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Formeln_Finanzmathematik
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Formeln Finanzmathematik

Inhalt:

Barwerte, Zeitrenten, Leibrenten

  • Nachschüssige Rentenzahlungen
  • Kapitalabfindung einer Zeitrente
  • Zeitrente anstelle eines Kapitalbetrages
  • Kapitalaufbau und -verzehr (Sparkassenformel)
  • Barwert einer ewigen Zahlung
  • Laufzeit einer Rente durch Kapitalentnahme
  • Verdopplungszeiten
  • Arithmetisch fortschreitende Renten
  • Geometrisch fortschreitende Renten
  • Veränderliche Renten mit ewiger Laufzeit

Sparen und Renditen

  • Endguthaben regelmäßiger Einzahlungen
  • Rendite von Festgeldern
  • Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)

Tilgungsrechnung

  • Annuitätentilgung
  • Restschuld
  • Tilgungsrate
  • Zinszahlung
  • Tilgungsdauer



Nachschüssige, jährliche Rentenzahlung

$ R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1} $

Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang am Ende jeden Jahres 100 € auf ein Sparkonto, auf dem das Kapital zu 10 % Zinseszinsen angesammelt wird. Über welchen Betrag wird der Sparer am Ende des 5. Jahres verfügen?

$ R_5 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}10)^5 -1}{1{,}10 -1} $

$ R_5 = 610{,}51 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte



Nachschüssige, jährliche Rentenbarwert:

$ R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^n} $

Beispiel:
Jemand erhält 5 Jahre lang nachschüssig je 100 €, die er zinseszinslich zu 10 % ansammeln will. Er möchte aber bereits heute über den Gesamtwert der Rente abzüglich zu zahlender Zinsen verfügen. Welchen Wert hat die Rente zu Beginn des Rentenvorgangs? Wie groß ist mit anderen Worten der Rentenbarwert?

$ R_0 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}10)^5 -1}{1{,}10-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}10)^5} $

$ R_0 = 379{,}08 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte




Kapitalabfindung einer Zeitrente

Nachschüssige Rentenbarwertformel:

$ R_0 = r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^n} $

Beispiel:
Jemand erhält 5 Jahre lang nachschüssig je 100 Euro, die er zinseszinslich zu 10 % ansammeln will. Er möchte aber bereits heute über den Gesamtwert der Rente abzüglich zu zahlender Zinsen verfügen. Welchen Wert hat die Rente zu Beginn des Rentenvorgangs? Wie groß ist mit anderen Worten der Rentenbarwert?

$ R_0 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}1)^5-1}{1{,}1-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}1)^5} $

$ R_0  = 379{,}08 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte



Vorschüssige Rentenbarwertformel:

$ R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}} $

Beispiel:
Ein Unternehmer benötigt für 5 Jahre einen Lagerplatz, der eine jährlichvorschüssige Pacht von je 10.000 € kostet. Durch welche einmalige Zahlung zu Beginn des Pachtverhältnisses könnte die gesamte Pachtverpflichtung für den gesamten Zeitraum abgelöst werden, wenn mit 8 % Jahreszinsen kalkuliert wird?

$ R_0 = 10.000\cdot{}\bruch{(1{,}08)^5 -1}{1{,}08-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}08)^4} $

$ R_0 = 43.121{,}27 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte





Zeitrente anstelle eines Kapitalbetrages

bei gegebenem Rentenendwert (nachschüssig):

$ r = R_n\cdot{}\bruch{q-1}{q^{n}-1} $

Beispiel:
Ein Sparer beschließt an seinem 18. Geburtstag, dass er an seinem 65. Geburtstag 1.000.000 Euro durch jährlich-nachschüssige Raten bei 6 % Zinsen zusammengespart haben will. Er will wissen, wie hoch die Jahresraten sein müssen, um das gesteckte Ziel zu erreichen.

