matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Tangens
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Tangens
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Tangens

Definition Tangens und Tangensfunktion


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


{picture file=img/wiki_up//RechtwinkligesDreieck.jpg}

Dabei nennt man die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

{picture file=img/wiki_up//Einheitskreis.png}

Den tan-Wert liest man ab, indem man am Einheitskreis den Winkel abträgt und diese schräge Strecke verlängerst bis zu der vertikalen Gerade bei x = 1.
Die Länge dieser vertikalen Strecke (grüne Strecke) ist der tan-Wert.

Der tan-Wert ist einheitenfrei, d.h. ohne Einheit (so wie sin und cos auch).
Lediglich der Winkel $ \alpha $ wird i.a. im Gradmaß und  x  im Bogenmaß angegeben.

weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Aus der Definition des Tangens ergibt sich unmittelbar die zugehörige Funktion, bei der x im Bogenmaß angegeben wird:

$ \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $


{picture file=img/wiki_up//tangens.jpg}

Ebenso ergeben sich die weiteren Eigenschaften der Tangensfunktion:

  • die Tangensfunktion ist an den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert:
  • Wertebereich: alle reellen Zahlen $ \IR $
  • die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $ \pi $.
  • die Tangensfunktion ist über den gesamten Definitionsbereich betrachtet nicht symmetrisch,
    • wohl aber, wenn man sich auf ein Intervall zwischen zwei Unstetigkeitsstellen einschränkt,
    • dann ist sie punktsymmetrisch zu ihrer Nullstelle, insbesondere über dem Intervall $ [-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}] $ symmetrisch zum Ursprung.

Ableitung der Tangensfunktion
ergibt sich aus der Definition $ f(x) = \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $ mit Hilfe der Quotientenregel:

$ f'(x) = \left(\bruch{\cos (x)}{\sin(x)}\right)'= \bruch{\cos (x)\cdot{}\cos (x)-(-\sin(x))\cdot{}\sin(x)}{\cos^2 (x)} = 1 + \tan^2(x) = \bruch{1}{\cos^2 (x)} $

Stammfunktion der Tangensfunktion

$ \integral {\tan(x) dx} = - \ln(\cos(x)) + C $



Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Tangens):
$ \tan(x)=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots $

Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 27.01.2007 um 17:36 von Marc
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]