matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Quotientenregel
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Quotientenregel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Quotientenregel

Quotientenregel.


Schule


Merkregel:


$ f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \bruch{u'v - v'u}{v²} $


Universität

Hat eine Funktion $ f $ die Form

$ f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)} $ (mit $ f,g,h: M \longrightarrow \IR $, wobei $ M \subseteq \IR $)

und ist $ x_0 $ aus dem Definitionsbereich von $ f $, so gilt, unter den Voraussetzungen, dass $ g $ und $ h $ in $ x_0 $ differenzierbar sind und im Falle $ h(x_0)\not=0 $:
$ f $ ist diff'bar in $ x_0 $ und es gilt

$ f'(x_0)=\bruch{g\,'(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)\cdot{}h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $


Beweis

Da $ h $ diff'bar in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere, dass $ h $ stetig in $ x_0 $ ist.

(Denn: Sei $ (x_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ x_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ x_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Dann gilt:
$ \lim_{n \to \infty} {(h(x_n)-h(x_0))}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\cdot{}(x_n-x_0)\right) $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty} {\left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0),\,\,da\;h\;diff'bar\;in\;x_0}\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}(x_n-x_0)}_{=0, \,\, da\;x_n \to x_0}=h'(x_0)\cdot{}0=0 $,

also $ h(x_n) \to h(x_0) $ ($ n \to \infty $).)

Sei $ (\hat{x}_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ \hat{x}_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ \hat{x}_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Weil $ \lim_{n \to \infty}{\hat{x}_n}=x_0 $ und weil $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere:
$ \exists N \in \IN $: $ \forall n \ge N $: $ h(\hat{x}_n)\not=0 $ (beachte: $ h(x_0)\not=0 $).

Es folgt für alle $ n \in \IN $, $ n \ge N $:

$ \frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}=\frac{\frac{g(\hat{x}_n)}{h(\hat{x}_n)}-\frac{g(x_0)}{h(x_0)}}{\hat{x}_n-x_0} $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{g(\hat{x}_n)h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)+g(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0} \right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)-g(x_0)[\,h(\hat{x}_n)-h(x_0)]}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

Weil $ g $ und $ h $ diff'bar in $ x_0 \in M $, und weil (siehe oben) $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, folgt:
$ \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)} $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}}}_{=\frac{1}{h(x_0)\cdot{}h(x_0)}}\cdot{}\left(h(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{g(\hat{x}_n)-g(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=g\,'(x_0)}-g(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{h(\hat{x}_n)-h(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0)}\right) $

$ =\frac{g\,'(x_0)h(x_0)-g(x_0)h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $                                   

$ \Box $
Erstellt: Di 07.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 21.12.2006 um 16:52 von Loddar
Weitere Autoren: Hanno, Marc, Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]