$ r = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}06-1}{(1{,}06)^{47}-1} $

$ r = 4.147{,}68 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte



bei gegebenem Rentenbarwert (nachschüssig):

$ r = R_0 \cdot{}q^n \cdot{}\bruch{q-1}{q^n -1} $

Beispiel:
Ein Student erhält zu Beginn seines Studiums von seinem Patenonkel eine Schenkung von 24.000 €. Der Student möchte sein genau 5-jähriges Studium von diesem Geld finanzieren. Welchen konstanten Betrag kann er jährlich nachschüssig bei 6 % Zinsen von der Bank abheben, damit das Geld genau 5 Jahre reicht?

$ r = 24.000\cdot{}(1{,}05)^5 \cdot{}\bruch{1{,}06 -1}{(1{,}06)^5 -1} $

r = 5.697,51


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte




Kapitalaufbau und -verzehr (Sparkassenformel)

Kapitalaufbau (nachschüssige Zahlungen):

$ K_n = K_0 \cdot{} q^n + r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1} $


Beispiel:
Ein wohlhabender Patenonkel gibt seinem Patenkind als Taufgeschenk ein Sparbuch mit 5.000 € (Einzahlung am Geburtstag). Darüber hinaus zahlt er an jedem weiteren Geburtstag 500 € auf das Konto ein. Über welches Guthaben kann das Patenkind nach seinem 18. Geburtstag verfügen (6 % Verzinsung)? Die Einzahlungen sind nachschüssig!


$ K_{18} = 5.000\cdot{}(1{,}06)^{18} + 500\cdot{}\bruch{(1{,}06)^{18}-1}{1{,}06-1} $

$ K_{18} = 29.724{,}53 € $


Quelle: Mathematik, Weltbildverlag




Kapitalverzehr (vorschüssige Zahlungen):

$ K_n = K_0 \cdot{}q^n - r\cdot{}q\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1} $

Beispiel:
Ein Kaufmann verkauft sein Geschäft an seinem 65. Geburtstag und erhält dafür 500.000 €. Dieses Kapital legt er an seinem 66. Geburtstag zu 5,75 % an und hebt davon jährlich 24.000 € vorschüssig ab, zuerst an seinem 66. Geburtstag. Wie hoch ist der Kontostand kurz vor seinem 80. Geburtstag?

$ K_n = 500.000\cdot{}(1{,}0575)^{14} - 24.000\cdot{}1{,}0575\cdot{}\bruch{(1{,}0575)^{14}-1}{1{,}0575-1} $

$ K_n = 569.591{,}11 € $


Quelle: Mathematik, Weltbildverlag






Barwert einer ewigen Zahlung

Der Barwert einer ewigen jährlich nachschüssig zahlbaren Rente beträgt:

$ R_0 = \bruch{r}{i} $

Der Barwert einer jährlichen ewigen Rente mit vorschüssigen Zahlungen beträgt:

$ R_0 =\bruch{rq}{i} $

Beispiel:
Die Erbpacht für ein Grundstück ist auf 1.000 Euro pro Jahr festgelegt. Der Vertrag soll "für immer und ewig laufen". Welcher Wert ist dem Grundstück bei 4 % p.a. beizumessen, wenn die Erbpacht entweder a) am Jahresende oder b) am Jahresanfang fällig wird?

a)
$ R_0 = \bruch{1.000}{0{,}04} $

$ R_0 = 25.000 $

b)
$ R_0 = \bruch{1.000\cdot{}1{,}04}{0{,}04} $

$ R_0 = 26.000 $


Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finanzwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig





Laufzeit einer Rente durch Kapitalentnahme

Ist der Zinssatz i, die jährliche Rente r und der Rentenbarwert gegeben, so kann die Laufzeit nach folgender Formel berechnet werden:

$ n = -\bruch{\lg(1-\bruch{R_0}{r}i)}{\lg(1+i)} $

Beispiel:
Wie lange reicht ein Kapital von 10.000 Euro, wenn Sie bei 5 % Zins am Ende jeden Jahres 1.000 Euro entnehmen?

