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Austauschsatz
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Austauschsatz

Austauschsatz von Steinitz:

Sei $ v_1,...,v_n\in V $ eine Basis und $ w\in V\setminus\{0\} $ beliebig.

Dann existiert mindestens ein $ i\in\{1,...,n\} $, sodass $ v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n $ Basis von $ V $ ist.

Genauer gilt für $ w=\summe_{i=1}^na_iv_i $, dass man jeden Index $ i $ wählen kann, für den $ a_i\neq0 $ ist.


Erweiterung:

Seien $ v_1,...,v_n\in V $ eine Basis und $ w_1,...,w_k\in V $ linear unabhängig.

Dann existieren $ i_1,...,i_k\in\{1,...,n\} $, sodass $ (w_{1},...,w_{k},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_k\}}) $ eine Basis von $ V $ ist. Insbesondere gilt $ k\le n $.



Beweis zum Austauschsatz von Steinitz:

Beweisidee: Man zeige, dass unter den Voraussetzungen des Satzes von Steinitz $ (v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ ein (1.) linear unabhängiges (2.) Erzeugendensystem ist.

Zum Beweis:
$ v_1,...,v_n $ ist Basis, $ w\neq0 $ $ \Rightarrow $ $ w=a_1v_1+...+a_nv_n $ mit $ a_j\in \IK $ nicht alle gleich $ 0 $.

Sei $ i $ ein Index mit $ a_i\neq0 $. Man zeige nun, dass $ (v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ eine Basis ist.

(1.) linear unabhängig:

Zu zeigen: $ b_1,...,b_n\in\IK $ mit $ b_1v_1+...+b_{i-1}v_{i-1}+b_iw+b_{i+1}v_{i+1}+...+b_nv_n=0 $ (*)   $ \Rightarrow $ $ b_j=0\mbox{ }\forall j=1,...,n $

Setze $ w=\summe_{j=1}^n a_jv_j $ in (*) ein:

         $ \summe_{j=1,\mbox{ } j\neq i}^nb_jv_j+b_i(\summe_{j=1}^na_jv_j)=0 $
         $ \Leftrightarrow $ $ \summe_{j=1,\mbox{ } j\neq i}^n(b_j+b_ia_j)v_j+b_ia_iv_i=0 $,

Aber $ v_1,...,v_n $ sind linear unabhängig. Daraus folgt

         $ b_ia_i=0 $ (-1-) und $ b_j+b_ia_j=0 $ (-2-) $ \forall j $.

Mit (-1-) folgt aus $ a_i\neq0 $

         $ b_i=0 $,

woraus mit (-2-)

         $ b_j=0 $ $ \forall j $

folgt, was zu zeigen war. $ \square $

(2.) Erzeugendensystem:

Zu zeigen: $ v\in V $ beliebig kann man schreiben als

         $ b_1v_1+...+b_{i-1}v_{i-1}+b_iw+b_{i+1}v_{i+1}+...+b_nv_n $ mit entsprechenden $ b_j\in\IK $.

$ v_1,...,v_n $ erzeugen $ V $, d.h. $ \exists c_1,...,c_n \in\IK $:

(a) $ v=\summe_{j=1}^nc_jv_j $

(b) $ a_iv_i=w-\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^na_jv_j $ $ \Rightarrow $ $ v_i=\frac{1}{a_i}w+\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^n\frac{a_j}{a_i}v_j $

Einsetzen von (b) in (a):

$ v=\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^nc_jv_j+c_iv_i=\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^nc_jv_j+c_i(\frac{1}{a_i}w+\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^n\frac{a_j}{a_i}v_j)\in Span(v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ $ \square $




Beweis zur Erweiterung:

Beweisidee: Induktion nach k.

Zum Beweis: Vollständige Induktion

Induktionsanfang: $ k=1 $

$ (v_1,...,v_n) $ ist eine Basis und $ w_1\in V $ linear unabhängig. $ \Rightarrow $ $ w_1\neq0 $. Mit dem Austauschsatz von Steinitz folgt

$ \exists i_1\in\{1,...,n\}:(w_{1},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1\}})\mbox{ ist Basis.} $

Induktionsvoraussetzung (I.V.):

Der Satz gilt für alle $ k\le n_0 $.

