matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Austauschsatz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Austauschsatz
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Austauschsatz

Austauschsatz von Steinitz:

Sei $ v_1,...,v_n\in V $ eine Basis und $ w\in V\setminus\{0\} $ beliebig.

Dann existiert mindestens ein $ i\in\{1,...,n\} $, sodass $ v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n $ Basis von $ V $ ist.

Genauer gilt für $ w=\summe_{i=1}^na_iv_i $, dass man jeden Index $ i $ wählen kann, für den $ a_i\neq0 $ ist.


Erweiterung:

Seien $ v_1,...,v_n\in V $ eine Basis und $ w_1,...,w_k\in V $ linear unabhängig.

Dann existieren $ i_1,...,i_k\in\{1,...,n\} $, sodass $ (w_{1},...,w_{k},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_k\}}) $ eine Basis von $ V $ ist. Insbesondere gilt $ k\le n $.



Beweis zum Austauschsatz von Steinitz:

Beweisidee: Man zeige, dass unter den Voraussetzungen des Satzes von Steinitz $ (v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ ein (1.) linear unabhängiges (2.) Erzeugendensystem ist.

Zum Beweis:
$ v_1,...,v_n $ ist Basis, $ w\neq0 $ $ \Rightarrow $ $ w=a_1v_1+...+a_nv_n $ mit $ a_j\in \IK $ nicht alle gleich $ 0 $.

Sei $ i $ ein Index mit $ a_i\neq0 $. Man zeige nun, dass $ (v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ eine Basis ist.

(1.) linear unabhängig:

Zu zeigen: $ b_1,...,b_n\in\IK $ mit $ b_1v_1+...+b_{i-1}v_{i-1}+b_iw+b_{i+1}v_{i+1}+...+b_nv_n=0 $ (*)   $ \Rightarrow $ $ b_j=0\mbox{ }\forall j=1,...,n $

Setze $ w=\summe_{j=1}^n a_jv_j $ in (*) ein:

         $ \summe_{j=1,\mbox{ } j\neq i}^nb_jv_j+b_i(\summe_{j=1}^na_jv_j)=0 $
         $ \Leftrightarrow $ $ \summe_{j=1,\mbox{ } j\neq i}^n(b_j+b_ia_j)v_j+b_ia_iv_i=0 $,

Aber $ v_1,...,v_n $ sind linear unabhängig. Daraus folgt

         $ b_ia_i=0 $ (-1-) und $ b_j+b_ia_j=0 $ (-2-) $ \forall j $.

Mit (-1-) folgt aus $ a_i\neq0 $

         $ b_i=0 $,

woraus mit (-2-)

         $ b_j=0 $ $ \forall j $

folgt, was zu zeigen war. $ \square $

(2.) Erzeugendensystem:

Zu zeigen: $ v\in V $ beliebig kann man schreiben als

         $ b_1v_1+...+b_{i-1}v_{i-1}+b_iw+b_{i+1}v_{i+1}+...+b_nv_n $ mit entsprechenden $ b_j\in\IK $.

$ v_1,...,v_n $ erzeugen $ V $, d.h. $ \exists c_1,...,c_n \in\IK $:

(a) $ v=\summe_{j=1}^nc_jv_j $

(b) $ a_iv_i=w-\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^na_jv_j $ $ \Rightarrow $ $ v_i=\frac{1}{a_i}w+\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^n\frac{a_j}{a_i}v_j $

Einsetzen von (b) in (a):

$ v=\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^nc_jv_j+c_iv_i=\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^nc_jv_j+c_i(\frac{1}{a_i}w+\summe_{j=1, \mbox{ } j\neq i}^n\frac{a_j}{a_i}v_j)\in Span(v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n) $ $ \square $




Beweis zur Erweiterung:

Beweisidee: Induktion nach k.

Zum Beweis: Vollständige Induktion

Induktionsanfang: $ k=1 $

$ (v_1,...,v_n) $ ist eine Basis und $ w_1\in V $ linear unabhängig. $ \Rightarrow $ $ w_1\neq0 $. Mit dem Austauschsatz von Steinitz folgt

$ \exists i_1\in\{1,...,n\}:(w_{1},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1\}})\mbox{ ist Basis.} $

Induktionsvoraussetzung (I.V.):

Der Satz gilt für alle $ k\le n_0 $.

