: Vektorraum, Unterraum, Familie von Vektoren, aufgespannter/erzeugter Unterraum (span(M) bzw span(v1,...,v_n)), Linearkombination, Lineare Hülle, Lineare (Un-)Abhängigkeit.
Aufgabe 1
IV-1: a) Ist die Menge U:={ $(x_{1},x_{2}) \in \IR^{2}$ ; $x_{1}\cdot{}x_{2}\ge$ 0 } ein Unterraum von $\IR^{2}?$ b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt (auch unendlich vieler) Unterräume eines Vektorraums wieder ein Unterraum von V ist. Gilt dies auch für die Vereinigung?
Aufgabe 2
IV-2: Zeigen Sie, dass die Menge $C_{[a,b]}$ aller stetigen Funktionen f: $[a,b]->\IR$ ein Unterraum des Vektorraums $\IR_{[a,b]}$ aller auf [a,b] definierten reellwertigen Funktionen ist. ( $a,b\in \IR,$ a<b )
Aufgabe 3
IV-3: a) Untersuchen Sie, ob sich x= $\vektor{3 \\ -2 \\ 12},$ y= $\vektor{1 \\ -2 \\ 2}$ und z= $\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ als Linearkombination von u= $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 5}$ und w= $\vektor{ 0 \\ 2 \\ 3}$ im $\IR$ - Vektorraum $\IR^{3}$ darstellen lassen. b) Untersuchen Sie auf lineare Unabhängigkeit: (i) im Vektorraum V = $\IR^3$ über Körper K = $\IR$ : x= $\vektor{0 \\ -1 \\ \pi},$ y= $\vektor{1 \\ 0 \\ \pi}$ und z= $\vektor{1 \\ 1 \\ 0}$ (ii) im Vektorraum V = $\IR$ = Körper K: x = 1, y = $\wurzel{2},$ z = $\wurzel{3}.$ Ändert sich die Lösung, wenn man stattdessen den Körper $\IQ$ betrachtet?
Aufgabe 4
IV-4: Sei V der $\IR$ - Vektorraum aller reellwertigen Funktionen f: $\IR$ -> $\IR$ . Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der folgenden Funktionen aus V: (a) f(x) = $e^{x}$ , g(x) = sin(x) , h(x) = $x^{2}$ (b) f(x) = $e^{x}$ , g(x) = $e^{x^{2}}$ , h(x) = x (c) f(x) = $e^{x}$ , g(x) = sin(x) , h(x) = cos(x)