stetig

Definition stetig

Stetigkeit heißt im Prinzip nichts Anderes, als dass man den Graphen einer Funktion in ihrem Definitionsbereich ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann. D.h. der Graph darf keine Sprünge machen (wie z.B. bei der Integer-Funktion). Das ist natürlich keine mathematisch exakte Definition, aber eine gute Veranschaulichung.

Mathematisch exakt lautet es in etwa so:
Die Funktion f ist an der Stelle stetig, wenn   existiert und

D.h. der (beidseitige!) Grenzwert muss existieren und dem Funktionswert an dieser Stelle entsprechen. Anschaulich: Wenn man sich von links der Stelle nähert, muss man auf denselben Funktionswert kommen, wie wenn man sich ihr von rechts nähert UND der Wert muss gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein.
Eine Funktion ist stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Zwei Beispiele für stetige Funktionen:

Und für eine unstetige Funktion:

Seien und metrische Räume und sei Sei Man sagt, dass stetig in ist, wenn der Funktionsgrenzwert existiert und zudem gilt. Es ist also genau dann stetig in wenn:

Ist nicht stetig in so sagt man, dass unstetig in sei.
Ferner heißt (kurz) stetig, wenn stetig in allen ist. Folglich ist genau dann unstetig, wenn es ein so gibt, dass unstetig in ist!

Bemerkungen:
(1) Man beachte, dass es nur sinnvoll ist, eine Funktion an Stellen ihres Definitionsbereichs auf (Un-)Stetigkeit zu untersuchen!

(2) In metrischen Räumen ist der Begriff der Stetigkeit äquivlalent zu dem Begriff der Folgenstetigkeit.