Es gilt nun zu zeigen, dass aus der I.V. die Verifizierung des Satzes für $ k=n_0+1 $ folgt.

Induktionsschritt: $ n_0\leadsto n_0+1 $

Seien $ w_1,...,w_{n_0}, w_{n_0+1} $ linear unabhängig. Aus

         $ \exists i_1,...,i_{n_0}: (w_{1},...,w_{n_0},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}})\mbox{ ist Basis.} $

folgt

         $ w_{n_0+1}=\summe_{j=1}^{n_0}a_jw_j+\summe_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}}b_jv_j $            mit $ a_k, b_l\in\IK\mbox{ }\forall k,l. $

Behauptung: $ \exists j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0}\}:b_j\neq0 $

Beweis der Behauptung: Falls alle $ b_j=0 $, folgt

         $ w_{n_0+1}=\summe_{i=1}^{n_0}a_iw_i $
         $ \Leftrightarrow \summe_{i=1}^{n_0}a_iw_i + (-1) w_{n_0+1}=0 $

Das ist aber offensichtlich ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der $ w_1,...,w_{n_0+1}. $ Also existiert ein $ i_{n_0+1}\in\{1,...,n\}\setminus \{i_1,...,i_{n_0}\} $ mit $ b_{i_{n_0+1}}\neq0 $.

Mit dem Austauschsatz von Steinitz folgt

         $ (w_{1},...,w_{n_0},w_{n_0+1},(v_j)_{j\in\{1,...,n\}\setminus\{i_1,...,i_{n_0+1}\}}) $ ist Basis. $ \square $



Beispiele:

(1.) $ v_1=\vektor{2\\0\\0}, v_2=\vektor{1\\0\\1}, v_3=\vektor{0\\1\\0} $ ist Basis des $ \IR^3 $. Man weise dies zur Übung nach.
Der Vektor $ w=\vektor{3\\2\\3} $ soll ausgetauscht werden.

1. Stelle $ w $ als Linearkombination der $ v_1,v_2,v_3 $ dar.
$ w=\vektor{3\\2\\3}=0\cdot\vektor{2\\0\\0}+3\cdot\vektor{1\\0\\1}+2\cdot\vektor{0\\1\\0}=0\cdot v_1+3\cdot v_2+2\cdot v_3 $

2. Identifikation austauschbarer Vektoren.
Nach dem Austauschsatz von Steinitz können wir den Vektor $ v_i $ austauschen, dessen Koeffizient $ a_i\neq0 $ ist. Im vorliegenden Beispiel können wir also $ v_2 $ oder $ v_3 $ austauschen, nicht aber $ v_1 $, da dessen Koeffizient gerade 0 ist.

3. Austausch unter Anwendung des Austauschsatzes.
Wir entscheiden uns $ v_2 $ gegen $ w $ auszutauschen. Der Austauschsatz von Steinitz impliziert nun, dass $ v_1,w,v_3 $ ebenfalls eine Basis des $ \IR^3 $ ist.


(2.) Basisergänzung:

Ergänzung der Vektoren $ w_1=\vektor{1\\i\\1+i} $ und $ w_2=\vektor{0\\1\\i} $ zu einer Basis $ w_1,w_2,w_3 $ von $ \IC^3 $.

1. Vorüberlegung:

Die Vektoren $ w_1,w_2\in\IC^3 $ müssen linear unabhängig sein, um zu einer Basis ergänzt werden zu können. Im vorliegenden Fall ist die einzige Lösung des linearen Gleichungssystems, das aus

$ \lambda_1\vektor{1\\i\\1+i}+\lambda_2\vektor{0\\1\\i}=\vektor{0\\0\\0} $

resultiert, wie man leicht sieht, $ \lambda_1=\lambda_2=0 $. (Man sieht so etwas "leicht", indem man die erste Zeile des linearen Gleichungssystems betrachtet, woraus $ \lambda_1=0 $ folgt. Das impliziert wiederum $ \lambda_2=0. $)
Also sind die beiden Vektoren linear unabhängig und mögliche Kandidaten für eine Basisergänzung.