$ n = -\bruch{\lg(1-\bruch{10.000}{1.000}\cdot{}0{,}05)}{\lg(1{,}05)} $

$ n = 14{,}207 $ Jahre


Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finanzwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig




Endguthaben regelmäßiger Einzahlungen


Nachschüssige Rentenendwertformel:

$ R_n =  r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1} $

Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang am Ende jeden Jahres 100 Euro auf ein Sparkonto, auf dem das Kapital zu 10 % Zinseszins angesammelt wird. Über welchen Betrag wird der Sparer am Ende des 5. Jahres verfügen?

$ R_n = 100\cdot{}\bruch{(1{,}1)^{5}-1}{1{,}1-1} $

$ R_n = 610{,}51 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte




Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)

$ p_r = (\bruch{1+i_{nom}}{1+i_{infl}}-1)\cdot{}100 $

Beispiel:
Jemand legt 10.000 € fünf Jahre zu 5 % an. die Inflationsrate beträgt 4 % jährlich.
a) Berechne die reale Verzinsung.
b) Berechne das reale (= inflationsbereinigte) Endkapital nach 5 Jahren.

$ a) p_r = (\bruch{1,05}{1,04}-1)\cdot{}100 = 0,96 $

$ b) K_5 = 10.000\cdot{}\bruch{1,05}{1,04}^5 = 10.490,10 € $


Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg



Vorschüssige Rentenendwertformel:

$ R_n = r\cdot{}q\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1} $


Beispiel:
Jemand zahlt jährlich-vorschüssig 12 Jahre lang 624 € bei einer Bank ein, die die Einlagen mit 8 % verzinst. Auf welchem Betrag ist das Kapital nach Ablauf der 12 Jahre angewachsen?

$ R_n = 624\cdot{}1{,}08\cdot{}\bruch{(1{,}08)^{12}-1}{1{,}08-1} $

$ R_n = 12.789{,}07 $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte





Verdopplungszeiten

$ n = \bruch{\ln (2)}{\ln (q)} $


Beispiel:
In wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei einer Verzinsung von 5 %?

$ n = \bruch{\ln (2)}{\ln (1{,}05)} $

$ n = 14{,}206 $ Jahre


Faustformel für Verdopplungszeiten:

$ \text{Verdopplungszeit } = \bruch{70}{p} $


Beispiel für Faustformel:

$ \bruch{70}{5} = 14 \text{ Jahre} $


Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg



Verdopplungszeiten bei vierteljährlicher Verzinsung:

Beispiel:
Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital, falls die Verzinsung vierteljährlich mit 1,5 % erfolgt?

$ 2 = (1{,}015)^{m\cdot{}n} $

bzw.

$ 2 = (1{,}015)^{4\cdot{}n} $

$ n = \bruch{1}{4}\bruch{\ln(2)}{\ln(1{,}015)} $

$ n = 11{,}64 $  Jahre


Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg




Endwert einer arithmetisch fortschreitenden Rente

$ R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{i} + \bruch{d}{i}\cdot{}(\bruch{q^n -1}{i}-n) $

Beispiel:
Am Jahresende werden 1.000 € auf ein Konto zu 5 % p.a. Verzinsung eingezahlt. Ferner werden am Ende jedes folgenden Jahres ein Betrag, der jeweils 300 € über den Vorjahreswert liegt, eingezahlt. Wie groß ist das Kapital nach 7 Jahren?

$ R_7 = 1.000\cdot{}\bruch{1{,}05^7 -1}{0{,}05}+\bruch{300}{0{,}05}\cdot{}(\bruch{1{,}05^7 -1}{0{,}05}-7) $

$ R_7 = 14.994{,}06 $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Barwert einer arithmetisch fortschreitenden Rente

$ R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{iq^n}+\bruch{d}{i}\cdot{}(\bruch{q^n -1}{iq^n}-nq^{-n}) $

Beispiel:
Anna ist verpflichtet, fünf Jahre lang eine Rente zu zahlen, die mit 8.000 € beginnt und jährlich um 750 € wächst. Wie viel Kapital muss sie bereitstellen, wenn der Zinssatz bei 6 % liegt?

