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Lagrange

Satz von Lagrange

Sei G eine endliche Gruppe und $ U\le G $. Dann gilt:

                  $ |G|=|T|\cdot|U| $

mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:

                  $ |G|=|G:U|\cdot|U| $.


Beweis

T Linkstransversale von U in G   $ \Rightarrow $   $ G=\bigcup_{t\in T}^{\cdot}tU $ und $ |G|=\sum_{t\in T}|tU| $.

Wegen |tU|=|U| folgt:

                  $ |G|=|T|\cdot|U| $,

denn $ |G|=\sum_{t\in T}|tU|=\sum_{t\in T}|U|=|T|\cdot|U| $.   $ \square $


Korollar (Kleiner Satz von Fermat)

Sei $ a\in \IZ $ nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt: $ p|(a^{p-1}-1) $.

(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in $ (\IZ/p\IZ,\cdot) $ hat Ordnung p-1.)


Verallgemeinerung des Satzes

Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit $ U \subseteq V $, dann gilt

                  $ [G : U] = [G : V ] \cdot [V : U] $.


Beweis

Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:

                  $ |G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U| $.      $ \square $


Anwendung

Sei $ S_3:=\{id, d,d^2,\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\} $ die symmetrische Gruppe, wobei

$ id:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}=\pmat{1} $, $ d:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}=\pmat{1 & 2 & 3} $, $ d^2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}=\pmat{1 & 3 & 1} $,

$ \sigma_1:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}=\pmat{2 & 3} $, $ \sigma_2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}=\pmat{1 & 3} $, $ \sigma_3:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}=\pmat{1 & 2} $.

Es ist ord(id)=1, $ ord(d)=3=ord(d^2) $ und $ ord(\sigma_1)=ord(\sigma_2)=ord(\sigma_3)=2 $.

Wir bestimmen nun alle Untergruppen von $ S_3 $.

Wegen $ |S_3|=6 $ hat $ S_3 $ höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen $ \{id\} $ bzw. $ S_3 $ haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:

$ U_1=\langle\sigma_1\rangle=\{id,\sigma_1\} $, $ U_2=\langle\sigma_2\rangle=\{id,\sigma_2\} $ und $ U_3=\langle\sigma_3\rangle=\{id,\sigma_3\} $

Wegen $ d^{-1}=d^2 $ ist $ V=\langle d\rangle=\langle d^2\rangle=\{id, d,d^2\} $. Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ oder $ \sigma_3 $ und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.



Literatur

isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013

Erstellt: Mi 25.02.2015 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 28.03.2015 um 15:18 von Ladon
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