MiniMaxAufgaben

Verfahren bei Extremwertaufgaben

Aufgabe:

Gegeben ist ein Zaun mit einer Länge von 20 m.
Mit ihm soll eine möglichst große Fläche umschlossen werden, die an einer Seite von einer Hauswand begrenzt wird.

Vorüberlegung:

Gesucht ist: A = a * b , also die Fläche, die maximal werden soll (Extremalbedingung EB).
Gegeben ist der Umfang der Fläche U = 2a + b (Nebenbedingung NB).

Eliminierung einer Variablen:

Da wir Funktionen mit mehr als einer Variablen (in der Schule) nicht untersuchen können, müssen wir eine Variable mit Hilfe der NB ersetzen: b = U - 2a (*)
einsetzen in EB:

das ist nun eine Funktion, die nur noch von a abhängt.

Extremwert-Untersuchung:

Deren Maximum kann man mit der Differentialrechnung bestimmen:

Wegen A"(a) = - 4 < 0 liegt an der Stelle ein Maximum vor.
Die maximale Fläche ergibt sich durch

Aus der Gleichung (*) ergibt sich die Begrenzung für a: .

Kontrolle der Randextrema:

An den "Rändern" könnte zufällig ein größerer Wert als das relativie Extremum herauskommen:
A(0) = 0 und

(Da A(a) eine quadratische Funktion ist, hätte man sich das auch aus dem bekannten Verlauf solcher Funktionen herleiten können.)

Übungsaufgaben