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Induktion2

Wir sollen zeigen, dass 7 ein Teiler von $ 2^{3n}+13 $ ist.

Nun überprüfen wir, ob unsere Aussage für n=0 gilt:

$ 2^{0}+13=14=2\cdot{}7 $

Wir sehen also, dass unsere Aussage für n=0 bewiesen ist.

Jetzt setzen wir voraus, dass wir unsere Aussage für n bewiesen haben.
Das heißt 7 ist ein Teiler von $ 2^{3n}+13 $!!
Das ist unsere Induktionsvoraussetzung.

Nun überprüfen wir die Aussage für n+1.

$ 2^{3(n+1)}+13=2^{3n+3}+13=2^{3n}\cdot{}2^{3}+13=2^{3n}\cdot{}8+13 $
Bist du bei allen Rechenschritten mitgekommen? Wenn nicht, dann mach dich mit den Potenzgesetzen vertraut.

Wir rechnen weiter.
$ 2^{3n}\cdot{}8+13=2^{3n}\cdot{}(7+1)+13=2^{3n}\cdot{}7+2^{3n}\cdot{}1+13=2^{3n}\cdot{}7+2^{3n}+13 $

So, jetzt schauen wir uns mal unser Ergebnis an.
Wir stellen fest: $ 2^{3n}\cdot{}7 $ ist durch 7 teilbar.
Und: $ 2^{3n}+13 $ ist auch durch 7 teilbar, wenn du mir nicht glaubst, dann schau mal in unsere Voraussetzung ;-)

Jetzt ist unser Beweis fertig. Wie das?
Wieso dürfen wir denn einfach voraussetzen, dass $ 2^{3n}+13 $ durch 7 teilbar ist? Und macht es überhaupt Sinn?
Gibt es überhaupt ein solches n?

Fragen über Fragen ...

Also ein n gibt es auf jeden Fall, nämlich n=0. Das haben wir schon bewiesen. Und da wir gezeigt haben, dass - wenn die Ausage für n gilt, sie dann auch für n+1 gilt -, haben wir also auch schon die Aussage für 0+1 bewiesen.
Das heißt, wir haben noch ein n gefunden, für das unsere Ausage wahr ist, nämlich n=1. Und damit haben  wir die Möglichkeit, uns von einer Zahl zur nächsten "durchzuhangeln", also: wenn die Aussage für n gilt,
dann gilt sie auch für n+1.


Letzte Änderung: Fr 06.05.2005 um 10:31 von informix
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