matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial_A18
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial_A18
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A18

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 18


Aufgabe:

Sei $ f\colon\IR\to\IR $ eine monoton fallende Funktion. Seien $ a\ $ und $ b\ $ reelle Zahlen. Zeige, dass auch die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $ monoton fallend ist.


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
eine Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ monoton fallend, d.h. $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
die Funktion $ g\colon\IR\to\IR,\;g(x)=f(x-a)+b $
Zu zeigen:
$ g\ $ monoton fallend, d.h. $ g(x_1)\ge g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahlen $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ und wollen $ g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2}) $ zeigen.

Wegen $ g(\widetilde{x_1})=f(\widetilde{x_1}-a)+b $ und $ g(\widetilde{x_2})=f(\widetilde{x_2}-a)+b $ ist also $ f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b $ zu zeigen.

Um eine Beziehung zwischen $ f(\widetilde{x_1}-a) $ und $ f(\widetilde{x_2}-a) $ herzustellen, wollen wir die Voraussetzung, dass $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt, auf $ \widetilde{x_1}-a $ und $ \widetilde{x_2}-a $ anwenden. Tatsächlich sind beides reelle Zahlen und wegen $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ gilt auch $ \widetilde{x_1}-a\le\widetilde{x_2}-a $. Also erhalten wir $ f(\widetilde{x_1}-a)\ge f(\widetilde{x_2}-a) $.

Nun folgt unmittelbar die gewünschte Ungleichung $ f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b $.


Lösungsvorschlag:

Zu zeigen ist, dass $ g $ monoton fallend ist, d.h. dass $ g(x_1)\ge g(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $ gilt.
Seien also $ \widetilde{x_1} $ und $ \widetilde{x_2} $ reelle Zahlen mit $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $. Zu zeigen ist $ g(\widetilde{x_1})\ge g(\widetilde{x_2}) $.
Aus $ \widetilde{x_1}\le\widetilde{x_2} $ folgt $ \widetilde{x_1}-a\le\widetilde{x_2}-a $.
Da $ f\ $ monoton fallend ist, gilt $ f(x_1)\ge f(x_2) $ für alle reellen Zahlen $ x_1 $ und $ x_2 $ mit $ x_1\le x_2 $.
Insbesondere gilt $ f(\widetilde{x_1}-a)\ge f(\widetilde{x_2}-a) $.
Es folgt $ g(\widetilde{x_1})=f(\widetilde{x_1}-a)+b\ge f(\widetilde{x_2}-a)+b=g(\widetilde{x_2}) $, was zu zeigen war.

Erstellt: Sa 12.10.2013 von tobit09
Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 06:13 von tobit09
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]