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4. "für alle"-Aussagen
Lösungsvorschlag Aufgabe 18
Aufgabe:
Sei eine monoton fallende Funktion. Seien und reelle Zahlen. Zeige, dass auch die Funktion monoton fallend ist.
Überlegungen zur Lösung:
Gegeben:
eine Funktion ![$ f\colon\IR\to\IR $ $ f\colon\IR\to\IR $](/teximg/4/4/00286144.png)
monoton fallend, d.h. für alle reellen Zahlen und mit .
die Funktion ![$ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $ $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $](/teximg/4/7/02234374.png)
Zu zeigen:
monoton fallend, d.h. für alle reellen Zahlen und mit .
Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahlen und mit und wollen zeigen.
Wegen und ist also zu zeigen.
Um eine Beziehung zwischen und herzustellen, wollen wir die Voraussetzung, dass für alle reellen Zahlen und mit gilt, auf und anwenden. Tatsächlich sind beides reelle Zahlen und wegen gilt auch . Also erhalten wir .
Nun folgt unmittelbar die gewünschte Ungleichung .
Lösungsvorschlag:
Zu zeigen ist, dass monoton fallend ist, d.h. dass für alle reellen Zahlen und mit gilt.
Seien also und reelle Zahlen mit . Zu zeigen ist .
Aus folgt .
Da monoton fallend ist, gilt für alle reellen Zahlen und mit .
Insbesondere gilt .
Es folgt , was zu zeigen war.
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