$ R_0 = 8.000\cdot{}\bruch{1,06^5 -1}{0,06\cdot{}1,06^5}+\bruch{750}{0,06}\cdot{}(\bruch{1,06^5 -1}{0,06\cdot{}1,06^5}-\bruch{5}{1,06^5}) $

$ R_0 = 39.649,82 $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Endwert einer geometrisch fortschreitenden Rente

$ R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -g^n}{q-g} $

wenn $ q \not= g $


Beispiel:
Anna zahlt nachschüssig eine jährlich um 10 % steigende Rente auf ein Konto, das mit 4 % verzinst wird. Man berechne das Kapital am Ende des vierten Jahres, wenn die erste Zahlung 1.000 € beträgt.

$ R_4 = 1.000\cdot{}\bruch{1,04^4 - 1,1^4}{1,04 - 1,1} $

$ R_4 = 4.904,02 € $


wenn (q = g) dann gilt:

$ R_n = rnq^{n-1} $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente

$ R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -g^n}{(q-g)\cdot{}q^n} $

wenn $ q \not= g $


Beispiel:
Karl hat drei Jahre lang eine Rente zu zahlen, die mit einem Betrag von 7.000 € beginnt und jährlich um 5 % steigt. Wie viel Kapital muss Karl heute aufbieten, wenn der Zins 10 % p.a. ist?

$ R_0 = 7.000\cdot{}\bruch{1,1^3 - 1,05^3}{(1,1 - 1,05)\cdot{}1,1^3} $

$ R_0 = 18.236,29 € $


Wenn (q = g), dann gilt:

$ R_0 = \bruch{rn}{q} $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Arithmetisch fortschreitende Renten mit ewiger Laufzeit

$ R_0 = (r+\bruch{d}{1})\cdot{}\bruch{1}{i} $

Beispiel:
Karl hat Anspruch auf eine jährliche ewige Rente, die sich im ersten Jahr auf 500 € beläuft und anschließend in jedem Jahr um 20 € steigen soll. Welchen Barwert hat diese Rente, wenn Karl mit einem Zinssatz von 8 % rechnet?

$ R_0 = (500+\bruch{20}{0,08})\cdot{}\bruch{1}{0,08} $

$ R_0 = 9.375 € $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Geometrisch fortschreitende Renten mit ewiger Laufzeit

$ R_0 = \bruch{r}{i-w} $

Beispiel:
Otto hat die Absicht ein Unternehmen zu kaufen, dessen Gewinn im kommenden Jahr auf 450.000 € geschätzt wird. Er hat Grund zu der Annahme, dass dieser Gewinn jährlich um 2 % steigen wird und das Unternehmen ewig existieren wird. Welchen Preis sollte er höchstens für das Unternehmen zahlen, wenn der Marktzins zur Zeit 11 % beträgt?

$ R_0 = \bruch{450.000}{0,11-0,02} $

$ R_0 = 5.000.000 €. $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen





Rendite von Festgeldern

$ i = \wurzel[n]{\bruch{K_n}{K_0}}-1 = \wurzel[n]{(1+i_1)\cdot{}(1+i_2)\ldots(1+i_n)}-1 $

Beispiel:
Beim Bundesschatzbrief Typ B (Ausgabe 1994/12, Zinslauf ab 1.11.1994) gibt es im ersten Jahr 5 %, im zweiten 6,5 %, im dritten 7,5 %, im vierten und im fünften Jahr 8 %, im sechsten und im siebten Jahr 8,25 %. Die Zinsen werden dem Kapital jährlich zugerechnet und mitverzinst. Nach sieben Jahren ist das Endkapital bei einer Einzahlung (=Anfangskapital) von 100 DM:

$ K_7 = 100\cdot{}1{,}05\cdot{}1{,}065\cdot{}1{,}075\cdot{}1{,}08\cdot{}1{,}08\cdot{}1{,}0825\cdot{}1{,}0825 = 164{,}30 $

Die Rendite beträgt:

$ \wurzel[7]{(1+0{,}05)\cdot{}(1+0{,}065) \ldots (1+0{,}0825)}-1 = 7{,}351 \% $.