Es gilt nun zu zeigen, dass aus der I.V. die Verifizierung des Satzes für $ k=n_0+1 $ folgt.

Induktionsschritt: $ n_0\leadsto n_0+1 $

Seien $ w_1,...,w_{n_0}, w_{n_0+1} $ linear unabhängig. Aus

         $ \exists i_1,...,i_{n_0}: (w_{1},...,w_{n_0},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}})\mbox{ ist Basis.} $

folgt

         $ w_{n_0+1}=\summe_{j=1}^{n_0}a_jw_j+\summe_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}}b_jv_j $            mit $ a_k, b_l\in\IK\mbox{ }\forall k,l. $

Behauptung: $ \exists j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}:b_j\neq0 $

Beweis der Behauptung: Falls alle $ b_j=0 $, folgt

         $ w_{n_0+1}=\summe_{i=1}^{n_0}a_iw_i $
         $ \Leftrightarrow \summe_{i=1}^{n_0}a_iw_i + (-1) w_{n_0+1}=0 $

Das ist aber offensichtlich ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der $ w_1,...,w_{n_0+1}. $ Also existiert ein $ i_{n_0+1}\in\{1,...,n\}\setminus \{i_1,...,i_{n_0}\} $ mit $ b_{i_{n_0+1}}\neq0 $.

Mit dem Austauschsatz von Steinitz folgt

         $ (w_{1},...,w_{n_0},w_{n_0+1},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0+1}\}}) $ ist Basis. $ \square $



Beispiele:

(1.) $ v_1=\vektor{2\\0\\0}, v_2=\vektor{1\\0\\1}, v_3=\vektor{0\\1\\0} $ ist Basis des $ \IR^3 $. Man weise dies zur Übung nach.
Der Vektor $ w=\vektor{3\\2\\3} $ soll ausgetauscht werden.

1. Stelle $ w $ als Linearkombination der $ v_1,v_2,v_3 $ dar.
$ w=\vektor{3\\2\\3}=0\cdot\vektor{2\\0\\0}+3\cdot\vektor{1\\0\\1}+2\cdot\vektor{0\\1\\0}=0\cdot v_1+3\cdot v_2+2\cdot v_3 $

2. Identifikation austauschbarer Vektoren.
Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir den Vektor $ v_i $ austauschen, dessen Koeffizient $ a_i\neq0 $ ist. Im vorliegenden Beispiel können wir also $ v_2 $ oder $ v_3 $ austauschen, nicht aber $ v_1 $, da dessen Koeffizient gerade 0 ist.

3. Austausch unter Anwendung des Austauschsatzes.
Wir entscheiden uns $ v_2 $ gegen $ w $ auszutauschen. Der Austauschsatz von Steinitz impliziert nun, dass $ v_1,w,v_3 $ ebenfalls eine Basis des $ \IR^3 $ ist.


(2.) Basisergänzung:

Ergänzung der Vektoren $ w_1=\vektor{1\\i\\1+i} $ und $ w_2=\vektor{0\\1\\i} $ zu einer Basis $ w_1,w_2,w_3 $ von $ \IC^3 $.

1. Vorüberlegung:

Die Vektoren $ w_1,w_2\in\IC^3 $ müssen linear unabhängig sein, um zu einer Basis ergänzt werden zu können. Im vorliegenden Fall ist die einzige Lösung des linearen Gleichungssystems, das aus

$ \lambda_1\vektor{1\\i\\1+i}+\lambda_2\vektor{0\\1\\i}=\vektor{0\\0\\0} $

resultiert, wie man leicht sieht, $ \lambda_1=\lambda_2=0 $. (Man sieht so etwas "leicht", indem man die erste Zeile des linearen Gleichungssystems betrachtet, woraus $ \lambda_1=0 $ folgt. Das impliziert wiederum $ \lambda_2=0. $)
Also sind die beiden Vektoren linear unabhängig und mögliche Kandidaten für eine Basisergänzung.

