ÄquivalenzrelationDefinition Äquivalenzrelation
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Es sei  eine Menge. Eine Teilmenge  von  heißt eine Äquivalenzrelation auf , wenn gilt:
  für alle  ,
 aus  folgt  ,
 aus und  folgt  .
Die Eigenschaften , und von heißen (in gleicher Reihenfolge) reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Beispiele
a) Sei  eine Abbildung und
 .
Offensichtlich ist  eine Äquivalenzrelation auf . Der Sonderfall  und  zeigt, dass " " eine Äquivalenzrelation definiert, nämlich  .
b) Für  ist
eine Äquivalenzrelation auf .
c) Es sei  der Vektorraum der Spaltenvektoren über  (der Dimension  ).
ist eine Äquivalenzrelation auf .
d) Es sei  eine Menge von Abbildungen.
ist eine Äquivalenzrelation auf .
Bemerkung:
Sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge . Anstelle von schreibt man oft  oder  oder auch nur  (lies:  äquivalent  ).
In dieser Schreibweise bedeuten die obigen Axiome:
  für alle (reflexiv),
 aus folgt  (symmetrisch),
 aus und  folgt  (transitiv).
Zu heißt die Teilmenge
![$ [x]_R:=\{y \in X\, \vert \, (x,y) \in R\} = \{y \in X\, \vert\, x \sim y\} $](/teximg/1/5/00388151.png "$ [x]_R:=\{y \in X\, \vert \, (x,y) \in R\} = \{y \in X\, \vert\, x \sim y\} $")
die Äquivalenzklasse von (bezüglich ). Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit  bezeichnet:
![$ X/R:=\{[x]_R\, \vert\, x \in X\} $](/teximg/2/5/00388152.png "$ X/R:=\{[x]_R\, \vert\, x \in X\} $") .
Die Abbildung  , gegeben durch ![$ \pi(x) = [x]_R $](/teximg/4/5/00388154.png "$ \pi(x) = [x]_R $") , ist surjektiv und heißt die kanonische Surjektion.
Bemerkung:
Die Bedeutung der Äquivalenzrelation liegt darin, dass man Mengen mit einer Äquivalenzrelation in disjunkte Äquivalenzklassen zerlegen kann und ferner, dass Äquivalenz auf  zur Gleichheit ![$ ([x]=[y]) $](/teximg/8/1/00389318.png "$ ([x]=[y]) $") in führt.
Quelle: isbn3446130799
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