Länge

Definition Länge

Länge eines Vektors
Länge eines Intervalls
(Bogen-) Länge einer Funktionskurve
Länge einer Kurve (allgemein)
-=Schule=-

Definition Länge eines Vektors

Unter dem Betrag eines Vektors $\vec a$ versteht man die Länge der zu $\vec a$ gehörenden Pfeile.
Der Betrag wird mit $|\vec a|$ bezeichnet.

Kennt man die Komponenten des Vektors $\vec a$ in einem kartesischen Koordinatensystem, so kann man seinen Betrag mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen:

$\IR^2: \vec a = \begin {pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec a| = \wurzel {a_1^{2} + a_2^{2}}$

$\IR^2: \vec a = \begin {pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec a| = \wurzel {a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}$

Definition Länge eines Intervalls

Die Länge eines Intervalls berechnet man durch: |b - a| .

Definition (Bogen-) Länge einer Funktionskurve

Sei $f: [a,b]\to\IR$ eine differenzierbare Funktion, und $G_f=\{(x,f(x))\ |\ x\in [a,b]\}$ ihr Graph.
Dann heißt
$L_a^b(f)=\integral_a^b \wurzel{1+f'(t)^2} dt$
die Länge des Graphen von f über dem Intervall .

Universität

Definition Länge einer Kurve

Sei $f:[a,b]\to V$ eine Kurve in V.
Dann heißt das Supremum über die Längen aller Streckenzüge $[f(t_0),\ldots,f(t_m)]$ , wobei $t_0,\ldots,t_m$ alle endlichen Folgen $a\le t_0\le \ldots\le t_m\le b$ durchläuft, die Länge

von f.
Ist $L(f)\le\infty$ , so heißt f rektifizierbar.
Quelle: (1)

Wichtige Sätze

Satz Seien V ein normierter endlichdimensionaler $\IR$ -Vektorraum und $f:I\to V$ eine stückweise stetig differenzierbare Kurve in V.
Dann ist f rektifizierbar, und es gilt
$L_a^b(f)=\integral_a^b \|f'(t)\| dt$ .

Quelle: (1)

Quelle: (1) isbn3411141816

Erstellt: Sa 20.11.2004 von informix

Letzte Änderung: Mo 22.11.2004 um 15:14 von informix

Weitere Autoren: Marc

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