2. Vorgehen:

Es ist evident, dass jede Basis des $ \IC^3 $ aus 3 Vektoren besteht. Es bestehen zwei mögliche Vorgehensweisen $ w_1 $ und $ w_2 $ zu einer Basis zu ergänzen.

(1.) Der zu ergänzende Vektor $ v $ wird erraten. Man zeigt über die Definition einer Basis (nur lineare Unabhängigkeit zu prüfen), dass

         $ w_1,w_2,v $

das gewünschte erfüllen, also tatsächlich eine Basis des $ \IC^3 $ darstellen.

(2.) Man nutzt den Austauschsatz und tauscht $ w_1,w_2 $ gegen zwei Basisvektoren einer bekannten Basis des $ \IC^3 $. Am naheliegendsten ist wohl die kanonische Basis des $ \IC^3 $, die, wie für jeden $ \IK $-Vektorraum $ \IK^3 $, durch die Vektoren

         $ v_1=\vektor{1\\0\\0}, $ $ v_2=\vektor{0\\1\\0}, $ $ v_3=\vektor{0\\0\\1} $

gegeben ist.

Während Möglichkeit (1.) die wohl zeiteffektivere ist, bietet Möglichkeit (2.) den Vorteil, dass sie bar jeder Kreativität ein eher algorithmisches bzw. standardisiertes Vorgehen aufweist und damit recht einfach handzuhaben ist. An dieser Stelle wird Möglichkeit (2.) weiter verfolgt.

3. Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz:

Durch wiederholte Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz, werden die Vektoren jeweils nacheinander ausgetauscht. Ebendieses Vorgehen wurde auch im Beweis der Erweiterung verfolgt. Das Verfahren gestaltet sich dabei wie folgt:

a) $ w_1 $ wird als Linearkombination der $ v_1,v_2,v_3 $ geschrieben. Es wird derjenige Vektor $ v_i $ ausgetauscht, dessen zugehöriger Koeffizient $ a_i\neq0 $ ist.

         $ w_1=\vektor{1\\i\\1+i}=1\cdot\vektor{1\\0\\0}+i\cdot\vektor{0\\1\\0}+(1+i)\vektor{0\\0\\1}=1\cdot v_1+i\cdot v_2+(1+i)v_3 $

Man hat nach dem Austauschsatz die Möglichkeit einen der Vektoren $ v_1,v_2,v_3 $ gegen $ w_1 $ auszutauschen, um so eine Basis zu erhalten, da die Koeffizienten $ a_i\neq0 $ $ \forall i=1,2,3 $ sind.
Nach Steinitz folgt, dass

         $ v_1,w_1,v_3 $

eine Basis ist. Hierbei wird gemäß der Aussage des Satzes $ i_1=2 $ gewählt, s.d. $ w_1 $ mit den Vektoren $ v_j $ mit $ j\in\{1,2,3\}\setminus\{2\} $ eine Basis von $ \IC^3 $ bildet.

b) Schritt a) wird für den Vektor $ w_2 $ wiederholt.

         $ w_2=\vektor{0\\1\\i}=i\cdot\vektor{1\\0\\0}+(-i)\cdot\vektor{1\\i\\1+i}+(i-1)\cdot\vektor{0\\0\\1}=i\cdot v_1+(-i)\cdot w_1+(i-1)\cdot v_3 $

Auch hier besteht die Möglichkeit alle drei Vektoren $ v_1,w_1,v_3 $ auszutauschen, wobei die Wahl von $ w_1 $ wohl nicht zielführend sein wird. Es wird daher $ i_2=3 $ gewählt, s.d. $ w_1 $ und $ w_2 $ zusammen mit allen $ v_j $ mit $ j\in\{1,2,3\}\setminus\{2,3\} $, also $ j=1 $, eine Basis bilden.

Also lassen sich $ w_1 $ und $ w_2 $ durch den Vektor $ v_1 $ zu einer Basis

         $ \left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\i\\1+i},\vektor{0\\1\\i}\right) $

ergänzen.

Erstellt: Mi 24.09.2014 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 27.09.2014 um 15:38 von Ladon
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