2. Vorgehen:

Es ist evident, dass jede Basis des $ \IC^3 $ aus 3 Vektoren besteht. Es bestehen zwei mögliche Vorgehensweisen $ w_1 $ und $ w_2 $ zu einer Basis zu ergänzen.

(1.) Der zu ergänzende Vektor $ v $ wird erraten. Man zeigt über die Definition einer Basis (nur lineare Unabhängigkeit zu prüfen), dass

         $ w_1,w_2,v $

das gewünschte erfüllen, also tatsächlich eine Basis des $ \IC^3 $ darstellen.

(2.) Man nutzt den Austauschsatz und tauscht $ w_1,w_2 $ gegen zwei Basisvektoren einer bekannten Basis des $ \IC^3 $. Am naheliegendsten ist wohl die kanonische Basis des $ \IC^3 $, die, wie für jeden $ \IK $-Vektorraum $ \IK^3 $, durch die Vektoren

         $ v_1=\vektor{1\\0\\0}, $ $ v_2=\vektor{0\\1\\0}, $ $ v_3=\vektor{0\\0\\1} $

gegeben ist.

Während Möglichkeit (1.) die wohl zeiteffektivere ist, bietet Möglichkeit (2.) den Vorteil, dass sie bar jeder Kreativität ein eher algorithmisches bzw. standardisiertes Vorgehen aufweist und damit recht einfach handzuhaben ist. An dieser Stelle wird Möglichkeit (2.) weiter verfolgt.

3. Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz:

Durch wiederholte Anwendung des Austauschsatzes von Steinitz, werden die Vektoren jeweils nacheinander ausgetauscht. Ebendieses Vorgehen wurde auch im Beweis der Erweiterung verfolgt. Das Verfahren gestaltet sich dabei wie folgt:

a) $ w_1 $ wird als Linearkombination der $ v_1,v_2,v_3 $ geschrieben. Es wird derjenige Vektor $ v_i $ ausgetauscht, dessen zugehöriger Koeffizient $ a_i\neq0 $ ist.

         $ w_1=\vektor{1\\i\\1+i}=1\cdot\vektor{1\\0\\0}+i\cdot\vektor{0\\1\\0}+(1+i)\vektor{0\\0\\1}=1\cdot v_1+i\cdot v_2+(1+i)v_3 $

Man hat nach dem Austauschsatz die Möglichkeit einen der Vektoren $ v_1,v_2,v_3 $ gegen $ w_1 $ auszutauschen, um so eine Basis zu erhalten, da die Koeffizienten $ a_i\neq0 $ $ \forall i=1,2,3 $ sind.
Nach Steinitz folgt, dass

         $ v_1,w_1,v_3 $

eine Basis ist. Hierbei wird gemäß der Aussage des Satzes $ i_1=2 $ gewählt, s.d. $ w_1 $ mit den Vektoren $ v_j $ mit $ j\in\{1,2,3\}\setminus\{2\} $ eine Basis von $ \IC^3 $ bildet.

b) Schritt a) wird für den Vektor $ w_2 $ wiederholt.

         $ w_2=\vektor{0\\1\\i}=i\cdot\vektor{1\\0\\0}+(-i)\cdot\vektor{1\\i\\1+i}+(i-1)\cdot\vektor{0\\0\\1}=i\cdot v_1+(-i)\cdot w_1+(i-1)\cdot v_3 $

Auch hier besteht die Möglichkeit alle drei Vektoren $ v_1,w_1,v_3 $ auszutauschen, wobei die Wahl von $ w_1 $ wohl nicht zielführend sein wird. Es wird daher $ i_2=3 $ gewählt, s.d. $ w_1 $ und $ w_2 $ zusammen mit allen $ v_j $ mit $ j\in\{1,2,3\}\setminus\{2,3\} $, also $ j=1 $, eine Basis bilden.

Also lassen sich $ w_1 $ und $ w_2 $ durch den Vektor $ v_1 $ zu einer Basis

         $ \left(\vektor{1\\0\\0},\vektor{1\\i\\1+i},\vektor{0\\1\\i}\right) $

ergänzen.

Erstellt: Mi 24.09.2014 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 27.09.2014 um 15:38 von Ladon
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]