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MiniMaxAufgaben

Verfahren bei Extremwertaufgaben


Schule

Aufgabe:

Gegeben ist ein Zaun mit einer Länge von 20 m.
Mit ihm soll eine möglichst große Fläche umschlossen werden, die an einer Seite von einer Hauswand begrenzt wird.

Vorüberlegung:

Gesucht ist: A = a * b , also die Fläche, die maximal werden soll (Extremalbedingung EB).
Gegeben ist der Umfang der Fläche U = 2a + b (Nebenbedingung NB).

Eliminierung einer Variablen:

Da wir Funktionen mit mehr als einer Variablen (in der Schule) nicht untersuchen können, müssen wir eine Variable mit Hilfe der NB ersetzen: b = U - 2a (*)
einsetzen in EB:

$ A(a) = a \cdot{} (U-2a) = U\cdot{}a - 2a^2 $

das ist nun eine Funktion, die nur noch von a abhängt.

Extremwert-Untersuchung:

Deren Maximum kann man mit der Differentialrechnung bestimmen:

$ A'(a) = U - 4a = 0 \gdw a = \bruch{U}{4} $


Wegen A"(a) = - 4 < 0 liegt an der Stelle $ a = \bruch{U}{4} $ ein Maximum vor.
Die maximale Fläche ergibt sich durch

$ A(\bruch{U}{4}) = \bruch{U}{4} \cdot{}(U - 2\cdot{}\bruch{U}{4})=\bruch{U^2}{8} $

Aus der Gleichung (*) ergibt sich die Begrenzung für a: $ 0 < a < \bruch{U}{2} $.

Kontrolle der Randextrema:

An den "Rändern" könnte zufällig ein größerer Wert als das relativie Extremum herauskommen:
A(0) = 0 und $ A(\bruch{U}{2}) = 0 $

(Da A(a) eine quadratische Funktion ist, hätte man sich das auch aus dem bekannten Verlauf solcher Funktionen herleiten können.)



Übungsaufgaben

Erstellt: Di 10.05.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 23.10.2008 um 09:31 von informix
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