matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseitestetig
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
stetig
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

stetig

Definition stetig


Schule

Stetigkeit heißt im Prinzip nichts Anderes, als dass man den Graphen einer Funktion in ihrem Definitionsbereich ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann. D.h. der Graph darf keine Sprünge machen (wie z.B. bei der Integer-Funktion). Das ist natürlich keine mathematisch exakte Definition, aber eine gute Veranschaulichung.

Mathematisch exakt lautet es in etwa so:
Die Funktion f ist an der Stelle $ x_{0} \in D $ stetig, wenn  $ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x) $ existiert und $ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x) = f(x_{0}) $

D.h. der (beidseitige!) Grenzwert muss existieren und dem Funktionswert an dieser Stelle entsprechen. Anschaulich: Wenn man sich von links der Stelle $ x_{0} $ nähert, muss man auf denselben Funktionswert kommen, wie wenn man sich ihr von rechts nähert UND der Wert muss gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein.
Eine Funktion ist stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Zwei Beispiele für stetige Funktionen:
$ f(x)=x^2 $
$ f(x)= \bruch{1}{x} $

Und für eine unstetige Funktion:
$ f(x)= [x] $


Universität

Seien $ (X,d)\, $ und $ (Y,e)\, $ metrische Räume und sei $ f\colon (X,d) \to (Y,e). $ Sei $ x_0 \in X. $ Man sagt, dass $ f\, $ stetig in $ x_0 \in X $ ist, wenn der Funktionsgrenzwert $ \lim_{x \to x_0}f(x) $ existiert und zudem $ f(x_0)=\lim_{x \to x_0}f(x) $ gilt. Es ist also $ f\, $ genau dann stetig in $ x_0 \in X, $ wenn:
$ \forall \epsilon > 0 \exists \delta=\delta_{x_0,\epsilon} > 0:\;\;\forall x \in X: \;\;d(x,x_0) < \delta \Longrightarrow e(f(x),\blue{\;f(x_0)\;}) < \epsilon. $
Ist $ f\, $ nicht stetig in $ x_0 \in X, $ so sagt man, dass $ f\, $ unstetig in $ x_0 \in X $ sei.
Ferner heißt $ f\, $ (kurz) stetig, wenn $ f\, $ stetig in allen $ x \in X $ ist. Folglich ist $ f\, $ genau dann unstetig, wenn es ein $ x_0 \in X $ so gibt, dass $ f\, $ unstetig in $ x_0 $ ist!

Bemerkungen:
(1) Man beachte, dass es nur sinnvoll ist, eine Funktion an Stellen ihres Definitionsbereichs auf (Un-)Stetigkeit zu untersuchen!

(2) In metrischen Räumen ist der Begriff der Stetigkeit äquivlalent zu dem Begriff der Folgenstetigkeit.

Erstellt: Do 06.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Mi 19.06.2013 um 15:55 von Marcel
Weitere Autoren: Loddar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

Alle Foren
Status vor 54m 1. mathelernender
ZahlTheo/rat. Zahl = Summe von Brüchen
Status vor 7d 5. Pacapear
UAnaR1Funk/Grenzwert berechnen
Status vor 11d 6. matux MR Agent
UAnaR1/Reaktion - erwünscht
Status vor 11d 2. matux MR Agent
GraphTheo/Zusammenhängender Zufallsgraph
Status vor 11d 2. matux MR Agent
ULinAMat/Householder-Transformation
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]