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Lagrange

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Lagrange

Satz von Lagrange

Sei G eine endliche Gruppe und $U\le G$ . Dann gilt:

$|G|=|T|\cdot|U|$

mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:

$|G|=|G:U|\cdot|U|$ .

Beweis

T Linkstransversale von U in G $\Rightarrow$ $G=\bigcup_{t\in T}^{\cdot}tU$ und $|G|=\sum_{t\in T}|tU|$ .

Wegen |tU|=|U| folgt:

$|G|=|T|\cdot|U|$ ,

denn $|G|=\sum_{t\in T}|tU|=\sum_{t\in T}|U|=|T|\cdot|U|$ . $\square$

Korollar (Kleiner Satz von Fermat)

Sei $a\in \IZ$ nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt: $p|(a^{p-1}-1)$ .

(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in $(\IZ/p\IZ,\cdot)$ hat Ordnung p-1.)

Verallgemeinerung des Satzes

Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit $U \subseteq V$ , dann gilt

$[G : U] = [G : V ] \cdot [V : U]$ .

Beweis

Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:

$|G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U|$ . $\square$

Anwendung

Sei $S_3:=\{id, d,d^2,\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ die symmetrische Gruppe, wobei

$id:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}=\pmat{1}$ , $d:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}=\pmat{1 & 2 & 3}$ , $d^2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}=\pmat{1 & 3 & 1}$ ,

$\sigma_1:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}=\pmat{2 & 3}$ , $\sigma_2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}=\pmat{1 & 3}$ , $\sigma_3:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}=\pmat{1 & 2}$ .

Es ist ord(id)=1, und $ord(\sigma_1)=ord(\sigma_2)=ord(\sigma_3)=2$ .

Wir bestimmen nun alle Untergruppen von .

Wegen hat höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen $\{id\}$ bzw. haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:

$U_1=\langle\sigma_1\rangle=\{id,\sigma_1\}$ , $U_2=\langle\sigma_2\rangle=\{id,\sigma_2\}$ und $U_3=\langle\sigma_3\rangle=\{id,\sigma_3\}$

Wegen $d^{-1}=d^2$ ist $V=\langle d\rangle=\langle d^2\rangle=\{id, d,d^2\}$ . Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein $\sigma_1$ , $\sigma_2$ oder $\sigma_3$ und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.

Literatur

isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013

Erstellt: Mi 25.02.2015 von Ladon

Letzte Änderung: Sa 28.03.2015 um 15:18 von Ladon

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