matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteEbenengleichungen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Ebenengleichungen
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Ebenengleichungen

Gegenseitige Lage zweier Ebenen im Raum

Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen

$ E_1:r_1x_1+r_2x_2+r_3x_3+r_4=0 $
und
$ E_2:s_1x_1+s_2x_2+s_3x_3+s_4=0 $

gibt es drei Möglichkeiten:

  1. die Ebenen fallen zusammen (sind also identisch, werden aber durch zwei unterschiedliche Gleichungen beschrieben),
  2. die Ebenen sind echt parallel (haben also keinen Punkt gemeinsam),
  3. die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.

Die Ebenengleichungen können stets durch Division auf eine Form gebracht werden, in der die Koeffizienten r_i bzw. s_i (i=1,2,3) teilerfremde ganze Zahlen sind.

(1) Gilt nach einer solchen Umformung: $ r_1=s_1 \wedge r_2=s_2 \wedge r_3=s_3 \wedge r_4=s_4 $ ,
dann fallen die Ebenen zusammen, die Gleichungen beschreiben in Wahrheit dieselbe Ebene: $ E_1=E_2 $.

(2)  Gilt nach einer solchen Umformung: $ r_1=s_1 \wedge r_2=s_2 \wedge r_3=s_3 \wedge r_4\not =s_4 $ ,
dann sind die beiden Ebenen echt parallel, sie haben keinen gemeinsamen Punkt: $ E_1\parallel E_2 $.

(3) Stimmen die Koeffizienten $ r_i \not= s_i (\text{ mit } i=1,2,3) $ nicht paarweise überein,
dann schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden s.
Die Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene heißt Spurgerade.


Vorgehen beim Überprüfen

Sind die beiden Ebenen durch die Normalenform oder die Koordinatenform der Ebenengleichung gegeben, kann man nach dem oben genannten Schema die Lage überprüfen:
(1) $ \vektor{r_1\\r_2\\r_3}=\lambda\vektor{s_1\\s_2\\s_3} $ und $ r_4=s_4 \gdw E_1=E_2 $

(2) $ \vektor{r_1\\r_2\\r_3}=\lambda\vektor{s_1\\s_2\\s_3} $ und $ r_4\not =s_4 \gdw E_1 \parallel E_2 $

(3) Man betrachtet z.B. das lineare Gleichungssystem:

$ \vmat{2x_1+x_2-2x_3=0 \\ x_1-x_2+3x_3=0} $

Da die zwei Gleichungen drei Variable enthalten, kann eine frei gewählt werden und anschließend die anderen bestimmt werden:
$ \vmat{2\lambda+x_2-2x_3=0 \\ \lambda-x_2+3x_3=0} \gdw \vmat{x_3=3-3\lambda\\x_2=9-8\lambda} \gdw s:\vec{x}=\vektor{0\\9\\3}+\lambda \vektor{1\\-8\\-3} $



siehe: [link]Wikipedia

Letzte Änderung: Di 03.11.2009 um 21:28 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]