Fundstelle: [link]www.matheraum.de/read?t=29895
Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finazwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig




Annuitätentilgung

$ A=K_0 \cdot{}\bruch{q^n \cdot{}i}^{q^n -1} $

Beispiel:
Ein Darlehen in Höhe von  1.000.000 € soll mittels gleichbleibender Annuität zu 4 % verzinst und innerhalb der nächsten fünf Jahre getilgt werden. Welcher Betrag muss jährlich zurückgezahlt werden?

$ A = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}04^5 \cdot{}0{,}04}{1{,}04^5 -1} $

A = 224.627,00 €


Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg




Restschuld nach t Jahren bzw. am Anfang des t. Jahres

$ R_t = S\cdot{}\bruch{q^n - q^t}{q^n -1} $

Beispiel:
Ein Unternehmer hat Kredit in Höhe von 1.000.000 € zum Zinssatz von 7,5 % bei einer Laufzeit von 6 Jahren aufgenommen, der annuitätisch getilgt werden soll. Wie hoch ist die Restschuld nach 4 Jahren?

$ R_4 = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}075^6 - 1{,}075^4}{1{,}075^6 -1} $

$ R_4 = 382.535{,}99 € $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen





Tilgungsrate im t. Jahr

$ T_t = S\cdot{}i\cdot{}\bruch{q^{t-1}}{q^n -1} $

Beispiel:
Ein Unternehmer hat Kredit in Höhe von 1.000.000 € zum Zinssatz von 7,5 % bei einer Laufzeit von 6 Jahren aufgenommen,der annuitätisch getilgt werden soll. Wie hoch ist die sechste Tilgungsrate?

$ T_6 = 1.000.000\cdot{}0,075\cdot{}\bruch{(1{,}075)^{6-1}}{(1{,}075)^6 -1} $

$ T_6 = 198.181{,}29 € $


Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen




Zinszahlung im t. Jahr

$ Z_t = S\cdot{}i\cdot{}\bruch{q^n - q^{t-1}}{q^n -1} $


Beispiel:
Ein Entwicklungsland erhält am 1.1. eines Jahres einen Kredit in Höhe von 10 Millionen €  zu 2,5 % Zinsen. Dieser Kredit soll durch Annuitätentilgung in 25 Jahren zurückgezahlt werden. Wie hoch ist die Zinszahlung im 13. Jahr?

$ Z_{13} = 10.000.000\cdot{}0{,}025\cdot{}\bruch{(1{,}025)^{25} - (1{,}025)^{13-1}}{(1{,}025)^{25}-1} $

$ Z_{13} = 149.303{,}62 € $


Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte




Tilgungsdauer

$ n = \bruch{\ln(A) - \ln(T_1)}{\ln(q)} $


Beispiel:
Eine Anleihe von 1.000.000 € soll mit 4 % p.a. verzinst und mittels einer gleichbleibenden Annuität von 224.627 € getilgt werden. Wie groß ist die Tilgungsdauer?

Da $ Z_1 $ = 40.000 € und A = 224.627 € ist, folgt $ T_1 $ = 184.627 €.

$ n = \bruch{\ln(224.627) - \ln(184.627)}{\ln(1{,}04)} $

n = 5 Jahre


Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg


Erstellt: Do 22.05.2008 von Marc
Letzte Änderung: Mi 17.06.2009 um 07:05 von Josef
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